高考数学常考题型专项复习：导数与函数的单调性（原卷版+解析）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第15讲导数与函数的单调性（精讲）

题型目录一览

①导数与原函数图像之间的联系

②不含参数的函数单调性

③含参数的函数单调性

（1）一次函数型

（2）二次函数型I（可因式分解）

（3）二次函数型11（不可因式分解）

（4）指数函数型

④函数单调性中的参数值（范围）问题

、知识点梳理

一、单调性基础问题

1.函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数y=f（x）在某个区间内可导，如果尸（x）＞0,则y=/（尤）为增函数；如果

f'（x）＜0,则y=/（x）为减函数.

2.已知函数的单调性问题

①若/（尤）在某个区间上单调递增，则在该区间上有（（x）20恒成立（但不恒等于0）；反之,要满足（（x）＞0,

才能得出“X）在某个区间上单调递增；

②若/（%）在某个区间上单调递减，则在该区间上有「（元）40恒成立（但不恒等于0）;反之,要满足「（无）＜0,

才能得出了（幻在某个区间上单调递减.

二、讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒负,

无需单独讨论的部分）；

（3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负

区间段已知，可直接得出结论）；

（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；

（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；

（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导.

（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；

类型二：含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的

区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已知恒正或恒负,

无需单独讨论的部分）；

（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；

（5）导数图像定区间；

【常用结论】

①使/'（x）=0的离散点不影响函数的单调性，即当/'（X）在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正

（或负）时，/（X）在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在（―8,+oo）上，/（x）=x3,当x=0

时，/'（%）=0；当尤W0时，而显然/（x）=d在（—8,+8）上是单调递增函数.

②若函数y=/（x）在区间（。,加上单调递增，则尸（x）20（/'（X）不恒为0）,反之不成立.因为/'（x）20,

即/'（x）>0或/'（x）=0,当r（x）>。时,函数y=/（x）在区间（。/）上单调递增.当/。）=0时，/（%）

在这个区间为常值函数；同理，若函数y=/（x）在区间（。,打上单调递减，则/'（x）<0（/'（x）不恒为0）,

反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于

是有如下结论：

/⑴>0nf（x）单调递增；f（x）单调递增=>f（x）>0；

fr（x）<0=>/（x）单调递减；/（%）单调递减=>f\x）<0.

二、题型分类精讲

题型一导数与原函数图像之间的联系

策略方法

原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增o导函数r（x）»o（导

函数等于o,只在离散点成立，其余点满足r（x）＞。）；原函数单调递减o导函数r（x）w。（导

函数等于0,只在离散点成立，其余点满足/（不）＜0）.

【典例1】已知函数、=靖⑺的图象如图所示（其中广⑺是函数“X）的导函数），则y=/（x）的图象大

一、单选题

1.（2023•浙江绍兴.统考模拟预测）如图是函数y=/（x）的导函数y=_f（x）的图象，若"2）=0,则y=

的图象大致为（）

2.（2023・全国•高三专题练习）设尸（X）是函数/（X）的导函数，y=/'（尤）的图象如图所示,则y=/（x）的图

3.（2023・陕西西安•校联考一模）已知定义在［-3,4］上的函数”尤）的大致图像如图所示，/（X）是“X）的导

函数，则不等式矿（力＞0的解集为（）

-2/-1O\15\3x

/2\

A.[1：]B.（-3,-2）

C.（-1,0）[1,£|D.（3,4）

二、多选题

4.（2023・全国•高三专题练习）已知函数y=〃x）的导函数y=/'（*）的图象如图所示，则下列说法正确的是

B./（♦）＜/（&）

C.在区间（。力）内有2个极值点

D.的图象在点尤=0处的切线的斜率大于0

三、填空题

5.（2023•全国•高三专题练习）函数/（x）的图象如图所示,记A"'&）、5"'（々）、C=f'（三），则A、B、C

6.（2023春・上海•高三统考开学考试）己知定义在（-3,3）上的奇函数y=〃尤）的导函数是『（X）,当尤N0时,

y=f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式上至>o的解集为.

X

题型二不含参数的函数单调性

畲策略方法求函数单调区间的步骤

(1)确定函数/(X)的定义域.

⑵求尸(X).

⑶在定义域内解不等式尸(x)>0,得单调递增区间.

(4)在定义域内解不等式尸(x)<0,得单调递减区间.

【典例1】函数的单调递增区间为()

A.(-1,1)B.(1,+s)C.(0,1)D.(0,2)

【题型训练】

一、单选题

1.(2023・全国•高三专题练习)函数/(x)=x2-41nx+2x-3的单调递减区间是()

A.(…)B.(-2,1)

C.(0,1)D.(—8,—2)和(1,+oo)

2.(2023•全国•高三专题练习)已知/(x)=%3-6%2—,a<b<c,且===现给

出如下结论：

①/(0)=八3)；

②〃0)/(1)<0；

③〃1)〃3)<0；

@a2+b2+c2=1S.

