2024-2025学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.3幂函数一课一练含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1第三章函数的概念与性质3.3幂函数第1课时幂函数的概念、图像与性质考点1幂函数的概念1.(2024·云南大理一中月考)下列所给出的函数中,是幂函数的是()。A.y=-x3B.y=x-3C.y=2x3 D.y=x3-1答案：B解析：依据幂函数的定义可得y=x-3是幂函数。2.(2024·郑州九中周练)若使(3-2x-x2)-34有意义,则x的取值范围是(A.RB.(-∞,1)∪(1,3)∪(3,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)答案：C解析：(3-2x-x2)-34=14(3-2x-x2)3,3.(2024·天津大港一中月考)下列函数中,定义域是R的是()。A.y=x-2 B.y=xC.y=x2 D.y=x-1答案：C解析：函数y=x-2,y=x-1的定义域为{x|x∈R,x≠0},函数y=x12的定义域为{x|x≥0},函数y=x2的定义域为R。故选4.(2024·衡水中学月考)幂函数y=xα中的α的取值集合C是-1,0,12,1,2,A.-1,0C.-1,1答案：C解析：结合函数的图像知,当α=-1,12,1,3时定义域与值域相同,α=0,25.(2024·北京四中单元测试)在函数①y=1x,②y=x2,③y=x+1x,④y=1,⑤y=2x2,⑥y=x-12中,A.①②④⑤ B.③④⑥C.①②⑥ D.①②④⑤⑥答案：C解析：幂函数是形如y=xα(α为常数)的函数,①是α=-1的情形,②是α=2的情形,⑥是α=-12的情形,所以①②⑥都是幂函数;③是对勾函数,不是幂函数;④是常数函数,不是幂函数;⑤中x2的系数是2,所以不是幂函数。所以只有①②⑥6.(2024·四川成都高一上期末考试)已知函数f(x)=(a2-a-1)x1a-2为幂函数,则实数a的值为A.-1或2 B.-2或1C.-1 D.1答案：C解析：因为f(x)=(a2-a-1)x1a-2为幂函数,所以a2-a-1=1,即a=2或-1。又a-2≠0,7.(2024·北京育才学校期中)幂函数y=f(x)的图像经过点(2,4),则该幂函数的解析式为()。A.y=x4 B.y=x2C.y=x+2 D.y=2x答案：B解析：题中要求f(x)为幂函数,故解除A,C,D选项。8.(2024·浙江杭州长征中学高一期中)已知幂函数f(x)=xα的图像过点(2,2),则f(9)=。

答案：81解析：∵幂函数f(x)=xα的图像过点(2,2),∴f(2)=(2)α=2,解得α=2,∴f(x)=x2,∴f(9)=92=81。故答案为81。9.(2024·青岛调考)已知幂函数f(x)=k·xα的图像过点12,22,则k+答案：3解析：因为函数是幂函数,所以k=1。又因为其图像过点12,22,所以22=12α,解得α=12考点2幂函数的图像10.(2024·东北三校联考)如图3-3-1-1给出四个幂函数的图像,则图像与函数大致对应的是()。图3-3-1-1A.①y=x2,②y=x13,③y=x12,④B.①y=x3,②y=x2,③y=x12,④y=C.①y=x2,②y=x3,③y=x12,④y=D.①y=x13,②y=x12,③y=x2,④答案：B解析：留意到函数y=x2≥0,且该函数是偶函数,其图像关于y轴对称,该函数图像应与②对应;y=x12=x的定义域、值域都是[0,+∞),该函数图像与③对应;y=x-1=1x,11.(2024·宁波模块统考)函数y=x13的图像是(图3-3-1-2答案：B解析：由幂函数y=x13的性质知,图像过点(0,0),(1,1),故解除A,D。因为y=xα中0<α=13<1,所以图像在第一象限内上凸,12.(2024·黄冈中学月考)函数y=x12-1的图像关于x轴对称的图像大致是(图3-3-1-3答案：B解析：y=x12的图像在第一象限,函数y=x12-1的图像可看作是由y=x12的图像向下平移一个单位长度得到的,将y=x13.(2024·西北工大附中月考)如图3-3-1-4所示,C1,C2,C3为三个幂函数y=xk在第一象限内的图像,则解析式中k的值依次可以是()。图3-3-1-4A.-1,12,3 B.-1,3,C.12,-1,3 D.1答案：A解析：依据幂函数的图像与性质可知,kC1<0<kC2<kC3,所以解析式中k的值依次可以是14.(2024·湖北仙桃一中单元测试)幂函数f(x)的图像经过点2,14,答案：f(x)=x-2 解析：设幂函数为f(x)=xα。∵其图像过点2,14,∴2α=14=2-2,∴α=-2,∴函数解析式为f(x15.(2024·云南大理高一期中)已知函数y=a(x-4)+2(a>0,且a≠1)的图像恒过定点P,且P在幂函数f(x)的图像上,则f(x)=。

