2025高考数学大一轮复习讲义-函数模型的应用

§2.13函数模型的应用

【课标要求】1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异2理解“指数爆炸”“对

数增长”“直线上升”等术语的含义3能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了

解函数模型在社会生活中的广泛应用.

・落实主干知识

【知识梳理】

1•三种函数模型的性质

函数y=axy=log«xy=xa

性质（。>1）3>1）（«>0）

在(0,+°°)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表随X的增大逐渐表现随。值的变化而各

图象的变化

现为与______平行为与________平行有不同

2.常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型fix）=ax+b（a,b为常数，〃W0）

二次函数模型fix）=ax2+bx+c（a,b,c为常数，〃W0）

k

反比例函数模型fix）=-+b（k,b为常数，左WO）

指数函数模型fix）=b（f+c（a,b,c为常数，〃>0且1,bWO）

对数函数模型fix）=Z?logax+c（a,b,c为常数，a>0且aW1,bWO）

幕函数模型fix）-axa+b（a,b,a为常数,,aWO）

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“J”或“X”）

（1）函数y=2"的函数值比＞=/的函数值大.（）

（2）4公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%,第二天跌了10%,则员工甲不赚不

赔.（）

（3）已知。＞1,在（0,+8）上，随着了的增大，y=o■，的增长速度会超过并远远大于y=犬和y

=log.元的增长速度.（）

（4）在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.（）

2.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（）

A.y=100xB.y=logwox

C.y=xl0°D.y=10Qr

3.（2024.南宁联考）有一组实验数据如表：

X23456

y1.402.565.311121.30

则体现这组数据的最佳函数模型是（）

£

A.y=X2B.y=log2尤

C.y=；-2工D.y=2x2

4.（2023.福州模拟俄国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一

般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度以单位：米）与时间f（单位：秒）之

间的关系为〃⑺=-5尸+15f+20,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为（）

A.26米B.28米

C.31米D.33米

■探究核心题型

题型一用函数图象刻画变化过程

例1（1）（多选）血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，

该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药

物后，体内血药浓度及相关信息如图所示:

血药浓度(mg/mL)

最低中毒浓度(MTC)

-----浓度

安全范围

・最低有效浓度(MEC)

012345i679,IO，1'1'2〃/|、时

一持续期一H残留期

根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是()

A.首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用

B.每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒

C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗

作用

D.首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒

⑵在一次实验中，某小组测得一组数据8，W(i=1,2,11)，并由实验数据得到散点图.由

此散点图，在区间［-2,3］上，下列四个函数模型(a,b为待定系数)中，最能反映x,y函数关

五

7

£

5

4

3

-

Ay-+/By=+

匕

cy-+Dy-+一

-log-X

跟踪训练1如图，点P在边长为1的正方开乡ABCD的边上运动，/是CD的中点，则当P

沿A-8-C-M运动时，点P经过的路程x与4APM的面积y的函数y=段)的图象大致是

()

7任

O]122.5xO\122.5x

题型二已知函数模型的实际问题

例2（1）（2023.南京模拟）目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放

的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为1gE=4.8+L5M.则里氏8.0级地震所

释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（）

A.6倍B.IO?倍

C.倍D.1。6倍

（2）（2023.无锡模拟）根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓

度W0.1mg/n?为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05mg/m3，使

用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度M⑺（单位：mg/n?）与竣工后保持良好

t

通风的时间BGNX单位：天）近似满足函数关系式〃⑺=Xe个+0.05QGR）,则该文化娱乐

场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（参考数据：1112Po.7,

In3^1.1,In5«1.6）（）

A.32天B.33天C.34天D.35天

跟踪训练2（2023・西安模拟）某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤

排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间f（单位：h）之间的关系为M=

%e-丘（其中Mo,々是正常数）.已知经过1h,设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤掉60%

的污染物所需的时间约为（参考数据：1g2P0301）（）

A.3hB.4hC.5hD.6h

题型三构造函数模型的实际问题

例3（2024.文山模拟）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测

出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离

时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段(如图所示),分别为准备时间仆人的反应时

间公系统反应时间以制动时间t3,相应的距离分别为do,小，“2,“3,当车速为。(单位：

m/s),且0WOW33.3时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数上随地面湿滑程度等路面情

况而变化，且0.5WZ0.9).

报警距离d

危险距离

杰

4*"2,

阶段准备人的反应系统反应制动

时间t\=0.8s及=0.2s

V2

距离do=30md\6?2d^20km

⑴请写出报警距离d(单位：m)与车速。(单位：m/s)之间的表达式；

(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90m,则汽车的行驶速度应限制

在多少以下？

思维升华构建函数模型解决实际问题的步骤

(1)建模：抽象出实际问题的数学模型.

(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解.

(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际

问题中去，得到实际问题的解.

跟踪训练3“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳,

弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片

第一次接触水面时的速度为20m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，

假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%,若石片接触水面时的速度低于6m/s,

石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：1g

2po.3,1g3po.48,1g17«1.23)()

A.6B.7C.8D.9

§2.13函数模型的应用答案

落实主干知识

知识梳理

1.y轴x轴

自主诊断

1.(1)X(2)X(3)J(4)X

2.D3.C4.C

探究核心题型

例1(l)ABC(2)B

跟踪训练1A

例2(1)C［设里氏8.0级地震所释放出来的能量为Ei,里氏6.0级地震所释放出来的能量为

4,

则1g©=4.8+1.5X8=16.8,Ei=10168；

138

lgE2=4.8+1.5X6=13.8,£2=10,

反一IO】%-103-］

(2)C［依题意可知当f=0时，

〃(。=6.05,

_0

即6.05=4e；+0.05,解得；1=6,

所以〃⑺=6e7+0.05,

由〃⑺=6e7+0.05^0.1,

--1

得e?力的

即一-j^g,即，21nl20=31n2+ln3+ln523X0.7+l.l+1.6=4.8,所以/233.6,

又fGN,所以fmin=34,

至少需要放置的时间为34天.]

跟踪训练2B

02/

例3解