2025届高考数学一轮复习单元双优测评卷-第四章数列B卷含解析

PAGEPAGE22第四章数列B卷培优提能过关卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知等差数列且，则数列的前13项之和为（）A．26 B．39 C．104 D．522．已知数列满意，且.若，则正整数（）A．24 B．23 C．22 D．213．“十二平均律”是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的振动数之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最终一个音的频率是最初那个音的2倍.设第8个音的频率为，则频率为的音是（）A．第3个音 B．第4个音C．第5个音 D．第6个音4．我国明代闻名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个键到下一个键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音的2倍.已知#的频率为，的频率为，则（）A． B． C． D．5．已知正项数列满意，是的前项和，且，则（）A． B．C． D．6．已知是上的奇函数，，，则数列的一个通项公式为（）．A． B． C． D．7．已知数列满意，，则（）A． B． C．35 D．8．已知正项数列满意，，则（）A．对随意的，都有 B．对随意的，都有C．存在，使得 D．对随意的，都有二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．下列说法正确的是（）A．若为等差数列，为其前项和，则，，，…仍为等差数列B．若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列C．若为等差数列，，，则前项和有最大值D．若数列满意，则10．已知数列的前项和为，且，（，为常数），则下列结论正确的有（）A．肯定是等比数列 B．当时，C．当时， D．11．已知正项数列的前项和为，若对于随意的，，都有，则下列结论正确的是（）A．B．C．若该数列的前三项依次为，，，则D．数列为递减的等差数列12．已知数列：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设数列的前项和为，.若，则________.14．在一个有限数列的每相邻两项之间插入这两项的等差中项，从而形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次扩充．如数列，，扩充一次后得到，，，扩充两次后得到，，，，，以此类推．设数列，，（为常数），扩充次后所得全部项的和记为，则______________．15．在数列中，．则数列的前20项之和为______．16．已知正项数列中，，，，，数列的前n项和为，则的值是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列满意.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.18．已知数列的前项和为，点在直线上，数列满意：且，前11项和为154（1）求数列，的通项公式（2）令，数列前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值．19．已知数列各项都是正数，，对随意都有．数列满意，．（1）求证：是等比数列，是等差数列；（2）设，对随意，都有恒成立，求实数的取值范围．20．在数列中，已知，．（1）证明：数列为等比数列；（2）是否存在正整数m、n、k，且，使得、、成等差数列？若存在，求出m、n、k的值；若不存在，请说明理由．21．已知数列的前项和为，，，公比为2的等比数列的前项和为，并且满意．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）已知，规定，若存在使不等式成立，求实数的取值范围．22．已知数列满意．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知等差数列且，则数列的前13项之和为（）A．26 B．39 C．104 D．52【答案】A【解析】由等差数列的性质可得：，，所以由可得：，解得：，所以数列的前13项之和为，故选：A2．已知数列满意，且.若，则正整数（）A．24 B．23 C．22 D．21【答案】B【解析】解：由，得，所以数列为首项，公差的等差数列，所以.由，得，.令得，所以，，所以，故选：B.3．“十二平均律”是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的振动数之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最终一个音的频率是最初那个音的2倍.设第8个音的频率为，则频率为的音是（）A．第3个音 B．第4个音C．第5个音 D．第6个音【答案】C【解析】由题意知，这13个音的频率构成等比数列，设这13个音的频率分别是，，…，，公比为，则，得，所以，令，解得.故选:C.4．我国明代闻名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个键到下一个键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音的2倍.已知#的频率为，的频率为，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知从左到右的音频恰成一个公比为的等比数列，由等比数列性质知，所以，故选：D.5．已知正项数列满意，是的前项和，且，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题得，，两式相减得，所以，所以，所以，因为数列是正项数列，所以，所以，所以，所以数列是一个以为首项，以为公差的等差数列.令得，解之得，所以.故选：A6．