2024-2025学年新教材高中数学第五章函数应用5.1方程解的存在性及方程的近似解5.1.2课时2函数与方程的综合问题一课一练含解析北师大版必修第一册

PAGEPAGE1第五章函数应用§1方程解的存在性及方程的近似解1.2利用二分法求方程的近似解课时2函数与方程的综合问题学问点1函数与方程1.☉%861@5￥@#%☉(2024·太原五中高一期末)下列区间不能推断函数f(x)=2x-3是否有零点的是(A.[-2,0] B.[0,2] C.[2,4] D.[4,6]答案：C解析：函数f(x)=2x-3的定义域为(-∞,3)∪(3,+∞),所以函数y=f(x)的图像在区间[2,4]上不是一条连续的曲线,故不能用零点存在定理来推断2.☉%*2*6#@28%☉(教材习题改编)已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)内的零点有1009个,则f(x)的零点的个数为()。A.1009 B.1010 C.2024 D.2024答案：D解析：由于奇函数图像关于原点对称且它在(0,+∞)内的零点有1009个,所以它在(-∞,0)内的零点也有1009个。又f(x)的定义域为R,所以f(0)=0。即0也是它的零点,故f(x)的零点共有2024个。故选D。3.☉%￥8￥02#￥8%☉(2024·常德一中高一检测)函数f(x)=ax2+bx+c,若f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上的零点()。A.至多有一个 B.有一个或两个C.有且仅有一个 D.一个也没有答案：C解析：若a=0,则f(x)=bx+c是一次函数,由f(1)·f(2)<0得零点只有一个;若a≠0,则f(x)=ax2+bx+c为二次函数,若有两个零点,则必有f(1)·f(2)>0,与已知冲突。故选C。4.☉%5*5@*#11%☉(2024·郑州中牟二高高一月考)函数f(x)=lnx-1x-1的零点的个数是(A.0 B.1 C.2 D.3答案：C解析：画图易知y=lnx与y=1x-15.☉%**0*9@90%☉(2024·衡水武邑高一月考)设f(x)=1-(x-a)(x-b)(a<b),m,n为y=f(x)的两个零点,且m<n,则a,b,m,n的大小关系是()。A.a<m<n<b B.m<a<b<nC.a<b<m<n D.m<n<a<b答案：B解析：因为f(x)=1-(x-a)(x-b)(a<b),m,n为y=f(x)的两个零点,所以f(a)=f(b)=1,f(m)=f(n)=0,如图,依据二次函数的图像与性质,由y=1,y=0两条直线与抛物线的交点可得到a+b=m+n(a<b,m<n),所以m<a<b<n。故选B。6.☉%35￥@4@￥4%☉(2024·三明二中高一月考)已知函数f(x)=x2-2x-3,x∈[-1,4]。(1)画出函数y=f(x)的图像,并写出其值域;答案：解:f(x)=(x-1)2-4,x∈[-1,4],其图像如图,其值域为[-4,5]。(2)当m为何值时,函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点?答案：因为函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点,所以方程f(x)=-m在x∈[-1,4]上有两个相异的实数根,即函数y=f(x)与y=-m的图像有两个交点。由(1)所作图像可知,-4<-m≤0,所以0≤m<4。所以当0≤m<4时,函数y=f(x)与y=-m的图像有两个交点,故当0≤m<4时,函数g(x)=f(x)+m在[-1,4]上有两个零点。学问点2利用二分法求近似解7.☉%￥*628*￥8%☉(2024·昆明官渡一中高一期中)若函数f(x)=(a+2)·x2+2ax+1有零点,但不能用二分法求其零点,则a的值为。

答案：a=2或a=-1解析：由题意知,对于方程(a+2)x2+2ax+1=0,Δ=4a2-4(a+2)=0,解得a=2或a=-1。8.☉%2#0*￥04￥%☉(2024·宜昌葛洲坝中学高一期中)用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点x0=52,那么下一个有根的区间是。答案：2,解析：令f(x)=x3-2x-5。因为f(2)=23-4-5=-1<0,f52=523-5-5=458>0,f(3)=339.☉%##0￥8#78%☉(2024·吉林调考)某同学在借助计算器求方程lgx=2-x的近似解(精确度为0.1)时,设f(x)=lgx+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0,然后他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值,并得出推断:方程的近似解是x≈1.8。那么他之后取的x的4个值依次是。

答案：1.5,1.75,1.875,1.8125解析：第一次用二分法计算得区间(1.5,2),其次次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.8125)。10.☉%3#@￥6￥39%☉(2024·上海中学月考)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,在(0,2)内无零点,且在(2,+∞)上是增函数,则该函数有个零点,这几个零点的和等于。

