江苏省连云港市2024-2025学年高二数学下学期期末考试试题含解析

PAGE21-江苏省连云港市2024-2025学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.已知为虚数单位，复数，则的虚部是（）A. B.5 C. D.-5【答案】D【解析】【分析】依据复数的定义干脆得解；【详解】解：因复数，所以复数的虚部是，故选：D【点睛】本题考查复数的定义，复数的虚部，属于基础题.2.已知随机变量Z~N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，则P(﹣2＜Z＜2)＝（）A.2a B.2a﹣1 C.1﹣2a D.2(1﹣a)【答案】B【解析】【分析】依据正态分布的对称性即可求解.【详解】∵随机变量Z~N(0，1)，且P(Z＜2)＝a，∴P(Z≥2或Z≤﹣2)＝2﹣2a，∴P(﹣2＜Z＜2)＝1﹣(2﹣2a)＝2a﹣1，故选：B【点睛】本题考查正态分布的计算，属基础题.3.若4名学生报名参与数学、物理、化学爱好小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（）A.34种 B.43种 C.种 D.种【答案】A【解析】【分析】依据分步计算原理，每个人选报一科，则每个人有3种报名方法，共有种方法.【详解】4名学生，每人有三种可选方案，依据分步计数原理，4人共有34种方法.故选：A.【点睛】本题考查了分步计数原理，考查了理解分析和数学运算实力，属于基础题目.4.设随机变量X的概率分布如下表所示，且E(X)＝2.5，则a﹣b＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用分布列学问以及期望列出方程求解即可.【详解】由题意得：，解得，∴.故选：C.【点睛】本题考查了随机变量的分布列与均值，考查了理解辨析和数学运算实力，属于基础题目.5.如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2BB1，P为B1C1的中点.则异面直线AC与BP所成的角为（）A.90° B.60° C.45° D.30°【答案】B【解析】【分析】取A1B1中点Q，可得∠BPQ就是异面直线AC与BP所成的角或补角，进而可证明△BPQ是等边三角形，从而求得.【详解】A1B1中点Q，连接PQ，BQ，∵PQ∥AC，∴∠BPQ就是，异面直线AC与BP所成的角或补角，又∵为正四棱柱，且,为中点，∴两两垂直，全等，∴，∴△BPQ是等边三角形，∴∠BPQ＝60°，即异面直线AC与BP所成的角为60°，故选：B.【点睛】本题考查异面直线所成的角，属基础题.6.甲、乙两人投篮，投中概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（）A.0.6076 B.0.7516 C.0.3924 D.0.2484【答案】A【解析】【分析】先求出两人投中次数相等的概率，再依据对立事务的概率公式可得两人投中次数不相等的概率.【详解】两人投中次数相等的概率P＝，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076.故选：A.【点睛】本题考查了对立事务的概率公式和独立事务的概率公式，属于基础题.7.4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，则恰有2个空盒的放法有（）A.144种 B.120种 C.84种 D.60种【答案】C【解析】【分析】依据题意，先选出两个空盒，之后可以一个盒放1个，另一个盒放3个，还可以每盒2个，得到结果.【详解】依据题意，可分两种状况，可得，故选：C.【点睛】该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的学问点有分步乘法计数原理，分类加法计数原理，在解题的过程中，留意分析清晰对应的结果，属于简洁题目.8.已知函数(aR)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A.(，) B.(，) C.(，) D.(，)【答案】C【解析】【分析】将有三个不同的零点转化为有三解，然后求解函数的单调区间及最值，只需保证与图象有三个交点即可.【详解】若，则，令，则，当，或时，，当时，，所以，在和上递增，在上递减，又，作出函数的图像如图所示：要使直线y＝a与曲线有三个交点，则a＞.故选：C.【点睛】本题考查依据函数的零点个数求参，难度较大.解答时留意参变分别思想的运用，转化为利用导数探讨函数的单调区间及最值的问题，再利用数形结合思想求解参数的取值范围.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.已知m，n是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，下列命题是真命题的有（）A.若m⊥，m⊥，则∥B.若m，n，m∥n，则∥C.若m，n是异面直线，m，m∥，n，n∥，则∥D.