江苏省连云港市2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题含解析

PAGE19-江苏省连云港市2024-2025学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由二倍角余弦公式，即可得结果.【详解】由二倍角余弦公式可得，.故选：C【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和特别角的三角函数值，考查了数学运算实力，属于简单题目.2.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集.【详解】由得，即，解得或，所以不等式的解集为.故选：B【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.3.若从甲，乙，丙，丁4位同学中选出3名代表参与学校会议，则甲被选中的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意求出全部基本状况的个数和满意要求的基本状况数，再由古典概型概率公式即可得解.【详解】从甲，乙，丙，丁4位同学中选出3名代表参与学校会议，共有甲不参与、乙不参与、丙不参与、丁不参与4种基本状况，甲被选中的基本状况有3种，所以甲被选中的概率.故选：D.【点睛】本题考查了列举法解决古典概型概率问题，考查了运算求解实力，属于基础题.4.某校为了了解教科研工作开展状况与老师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名老师按年龄分组，分组区间为[35，40)，[40，45)，[45，50)，[50，55），[5，60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名老师中年龄小于45岁的人数有（）A.45B.46C.48D.50【答案】C【解析】【分析】依据直方图求得相应频率，进而求得人数.【详解】这80名老师中年龄小于45岁的频率为，人数为（人），故选：C.【点睛】本题考查频率直方图中频率，频数的计算，属基础题.5.过圆上一点M（－1.2）作圆的切线l，则l的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用切线与切点处的半径垂直，依据直线垂直的条件得到切线的斜率，进而利用点斜式写出切线的方程.【详解】圆的圆心为O(0,0),直线OM的斜率为,所以切线的斜率为,∴直线的方程为,即,故选：B.【点睛】本题考查圆的切线方程的求法，涉及直线的垂直的条件，属基础题.6.两条平行直线与的距离是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将直线方程化为：，再利用两平行线间的距离公式求解.【详解】直线方程化为：，所以两条平行直线与的距离是：.故选：D【点睛】本题主要考查两平行线间距离的求法，还考查了运算求解的实力，属于基础题.7.如图，在三棱锥S－ABC中，SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，SA＝2，则异面直线SB与AC所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别取、、的中点、、，连接、、、、，由题意结合平面几何的学问可得、、或其补角即为异面直线SB与AC所成角，再由余弦定理即可得解.【详解】分别取、、的中点、、，连接、、、、，如图：由SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4可得，所以，，由中位线的性质可得且，且，所以或其补角即为异面直线SB与AC所成角，在中，，所以异面直线SB与AC所成角的余弦值为.故选：A.【点睛】本题考查了余弦定理的应用及异面直线夹角的求解，考查了空间思维实力与运算求解实力，属于中档题.8.圆的圆心为C，直线l过点(0，3)且与圆C交于A，B两点，若△ABC的面积为，则满意条件的直线l的条数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】分析】求得圆心坐标和半径，依据面积，利用弦长公式和面积公式求得圆心到直线的距离，利用几何意义即可判定直线的条数，留意圆心可能在直线的上方，也可以在直线的下方.【详解】化为标准形式为,圆心,半径,设圆心到直线的距离为,则,若△ABC的面积为，解得或.因为点在圆C外，且过点且与圆C交于A，B两点，的取值范围是[0,2),或都有意义，又∵圆心可能在直线的上方，也可以在直线的下方，∴满意条件的直线的条数为4，故选：D.【点睛】本题考查已知直线与圆的相交三角形的面积，探求直线的条数，涉及点到直线的距离公式和三角形的面积公式，属基础题.二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（）A.两件都是一等品的概率是B.两件中有1件是次品的概率是C.两件都是正品的概率是D.两件中至少有1件是一等品的概率是【答案】BD【解析】【分析】由题意给产品编号，列出全部基本状况，逐项列出满意要求的状况，由古典概型概率公式逐项推断即可得解.【详解】由题意设一等品编号为、，二等品编号为，次品编号为，从中任取2件的基本状况有：、、、、、，共6种；对于A，两件都是一等品的基本状况有，共1种，故两件都是一等品的概率，故A错误；对于B，两件中有1件是次品的基本状况有、、，共3种，故两件中有1件是次品的概率，故B正确；对于C，两件都是正品的基本状况有、、，共3种，故两件都是正品的概率，故C错误；对于D，两件中至少有1件是一等品的基本状况有、、、、，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率，故D正确.故选：BD.【点睛】本题考查了列举法解决古典概型概率问题，考查了运算求解实力，列出基本状况是解题关键，属于中档题.10.关于异面直线a，b，下列四个命题正确的有（）A.过直线a有且仅有一个平面β，使b⊥βB.过直线a有且仅有一个平面β，使b//βC.在空间存在平面β，使a//β，b//βD.在空间不存在平面β，使a⊥β，b⊥β【答案】BCD【解析】【分析】由题意结合线面垂直的性质可推断A；由线面平行的判定、性质可推断B；由异面直线的概念结合选项B即可推断C；由线面垂直的性质可推断D；即可得解.【详解】对于A，若直线a，b不垂直，则不存在平面β，使b⊥β，故A错误；对于B，存在直线c满意c//b，且与a相交，此时直线c与a确定的平面β，满意b//β；假设过直线a还存在另一平面满意，则平面上存在一个异于a的直线满意，则，因为直线a为平面、β的交线，所以，，不合题意；所以过直线a有且仅有一个平面β，使b//β，故B正确；对于C，由B可知，在空间存在平面β，使a//β，b//β，故C正确；对于D，若a⊥β，b⊥β，则，与题意不符，所以在空间不存在平面β，使a⊥β，b⊥β，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了线线、线面位置关系的推断，考查了空间思维实力与逻辑推理实力，属于基础题.11.正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为，则（）A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为C.正方体的棱长为1 D.