答案：x解析：由一次函数的性质知函数y=a(x-4)+2(a>0,且a≠1)的图像恒过定点P(4,2)。设幂函数为f(x)=xα,由P在幂函数f(x)的图像上,可得4α=2,解得α=12,所以f(x)=x考点3幂函数的性质16.(2024·吉林榆树一中高一期中)下列幂函数中图像过点(0,0),(1,1)且为偶函数的是()。A.y=x12 B.y=C.y=x-1 D.y=x3答案：B解析：在A中,y=x12过点(0,0),(1,1),是非奇非偶函数,故A错误;在B中,y=x2过点(0,0),(1,1),是偶函数,故B正确;在C中,y=x-1不过点(0,0),过点(1,1),是奇函数,故C错误;在D中,y=x3过点(0,0),(1,1),是奇函数,故D错误。故选17.(2024·浙江绍兴诸暨中学高一期中)已知幂函数y=(m2-3m-3)xm3是偶函数,则实数m的值是(A.4 B.-1C.3+212 D.4答案：A解析：已知函数y=(m2-3m-3)xm3是幂函数,则m2-3m-3=1,解得m=-1或m当m=-1时,y=x-13不是偶函数;当m=4时,y=x43是偶函数。综上,实数m18.(2024·河北保定博野中学高一期中)下列函数既是偶函数又是幂函数的是()。A.y=x B.y=xC.y=x12 D.y=|答案：B解析：对于A,函数是奇函数,不合题意;对于B,函数是偶函数且是幂函数,符合题意;对于C,函数不是偶函数,不合题意;对于D,函数不是幂函数,不合题意。故选B。19.(2024·广东肇庆高一期中调考)已知幂函数f(x)=xα(α为常数)的图像过点P2,12,则f(x)的单调递减区间是(A.(-∞,0) B.(-∞,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(-∞,0),(0,+∞)答案：D解析：由题意得2α=12,则α=-1,则y=f(x)=x-1,所以函数f(x)的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞)20.(2024·湖南边城一中单元检测)设α∈-1,12,1,3,则使函数y=xα的定义域为RA.1,3 B.-1,1C.-1,3 D.-1,1,3答案：A解析：若函数y=xα的定义域为R,则α可取1,3;若函数y=xα为奇函数,则α可取-1,1,3,故α取1,3。故选A。21.(2024·郑州调考)下列函数中既是偶函数,又在(-∞,0)上为增函数的是()。A.y=x43 B.yC.y=x-2 D.y=x答案：C解析：y=x43在(-∞,0)上是减函数;y=x32的定义域为[0,+∞),是非奇非偶函数;y=x-2既是偶函数,又在(-∞,0)上为增函数;y=x-考点4幂函数的概念、图像与性质的综合问题22.(2024·甘肃天水一中高一其次次考试)幂函数y=f(x)的图像经过点(2,8),则满意f(x)=27的x为()。A.3 B.1C.27 D.1答案：A解析：设f(x)=xα,则f(2)=2α=8,则α=3,由f(x)=x3=27,得x=3,故选A。第2课时幂函数图像与性质的应用考点1利用幂函数的性质比较大小1.(2024·北京八中单元测试)a=1.212,b=0.9-12,c=1.1A.c<a<bB.a<c<bC.b<a<c D.c<b<a答案：D解析：∵y=x12是增函数,∴1.212>10.912>1.2.(2024·江西临川一中单元测试)下列不等式在a<b<0的条件下不成立的是()。A.a-1>b-1 B.a13C.b2<a2 D.a-2答案：D解析：分别构造函数y=x-1,y=x23,y=x2,y=x-23,其中函数y=x-2,y=x2在(-∞,0)上为减函数,而y=x23,y=x考点2利用幂函数的性质求参数范围3.(2024·湖北长阳第一高级中学高一期中)若幂函数y=xm是偶函数,且当x∈(0,+∞)时为减函数,则实数m的值可能为()。A.-2B.12C.-12答案：A解析：结合选项,若y=xm是偶函数,则m的值可能为2或-2。当x∈(0,+∞)时为减函数,则m=-2符合。4.(2024·福建宁德霞浦一中高一期中)若幂函数f(x)过点(2,8),则满意不等式f(a-3)>f(1-a)的实数a的取值范围是。

