2024届高三数学二轮复习小题强化训练二（新高考地区专用）（解析版）

2024届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(2)

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.在复平面内，复数幻，@对应的点分别是(2,—1),(1,—3),则住的模是()

Z1

A.5B.75C.2D.72

【答案】D

z,l-3i(l—3i)(2+i)5-5i

【解析】由题意知，4=2—i,z,=l-3i,所以一=-~r=-j~~~0~~_=l-i

Z12—1(2—i)(2+i)5

所以三=JY+(_I)2=&,

Z]

故选：D.

2.已知集合4={%€叫％2-3兀<01集告5={y|y=k)g2X,xe4},则4口3=()

A.{1}B.{2}C.{0,1}D.0

【答案】A

【解析】由题意可得：A=^xeN|x2-3x<0j=(xeN|0<x<3}={l,2},

3={y|y=log2x,xeA}={0,1},

所以Ac3={l}.

故选：A.

3.已知无>0,y>0(x,ywR),贝ij“x+y22"是''孙21”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】当x=Q01»=2时，则x+y22,但是醐=0.02<1,不是充分条件，

当孙21时，因为x>0,y>0(x,yeR),所以即x+y2；+y»2,

当且仅当y=l等号成立，所以是必要条件，

故“x+y22”是“孙21”的必要不充分条件.

故选：B

4.已知向量2,B满足同=3,忖=2石，且Z,(£+B),则5在£方向上的投影向量为()

A.3B.—3C.—3aD.一〃

【答案】D

【解析】+则〃.(a+Bba+a'b=9+a-b=0,故£4=-9，

u,b-—9-*-

B在Z方向上的投影向量口寓=4.=一°.

H

故选：D.

5.已知函数/(X)的定义域为R,y=/(x)+e，是偶函数，y=〃x)—是奇函数，则/(x)的最

小值为()

A.eB.2夜C.2石D.2e

【答案】B

【解析】因为函数>=〃尤)+e，为偶函数，则"—％)+/=/(x)+e"即/⑺―%)=尸—e"

①又因为函数丁=/(%)—封为奇函数，则〃一力―3e-*=—〃x)+3e1即

/(%)+/(-x)=3eA+3e~x,②

联立①②可得/(%)=ex+2er,

由基本不等式可得/(x)=1>2^Jex-2e-x=272,

当且仅当F=2er时，即当x=^ln2时，等号成立，

2

故函数/(x)最小值为20.

故选：B.

6.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下温度变化：如果物体的初始温度为"，则经过一定时间Z分

£

钟后的温度7W足7_7；=为称为半衰期，其中,是环境温度.若7；=25。。，现有一

杯80℃的热水降至75。。大约用时1分钟，那么水温从75。。降至45℃,大约还需要(参考数据:

lg2»0.30,lgll®1.04）（）

A.9分钟B.10分钟

C.11分钟D.12分钟

【答案】B

【解析】由题意，Ta=25°C,由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟，可得

又水温从75℃降至45℃,所以45_25=］；j（75_25），即12

5

所以

2x0.3—1

35।101-lgllX1-1.04

111g—

11

所以水温从75℃降至45℃,大约还需要10分钟.

故选：B.

7.已知双曲线C：=1（。＞0/〉0）的左、右焦点分别为耳，%,M,八为双曲线一条渐近

线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形叫”为矩形，且NMAN=T，则双曲线C的离

心率为（）

A.73B.J?C•孚D.713

【答案】C

【解析】如图，因为四边形"KNK为矩形，所以pkW闫耳闾=2c（矩形的对角线相等），所以以

加为直径的圆的方程为V+y2=02.

y

b

直线加为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为＞=—X,

a

b

,y=fx=ax=-a,

由Ja解得＜,或4

y-b[y=-瓦

j2+y2=c2

所以N(a,b),M(_〃,同或N(_〃,淘,M(a,b).

不妨设N(a,b),M^-a,-Z?),又A(〃,0),

所以=J(a+a)2+/?2=J4a2+〃,[AN]=-+廿=b.

在△助阱，ZMAN=—,

3

由余弦定理得=\AMf+|AA^|2-2|AM||yW|-cosy,

即4c2=4a2+)2+/+飞4a2+/xb，

----------4.