若⊥，⊥，则∥【答案】AC【解析】【分析】依据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】由垂直于同始终线的两平面平行，可得若m⊥，m⊥，则∥，所以A正确；由两条分别在不同平面的直线平行，不能说明这两个平面平行，故B错误；由两条分别在不同平面的异面直线平行，可得这两个平面平行，可得“若m，n是异面直线，m，m∥，n，n∥，则∥”，故C正确；由垂直于同一平面的两平面不肯定平行，可得D错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查了线面位置的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与论证实力.10.关于排列组合数，下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】依据排列与组合的计算公式一一验证选项正误即可.【详解】依据组合数的性质或组合数的计算公式，可知A，B选项正确；，而，故C选项错误；，故D选项正确；故选：ABD.【点睛】本题主要考查排列与组合公式，属于基础题，解决此类问题也可利用特别值验证公式是否正确.11.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位安排利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（）A.某学生从中选3门，共有30种选法B.课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D.课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最终一周，共有504种排法【答案】CD【解析】【分析】依据排列组合的相邻关系和不相邻关系，以及有限制排列的关系，逐个分析选项即可.【详解】6门中选3门共有种，故A错误；课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故B错误；课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故C正确；课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最终一周，共有种排法，故D正确．故选：CD【点睛】本题考查排列组合的应用，属于基础题.12.已知函数，则（）A.函数的递减区间是(，1) B.函数在(e，)上单调递增C.函数的最小值为1 D.若，则m＋n＞2【答案】BCD【解析】【分析】计算以及函数的定义域，然后依据的符号推断原函数的单调性以及最值，可知ABC正误，然后采纳换元法，以及导数推断函数的单调性，可知D正误，最终可得结果【详解】因为，所以，由于函数的定义域为(0，)，故A错误；当x(e，)时，，所以函数在(e，)上单调递增，B正确；令，则令，则所以函数在单调递减，在单调递增所以当x＝1时，函数有最小值为，故C正确；选项D，姑且令m＜n，由得，欲证m＋n＞2，只要证明，令，即成马上可，令，所以当时，，所以在递增所以，故不等式成立，故选项D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查函数导数的应用，熟识导数与原函数之间的关系，同时换元法的运用，使问题便于计算，考查分析问题实力以及计算实力，属中档题.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.其中第16题共有2空，第一个空3分，其次个空2分；其余题均为一空，每空5分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知i为虚数单位，设，，若为实数，则m＝_______.【答案】【解析】【分析】依据复数的除法法则计算，然后利用复数的分类，简洁计算可得结果.【详解】由题可知：，要使为实数，则，解得.故答案为：【点睛】本题考查复数的分类以及复数的运算法则，考查学问的理解以及计算，属基础题.14.已知函＝tanx，那么＝_______.【答案】【解析】【分析】依据题意，求出函数的导数，将代入导函数的解析式，计算即可得答案．【详解】依据题意，，则，则.故答案为：.【点睛】本题考查导数的计算，留意导数的计算公式，属于基础题．15.若的二项绽开式中常数项为，则常数a的值是_______.【答案】2【解析】【分析】利用二项式绽开式的通项公式和绽开式中的常数项列方程，解方程求得的值.【详解】的第r＋1项为，常数项为，则r＝3，，解得a＝2.故答案为：【点睛】本小题主要考查二项式绽开式的通项公式的运用，属于基础题.16.棱长为12的正四面体ABCD与正三棱锥E—BCD的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E—BCD的体积为_______，该正三棱锥内切球的半径为_______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】依据组合体的结构特征，设，正三棱锥侧棱长，列出方程组，求得的值，利用体积公式，即可求得三棱锥的体积与表面积，再结合等体积法，即可求得内切球的半径，得到答案.