答案：30解析：由于f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0。因为-2是它的一个零点,所以2也是它的零点,故共有3个零点,它们的和为0。11.☉%@7*2*@63%☉(2024·马鞍山高一期中)用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度为0.1)。答案：解:因为f(1)=1-1-1=-1<0,f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875>0,所以函数f(x)在区间[1,1.5]内存在零点,取区间(1,1.5)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表:区间区间中点中点函数值(或近似值)(1,1.5)1.25-0.297(1.25,1.5)1.3750.225(1.25,1.375)1.3125-0.052(1.3125,1.375)1.343750.083因为|1.375-1.3125|=0.0625<0.1,所以函数f(x)的零点落在区间(1.3125,1.375)内,故函数f(x)零点的近似值可取为1.3125。12.☉%￥@112@8*%☉(2024·信阳月考)若a满意x+lgx=4,b满意x+10x=4,函数f(x)=x2+(a+b)x+2(x≤0A.1 B.2C.3 D.4答案：C解析：因为a满意x+lgx=4,b满意x+10x=4,所以a,b分别为函数y=4-x与函数y=lgx,y=10x图像交点的横坐标。因为y=x与y=4-x图像交点的横坐标为2,函数y=lgx,y=10x的图像关于y=x对称,所以a+b=4。所以函数f(x)=x当x≤0时,关于x的方程f(x)=x,即x2+4x+2=x,即x2+3x+2=0,所以x=-2或x=-1,满意题意;当x>0时,关于x的方程f(x)=x,即x=2,满意题意。所以关于x的方程f(x)=x的解的个数是3,故选C。题型函数与方程的综合应用13.☉%9￥4￥*16￥%☉(2024·济宁第一中学高一期中)已知函数f(x)=logax+x-3(a>0且a≠1)有两个零点x1,x2,且x1<x2,若x2∈(3,4),则实数a的取值范围是()。A.0,14C.(1,4) D.(4,+∞)答案：A解析：由函数f(x)=logax+x-3(a>0且a≠1)有两个零点,可知0<a<1,又x1<x2,所以0<x1<1。因为x2∈(3,4),所以f(3)·f(4)=(loga3+3-3)·(loga4+4-3)<0,即a∈0,1414.☉%**9#9@97%☉(2024·衡水中学高一月考)直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是()。A.1,54C.1,32答案：A解析：如图,在同始终角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2-|x|+a,视察图像可知,若直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,a的取值必需满意a>1,4a-1415.☉%1￥4##2#5%☉(2024·成都树德中学高一月考)已知m∈R,函数f(x)=|2x+1|(x<1),log2(x-1)(x>1),g(x)=x2-2x+2m-1,若函数A.0,35C.34,答案：A解析：函数f(x)=|2x+1|(x<1),log2(x-1)(x>1)。令g(x)=t,y=f(t)与y=m的图像(如图)最多有3个交点。当有3个交点时,0<m<3,从左到右交点的横坐标依次是t1,t2,t3,且t1<t2<t3。由于函数y=f(g(x))-m有6个零点,t=x2-2x+2m-1,则每一个t的值对应2个x的值,则t的值不能取最小值,函数t=x2-2x+2m-1的对称轴为直线x=1,则t的最小值为1-2+2m-1=2m-2,由图可知2t1+1=-m,则t1=-m-12,由于t1是交点横坐标中最小的16.☉%4￥2@3@#3%☉(2024·余姚中学高一期中)已知函数g(x)=log22xx+1(x>0)。若关于x的方程|g(x)|2+m|g(x)|+2m+3=0有三个不同的实数根,则实数m的取值范围是答案：-3解析：当x>0时,0<2x1+x<2,则log22x1+x<1,即函数g(x)=log22xx+1(x>0)的值域是(-∞,1),令|g(x)|=t可得t2+mt+2m+3=0在(0,1)上只有一个根,在[1,+∞)上有一个根。令f(t)=t2+mt+2m+3,故f(017.☉%@7@#28*3%☉(2024·豫西南部分示范性中学高一期中)已知二次函数f(x)=x2-2ax+4,求下列条件下,实数a的取值范围。(1)零点均大于1;答案：解:由题可得方程x2-2ax+4=0的两根均大于1,结合二次函数的单调性与零点存在定理,得Δ解得2≤a<52(2)一个零点大于1,一个零点小于1;答案：由题可得方程x2-2ax+4=0的一个根大于1,一个根小于1,结合二次函数的单调性与零点存在定理,得f(1)=5-2a<0,解得a>52(3)一个零点在(0,1)内,另一个零点在(6,8)内。答案：由题可得方程x2-2ax+4=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(6,8)内,结合二次函数的单调性与零点存在定理,得f(0)=4>0,f18.☉%3#@#6￥48%☉(2024·定兴三中高一期中)求函数f(x)=|x2-2x|-a2-a(a∈(0,+∞))的零点的个数。答案：解:令|x2-2x|-a2-1=0,所以函数f(x)=|x2-2x|-a2-1(a∈(0,+∞))的零点的个数转化为|x2-2x|=a2+1的根的个数,再转化为函数y=|x2-2x|的图像与直线y=a2+1>0交点的个数,其中函数y=|x2-2x|的增区间为(0,1),(2,+∞),减区间为(-∞,0),(1,2),当x=1时函数值为1,所以函数y=|x2-2x|的图像与直线y=a2+1>1有两个交点,即方程|x2-2x|=a2+1(a∈(0,+∞))的解的个数是2,所以函数f(x)=|x2-2x|-a2-1(a∈(0,+∞))的零点的个数是2。19.☉%2￥5*￥@01%☉(2024·济南一中月考)已知函数f(x)=|3x-1|,a∈13,1,若函数g(x)=f(x)-a有两个不同的零点x1,x2(x1<x2),函数h(x)=f(x)-a2a+1有两个不同的零点x3,x4(x(1)若a=23,求x1的值答案：解:当a=23时,令