答案：(2,+∞)解析：设幂函数为f(x)=xa,其图像过点(2,8),所以2a=8,解得a=3,所以f(x)=x3,因为f(x)=x3在R上为增函数,所以由f(a-3)>f(1-a),得a-3>1-a,解得a>2。所以满意不等式f(a-3)>f(1-a)的实数a的取值范围是(2,+∞)。5.(2024·武汉二中周练)若(a+1)-1<(3-2a)-1,试求a的取值范围。答案：解:∵(a+1)-1<(3-2a)-1,∴a+1>0,3-2a>0,a+1>3-2a或a+1<0考点3幂函数图像的应用6.(2024·深圳中学单元测试)如图3-3-2-1,曲线是幂函数y=xn在第一象限的图像,已知n取±2,±12四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的n值依次为()图3-3-2-1A.-2,-12,12,2B.2,12,-12,-2C.-12,-2,2,1答案：B解析：函数y=x-2,y=x2,y=x-12,y=x12中,令x=4得到的函数值依次为116,16,12,2。函数值由大到小对应的解析式为y=x2,y=x12,y=x-12,y=x-2,因此相应于曲线C1,C2,C3,C7.(2024·广西河池示范性中学课改联盟体高一联考)已知幂函数f(x)=xa的图像过点2,12,则函数g(x)=(x-2)f(x)在区间12,A.-1 B.-2 C.-3 D.-4答案：C解析：由已知得2a=12,解得a=-1,∴g(x)=x-2x在区间12,1上单调递增,则g(x)min考点4幂函数图像与性质应用的综合问题8.(2024·山东烟台二中质检)对于幂函数f(x)=x45,若0<x1<x2,则fx1+x22A.fx1+B.fx1+C.fx1+D.无法确定答案：A解析：幂函数f(x)=x45在(0,+∞)上是增函数,且图像上凸(图略),∴当0<x1<x2时,fx1+x9.(2024·山东济南一中期中考试)已知幂函数f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是增函数,则函数f答案：f(x)=x4解析：因为幂函数f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)为偶函数,所以-m2+2m+3为偶数。又f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,所以-m2+2m+3>0,所以-1<m<3,又m∈Z,-m2+2m+3为偶数,所以m=1,故所求解析式为f10.(2024·四川石室中学单元测试)给出下面四个条件:①f(m+n)=f(m)+f(n);②f(m+n)=f(m)·f(n);③f(mn)=f(m)·f(n);④f(mn)=f(m)+f(n)。假如m,n是幂函数y=f(x)定义域内的随意两个值,那么幂函数y=f(x)肯定满意的条件的序号为。

答案：③解析：设f(x)=xa,则f(m+n)=(m+n)a,f(m)+f(n)=ma+na,f(m)·f(n)=ma·na=(mn)a,f(mn)=(mn)a,所以f(mn)=f(m)·f(n)肯定成立,其他三个不肯定成立,故填③。11.(2024·江苏清江中学月考)已知幂函数f(x)=xm-3(m∈N*)的图像关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满意fa+1-m3<f答案：解:因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以m-3<0,解得m<3。因为m∈N*,所以m=1或2。又函数f(x)的图像关于y轴对称,所以m-3是偶数。而2-3=-1为奇数,1-3=-2为偶数,所以m=1。故f(x)=x-2,f(x)在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数。所以fa+1-13<f3-2a-13等价于a+23>83-2a,且83-2a≠0,a+12.(2024·福建龙岩连城一中高一期中)已知幂函数f(x)=x9-3m(m∈N*)的图像关于原点对称,且在R上函数值随x的增大而增大。(1)求f(x)的解析式;答案：由题可知,函数在R上单调递增。∴9-3m>0,解得m<3。又m∈N*,∴m=1,2。又函数图像关于原点对称,∴9-3m为奇数,