【详解】由棱长为12的正四面体与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球面上，所以多面体的外接球即为正四面体的外接球，且其外接球的直径为，设，正三棱锥侧棱长x，则，解得，由题意得证四面体的高为，外接球的半径为，设正三棱锥的高为，因为，所以，因为底面的边长为，所以,则正三棱锥三条侧棱两两垂直，可得正三棱锥的表面积为，体积为V＝，设正三棱锥内切球的半径为，由，解得.故答案为：，.【点睛】本题主要考查了组合体的结构各种，以及正三棱锥内切球的半径的求法，三棱锥的体积的计算，其中解答中娴熟应用组合体的结构特征，以及球的性质是解答的关键，着重考查空间想象实力，以及推理与计算实力.四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.江苏省新高考方案要求考生在物理、历史科目中选择一科，我市在对某校高一年级学生的选科意愿调查中，共调查了名学生，其中男、女生各人，男生中选历史人，女生中选物理人.（1）请依据以上数据建立一个列联表；（2）推断性别与选科是否相关.附：.【答案】（1）列联表见解析；（2）有的把握认为，学生选科与性别有关.【解析】【分析】（1）依据题中数据可得出列联表；（2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.【详解】（1）由题意可得列联表如下表所示：选物理选历史合计男生女生合计（2）依据列联表中的数据，可以求得.，所以我们有的把握认为，学生选科与性别有关.【点睛】本题考查列联表的完善，同时也考查了利用独立性检验解决实际问题，考查学生的数据处理实力，属于基础题.18.已知的绽开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为14：3.（1）求正整数n；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先列出的第5项与第3项的二项式系数，依据二项式系数之比为14：3求出的值；（2）将（1）中求出的值代入原式，依据其绽开式的特点，代特值计算.【详解】解：（1）由第5项与第3项的二项式系数之比为14∶3得，，所以，（舍）.（2）由得，，①当时，代入①式得；因为，所以，令得，，，所以.【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数问题及利用赋值法求解项的系数有关问题，难度一般.解答时，留意项的系数与二项式系数的区分、留意利用赋值法求解项的系数和问题.19.今年年初，我市某医院安排从3名医生、5名护士中随机选派4人参与湖北新冠肺炎疫情狙击战.（1）求选派的4人中至少有2名医生的概率；（2）设选派的4人中医生人数为X，求X的概率分布和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为.【解析】【分析】（1）分别对“4人中有2名医生2名护士”、“4人中有3名医生1名护士”记事务，然后依据互斥事务以及组合学问，进行求解可得结果.（2）列出的全部可能结果，并计算相应概率，然后列出分布列，最终依据数学期望公式，可得结果.【详解】（1）记选派的4人中至少有2名医生为事务A，记4人中有2名医生2名护士为事务，记4人中有3名医生1名护士为事务，且与互斥.则当事务A发生时，有或发生，所以有.又；；所以.故选派的4人中至少有2名医生的概率为.（2）由题意选派的医生人数可以是0，1，2，3.所以；；；.所以，随机变量的概率分布表为0123故随机变量的数学期望为=.故的数学期望为.【点睛】本题考查互斥事务的概率以及离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查分析实力以及运算实力，属中档题.20.已知函数.（1）若函数的图象与直线6x﹣3y﹣7＝0相切，求实数a的值；（2）求在区间[﹣1，1]上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）假设切点，计算，然后依据点斜式可得切线方程，计算可得，最终可得（2）计算，然后分，进行探讨，依据符号推断原函数的单调性，并计算最大值即可.【详解】解：（1）设切点，因切线方程为，所以，①又，②由①得③，将③代入②得，，得或，当时，代入③得；当时，代入③得.因，所以实数=1.（2）因，当时，则，当时，，所以在上递增，当时，，所以在上递减，所以；当时，，当时，，所以在上递增，当时，，所以在上递减，当时，，所以在上递增，又，，所以当时，；当时，.综上有【点睛】本题考查导数的应用，对含参数的函数单调性的推断常采纳分类探讨的方法，重在对分析问题实力的考查，属难题.21.如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知∠A1AC＝60°，∠BAC＝45°，A1B＝A1A＝AC＝2，AB＝.（1）求证：平面ACC1A1⊥平面ABC；（2）求二面角B1—A1B—C大小的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先利用正三角形证明，再利用勾股定理证明，可证明平面，即可证明平面ACC1A1⊥平面ABC；（2）分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦即可.【详解】（1）取