已知是上的奇函数，，，则数列的一个通项公式为（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】由题已知是上的奇函数，故，代入得：，∴函数关于点对称，令，则，得到，∵，，倒序相加可得，即，故选：A．7．已知数列满意，，则（）A． B． C．35 D．【答案】A【解析】因为，所以，因此，同理，，，则，因此，，，，其中，则，则故选：A8．已知正项数列满意，，则（）A．对随意的，都有 B．对随意的，都有C．存在，使得 D．对随意的，都有【答案】D【解析】解：∵，∴可取，则由得，∴，故选项A，B错误；令，则，故在上单调递增，在上单调递减，∴，即，当且仅当时等号成立，∴，即，∴，累乘可得，∴，故选项C错误，选项D正确．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．下列说法正确的是（）A．若为等差数列，为其前项和，则，，，…仍为等差数列B．若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列C．若为等差数列，，，则前项和有最大值D．若数列满意，则【答案】ACD【解析】对于A中，设数列的公差为，因为，，，，可得，所以，，，构成等差数列，故A正确；对于B中，设数列的公比为，当时，取，此时，此时不成等比数列，故B错误；对于C中，当，时，等差数列为递减数列，此时全部正数项的和为的最大值，故C正确；对于D中，由，可得，所以或，则，所以，所以.因为，所以，可得，所以，故D正确.故选：ACD10．已知数列的前项和为，且，（，为常数），则下列结论正确的有（）A．肯定是等比数列 B．当时，C．当时， D．【答案】BC【解析】由，得，，故，则，当时，有，则，即，故当时，数列为首项为，公比为的等比数列；当时不是等比数列，故A错误；当时，，故B正确；当时，，则，故C正确；当时，，而，故，则D错误；故选：BC.11．已知正项数列的前项和为，若对于随意的，，都有，则下列结论正确的是（）A．B．C．若该数列的前三项依次为，，，则D．数列为递减的等差数列【答案】AC【解析】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A正确；由，所以，故B错误；依据等差数列的性质，可得，所以，，故，故C正确；由，因为，所以是递增的等差数列，故D错误.故选：AC.12．已知数列：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】对A，，，故A不正确；对B，，故B正确；对C，由，，，…，，可得，故C正确；对D，该数列总有，，则，，…，，，，故，故D正确．故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设数列的前项和为，.若，则________.【答案】【解析】当时，，解得：；当时，，即，数列是以为首项，为公比的等比数列，，；经检验：时，满意；综上所述：，，解得：.故答案为：.14．在一个有限数列的每相邻两项之间插入这两项的等差中项，从而形成一个新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次扩充．如数列，，扩充一次后得到，，，扩充两次后得到，，，，，以此类推．设数列，，（为常数），扩充次后所得全部项的和记为，则______________．【答案】【解析】扩充次后所得数列为，因此从到是等差数列，项数为，且中间项为；从到也是等差数列，项数为，且中间项为；依据等差数列的性质可得.故答案为：15．在数列中，．则数列的前20项之和为______．【答案】210【解析】因为，所以有：由此可得出：，所以从第一项起，依次相邻两奇数项的和为2，从其次项起，依次相邻两偶数项的和组成以8为首项，16为公差的等差数列，所以数列的前20项之和为：，故答案为：21016．已知正项数列中，，，，，数列的前n项和为，则的值是________．【答案】3【解析】解：因为，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以，所以，所以，所以数列的前n项和，则．故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知数列满意.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，当时，可得，两式相减求得，又由时，，符合上式，即可求解；（2）由，得到，结合裂项法求和，即可求解.（1）解：由题意，数列满意，当时，可得，两式相减，可得，所以，又由当时，，符合上式，所以数列的通项公式为.（2）解：由，则，所以，所以.18．已知数列的前项和为，点在直线上，数列满意：且，前11项和为154（1）求数列，的通项公式（2）令，数列前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值．【答案】（1），，，；（2）12．【解析】解：（1）由题意，得，即，故当时，，∵时，，当时，，∴，，又，∴为等差数列，∴，∵，∴，∴，∴，即，．（2）∴，∵，∴单调递增，故，令，得，∴．∴使不等式对一切都成立的最大正整数的值为12．19．已知数列各项都是正数，，对随意都有．数列满意，．（1）求证：是等比数列，是等差数列；（2）设，对随意，都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：因为，所以时，，两式相减得：，即，又（），所以，又，，（因为），所以，即，，，所以是等比数列．，，设，则由得，所以，又，所以，所以，为等差数列．（2）由（1），，，对随意，都有恒成立，则恒成立，，是递增数列，为奇数时，，，为偶数时，，，，综上．20．在数列中，已知，．（1）证明：数列为等比数列；（2）是否存在正整数m、n、k，且，使得、、成等差数列？若存在，求出m、n、k的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）证明：由，得，从而，∴，又，故数列为等比数列；（2）由（1）可得，，则，假设存在正整数m、n、满意题意，则，即，则两边同除以得，（*）由得，，；所以为奇数，而与均为偶数，故（*）式不能成立；即不存在正整数m、n、k，且，使得、、成等差数列．21．已知数列的前项和为，，，公比为2的