则2〃=6t777,所以442=4"+"，则户=§/,

故选:c.

8.已知正三棱锥尸-ABC的底面边长为2后，E为棱PB的中点，若E4LCE,则三棱锥

P—ACE的外接球的表面积是（）

9兀八8171

A.—B.9兀C.----D.36兀

24

【答案】B

【解析】取线段3c的中点M,连接AM、PM,如下图所示:

因为三棱锥P—ABC为正三棱锥，则P3=PC,AABC为等边三角形，

因为M为的中点，则尸AM±BC,

因为刊1。川0=”,PM、40u平面B4",所以，3C/平面B4A1,

因为P4u平面K4",则

因为FALCE,BC^CE^C,BC、CEu平面P3C,则B4J_平面P3C,

因为PB、PCu平面PBC,则E4_LPB,PALPC,

因为三棱锥P—ABC为正三棱锥，则P5LPC，

所以，PA、PB、PC两两相互垂直，

将三棱锥P-ACE补成长方体PCDE-ANQF,

则三棱锥P-ACE的外接球直径即为长方体PCDE-ANQF的外接球直径，

故三棱锥P-ACE的外接球直径为2R=7PA2+PC2+PE2=,4+4+1=3，

因止匕三棱锥P—ACE的外接球的表面积为5=4兀代=兀*。??）?=71x3?=9兀.

故选:B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题中是真命题的有（）

A.有A,B,C三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9,则样本容量为18

B.一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数相同

C.若甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5,则这两组数据中较稳定的是甲

D.一组数6,5,4,3,3,3,2,2,2,1的85%分位数为5

【答案】ABD

【解析】对于A,根据分层抽样原则可知：样本容量为3,A正确；

3+1+2

对于B,由平均数、众数和中位数定义可知：该组数据平均数为1+2+3：3+4+5=3；众数为3；

6

中位数为3；B正确；

对于C,乙组数据的平均数为5+6+；+10+5=7,

则其方差§2=gx[（5—7）2+（6-7）2+（9-7）2+（10-7）2+（5-7）2]=4.4<5,

，乙组数据更稳定，C错误；

对于D,•.♦10x85%=8.5,，将该组数按照从小到大顺序排列，第9个数为5,

该组数据的85%分位数为5,D正确.

故选：ABD.

10.已知｛%｝是等比数列，S“是其前〃项和，满足%=24+%，则下列说法中正确的有（）

A.若｛%｝是正项数列，则｛a,,｝是单调递增数列

B.Sn,S2n-Sn,一定是等比数列

C.若存在">0,使同W对“wN*都成立，则｛㈤｝是等差数列

D.若存在河>0,使|4|〈”对"wN*都成立，贝是等差数列

【答案】AC

【解析】A选项，设公比为4,故/=“+2,解得。=—1或4=2,

若｛4｝是正项数列，贝q>0,故q=2〉l,故｛4｝是单调递增数列，A正确；

B选项，当4=-1且〃为偶数时，Sn,S2n-Sn,S3“—S2〃均为0,不合要求，B错误：

C选项，若q=2,则｛同｝单调递增，此时不存在知>0,使㈤〈河对"N*都成立，

若q=—1,此时同=同，故存在/=同，使得同K"对“wN*都成立，

此时｛|%|｝为常数列，为公差为0的等差数列，C正确；

D选项，由C选项可知，q=-\,故当〃为偶数时，Sn=Q,

当〃为奇数时，S“=4R0,显然｛S,｝不是等差数列，D错误.

故选：AC

11.已知e是自然对数的底数，函数/⑴的定义域为(0,+8),/'(元)是/(%)的导函数，且

^-+lnx-f'(x)>Q,贝ij()

X

A.dJ+/(e)〉0B./Q<0C./(e)>0D./⑴=0

【答案】AC

【解析】令函数g(x)=lnx"(x),则g'(x)=d»+lnx-7'(x)〉0,

x

所以g(x)在(0,+8)上单调递增，

又g(l)=0,所以g(e)=lne"(e)=/(e)〉0,

即0"

所以，［+/(以>0,/>0,而/⑴的大小不确定.