线段MN的最大值为【答案】AD【解析】【分析】设正方体的棱长为，由线段MN的最小值为求出，依据球的性质逐一推断每个选项即可.【详解】设正方体的棱长为，则其外接球的半径为，内切球的半径为，正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，由于两球球心相同，可得MN的最小值为，解得，故C错误；所以外接球的半径为，表面积为，故A正确；内切球的半径为1，体积为，故B错误；MN的最大值为，故D正确；故选：AD.【点睛】本题考查正方体的外接球与内切球，正确求出正方体的外接球与内切球的半径是关键，考查了学生的空间想象实力，属于中档题.12.瑞士闻名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同始终线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（）A.圆M上点到直线的最小距离为2B.圆M上点到直线的最大距离为3C.若点（x，y）在圆M上，则的最小值是D.圆与圆M有公共点，则a的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】由题意结合“欧拉线”概念可得△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，结合直线方程的学问可得线段BC的垂直平分线的方程，由直线与圆相切可得圆M的方程；由圆心到直线的距离可推断A、B；令，由直线与圆相切可得z的最值，即可推断C；由圆与圆的位置关系即可推断D；即可得解.【详解】由AB＝AC可得△ABC外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，由点B(－1,3)，点C(4,－2)可得线段BC的中点为，且直线的BC的斜率，所以线段BC的垂直平分线的斜率，所以线段BC的垂直平分线的方程为即，又圆M：的圆心为，半径为，所以点到直线的距离为，所以圆M：，对于A、B，圆M的圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，故A正确，B错误；对于C，令即，当直线与圆M相切时，圆心到直线的距离为，解得或，则的最小值是，故C正确；对于D，圆圆心为，半径为，若该圆与圆M有公共点，则即，解得，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了直线方程的求解及直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查了运算求解实力与转化化归思想，属于中档题.三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13.已知两点A（3，2），B（8，12），则直线AB的一般式方程为________【答案】2x－y－4=0【解析】【分析】先求得直线的斜率，然后由点斜式求得直线的方程，并转化为一般式.【详解】依题意，所以直线的方程为，化简得.故答案为：【点睛】本小题主要考查由直线上两点坐标求直线方程，属于基础题.14.用半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥筒的高为，则半圆形纸片的半径为________【答案】2【解析】【分析】利用半圆的半径和弧长，结合圆锥筒的高列方程，解方程求得半圆形纸片的半径【详解】设半圆的半径为，则对应的弧长为，所以圆锥筒底面半径为，所以，解得.故答案为：【点睛】本小题主要考查圆锥的有关计算，属于基础题.15.设，用t的代数式表示cos2x＝________，用t的代数式表示cos3x＝________【答案】(1).(2).【解析】【分析】第一个空，干脆利用余弦的倍角公式即可得解；其次个空，遇到三倍角，可以看成两倍加一倍.先利用两角和的三角函数公式绽开，再利用二倍角公式做进一步化简，结合同解三角函数关系，最终得到答案.【详解】,,故答案为：；.【点睛】本题考查两角和差的三角角函数公式和二倍角公式的应用，涉及同角三角函数的关系，属基础题.16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满意，b＋c＝2，则S的最大值是________【答案】【解析】【分析】结合余弦定理、同角三角函数的基本关系式和基本不等式，先求得，然后求得的最大值.详解】由余弦定理得，依题意，，，所以，,，由于是三角形的内角，所以，所以由解得.所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值，属于中档题.四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若（1）求c的值；（2）求sinC的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）利用三角形的面积公式列方程，解方程求得的值.（2）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得的值.【详解】（1）在中，，所以，所以；（2）在中，由余弦定理得：所以，所以，在中，由正弦定理得：，所以.【点睛】本小题主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.18.已知.（1）求tanβ：（2）求sin2α.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用求解.（2）利用求解.【详解】（1），因为，，所以（2），因为，所以.【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数以及二倍角公式，还考查了运算求解的实力，属于中档题.19.已知函数（其中a∈R）.（1）当a＝－1时，解关于x的不等式；（2）若的解集为R，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）当时，解一元二次不等式求得不等式的解集.（2）化简不等式，对分成和两种状况进行分类探讨，结合一元二次不等式恒成立，求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，由得，，所以，所以不等式的解集为；（2）因为解集为，所以在恒成立，当时，得，不合题意；当时，由在恒成立，得，所以【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.20.如图，在正方体中，为棱的中点．求证：（1）∥平面；（2）平面⊥平面【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；(2)借助题设运用面面垂直的判定定理推证.【详解】（1）连交于，连，因为为的中点，为的中点，所以又平面平面，所以平面（2）因为平面，所以于，所以平面，所以同理可证，又于，所以平面，因为，所以平面，又平面，所以平面平面．21.在平面直角坐标系xOy中，圆C：（1）若圆C与x轴相切，求实数a的值；（2）若M，N为圆C上不同的两点，过点M，N分别作圆C的切线，若与相交于点P，圆C上异于M，N另有一点Q，满意，若直线：上存在唯一的一个点T，使得，求实数a的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依据圆的一般方程求得圆心和半径，结合圆与轴相切求得的值.（2）求得的轨迹方程，结合直线：上一存在唯一点，使得列方程，解方程求得的值.【详解】（1）圆的方程可以化为：，所以圆心，半