故选：AC.

12.已知直线，与抛物线氏丁=4%相交于4(%,乂)，两点，其中%>0,y2<Q.分别

过4雎抛物线准线的垂线，垂足分别C,D,线段的中点到准线的距离为4则下列命题正确的是

()

A.若直线/过抛物线的焦点尸，则焦点隋以线段CD为直径的圆上

B.若直线/过抛物线的焦点E则|44+2忸月的最小值为3+20

C.若44/3=耳兀，则疯/

D.若/AEB=g〃，则HWE的面积的取值范围为［4月,+8)

【答案】ABC

【解析】若/过焦点尸，.•.|A同=|ACj,忸同=忸。|

ZACF=ZAFC,ZBFD^ZBDF,

.SD=18。。一色—/吵=少+/『9。。,

222

二，在以CD为直径的圆上，故A正确；

112,

对于B,若/过焦点E则覆方+而自=一=1，

|AF|\BF\p

.­,|AF|+2|BF|=(|AF|+2|BF|)^+^=3+--J+JJ>3+2V2.

当且仅当|A同=0忸耳即|Ab|=&+l,忸刊=专区，时取“="，故B正确;

对于C,设A3中点解准线上射影为“

设|E4|=x,|FB|=y,|AB|=Z,

^IM=|AC|+M=|FA|+|Fg|=^^国=2,

11222dx+y

且由余弦定理得无2+—2肛.x2+y2+xy=z2

(x+y/—z2=孙

故C正确；

%+yd11

对于D,当翦由，A5位于在侧，NAEB=120°时，则由焦半径公式得

此时为由=355¥=乎＜46,故D错误.

故选:ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

?

13.已知(犬+不)”的展开式中各项系数和为243,则展开式中常数项为.

x

【答案】80

【解析】当*=1时，3"=243，解得〃=5,

79

贝八丁+三）”的展开式第r+1项=q（x3）5T（F）r=C；X15-3r2rX-2r=Q2'x"5r

XX'

令15—5厂=0,解得r=3,所以C；23=10x8=8。，

故答案为：80

14.已知直线x—y+l=0与圆C:(x—m)2+V=8交于两点，则满足“&45C的面积为26”

的小的一个值为.

【答案】1(或一3,或一1±2石)

【解析】由AABC的面积为2百，得;x(2j5『sinNACB=2j^,

解得sin^ACB=—,则ZACB=60。或ZACB=120。，

2

易知圆心C到直线AB的距离为d=而或d=0,

Izzz+11/—\rri+11/-

由点到直线的距离公式可知，^^二灰，或」^二0,

V2V2

解得加=一1±2&或m=1或根=一3.

故答案为：1(或-3,或-1±26)

15.已知定义在R上的奇函数/(X)满足〃1+力=〃1一%).当xe[0』时,f(x)=x2,则直线

y=；x与函数y=的图象的交点的个数为.

【答案】7

【解析】/(l+x)=/(l-x),

；J(x)的图象关于尤=1对称，

又奇函数/(x)满足+=,

/U)=7(2-%)=-/(%-2),

/(%+2)=-/(%),

/(x+4)=-/U+2)=/(x),

即函数为T=4的周期函数，

又当xe[0,l]时，/(%)=%2,

作出函数y=/(x)与y=]x的图象，如图，

故答案为：7

3

16.已知函数/(%)=Asin(ox+o)+B(A>0,o>0,0<e<7i)的部分图象如图所示，且1MM=万，

则不等式/(力21+也在区间［0,4］上的解集为

A+B=3,

【解析】由图可知，<T+6—1解得A=2,5=l，

由图可知，2sin°+1=2=>sin。=g,

71SIT

又0<。<兀，所以9或。二▼,

66

JT

当9时,〃x)=2sincox+—I+1f

6

兀兀

因为G〉0,所以当X＞。时，显然有④VH----＞—，

66

因此函数先是增函数，显然不符合图象,

当9=2时，/(x)=2sin的+2+1

66J

5兀571

因为69〉0,所以当*＞。时，显然有GXH＞，