其中正确结论个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/（x）=e'+x,ga）=3x,且/O）=g（〃）,则”爪的最小值为（）

A.l-ln2B.2（1-In2）

C.1（2-ln2）D.|（l-ln2）

二、多选题

4.（2023・全国•模拟预测）已知函数/。）=（炉+工一2,则（）

A.了⑺的单调递减区间是（0,1）B./（尤）有4个零点

C.Ax）的图象关于点（0,-2）对称D.曲线>=/（尤）与无轴不相切

三、填空题

5.（2023•云南•校联考二模）函数/（刈二^-山口+好的单调递增区间为.

6.（2023春•江西•高三校联考阶段练习）函数/（尤）=好的单调递增区间为.

7.（2023秋•山东东营•高三东营市第一中学校考期末）函数/（x）=宅的单调递增区间为.

8.（2023・福建・统考模拟预测）函数〃x）=x：（x>0）的单调增区间是-

9.（2023春・安徽亳州•高三校考阶段练习）函数〃工）=止有两个零点，则上的取值范围是_.

x2

题型三含参数的函数单调性

畲策略方法解决含参数的函数的单调性问题应注意两点

⑴研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

⑵划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.

【典例1】己知函数/（x）=alnx+尤-1（其中。为参数）.求函数/（X）的单调区间.

【典例2】己知函数〃x）=lnx+；方2+（a+l）x,aeR.讨论函数的单调性.

【典例3】设函数〃x)='-x+alnx,求函数了⑺的单调区间.

X

75

【典例4】已知函数〃x)=5-2e*+3(aeR)(e为自然对数的底数,e<y).求函数“X)的单调区间;

【题型训练】

一、单选题

1.(2023•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=x-lnx-1,若不等式2a(x-l『在区间(0,1］上恒成立,

则实数。的取值范围为()

A.［后］B.C,「收)D.&+,

YPX%<0

2.(2023秋•四川宜宾•高三四川省宜宾市第四中学校校考期末)已知函数/(力=〈’一八，若

Inx,x>0

g(x)=/(x)-ax有四个不同的零点，则。的取值范围为()

A.B.pljC.［l,e)D.［e,M)

二、填空题

3.(2023・全国•高三专题练习)已知〃x)=lnx-a?+a,若对任意工和，都有〃x)W0,则实数。的取值

范围是.

三、解答题

4.(2023・全国•高三专题练习)/(%)=ax+lnx+l(aeR),g(x)=%ex-1.讨论/(x)的单调性;

5.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=ln(xT)-〃2xOeR).讨论函数/(元)的单调性;

已知函数〃尤)=依6'-11-尤.讨论/(X)在(0,+向上的单调性;

6.(2023•全国•高三专题练习)

设函数f(x)=g依2-(a+l)x+lnx.当a>0时，讨论函数“尤)的单调性;

7.(2023・全国•高三专题练习)

已知函数〃%)=%-工-°111耳.>0).讨论函数/(%)的单调性；

8.(2023•全国•高三专题练习)

9.（2023•全国•高三专题练习）讨论函数〃x）=lnx+，♦的单调性

10.（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃x）=2e*-6-2（aeR）.讨论函数的单调性;

11.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=e2'+（a+2）ex+依.讨论"X）的单调性;

题型四函数单调性中的参数值（范围）问题

畲策略方法由函数的单调性求参数的取值范围的方法

⑴可导函数在区间。上单调，实际上就是在该区间上尸（x）N0（或/（x）S0）恒成立，从而构建不

等式，求出参数的取值范围，要注意“=”是否可以取到.

⑵可导函数在区间。上存在单调区间，实际上就是r（x）>0（或/（x）<0）在该区间上存在解集,

即尸（X）max>0（或广（X）mm<0）在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围.

⑶若已知/（X）在区间。上的单调性，区间端点含有参数时，可先求出了（X）的单调区间，令。

是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围.

中点，“一轴''指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题.

【典例1]若函数在/（尤）=*-4x+alnx在[L2]上单调递增，则实数。的取值范围是（）

A.a>6B.a>6C.<2>16D.a>16

【题型训练】

一、单选题

1.（2023•陕西西安・统考三模）若函数〃x）=d-依+lnx在区间（l,e）上单调递增，贝的取值范围是（）

A.[3,+oo）B.（—oo,3]C.[3,e?+l]D.13,e1—1]

2.（2023・全国•高三专题练习）若函数/（x）=（ox+l）e'在[1,2]上为增函数，则a的取值范围是（）

一1、r1A

A.--,+ooB.--,+oo

1

C.—,+coD.[0,+8)

4

3.（2023・全国•高三专题练习）已知函数〃x）=（l-x）lnx+6在（l,+oo）上不单调，则。的取值范围是（）

A.（0,+8）B.（-8,0）C.[0,+句D.（-oo,0]

4.（2023・全国•高三专题练习）已知“%）=竺--x,XG（0,+CO）,对V%,尤2£（°，+°°），且石＜工2，恒有

＜。则实数a的取值范围是（）.

x2玉

A.-co,e2B.-,+°oC.（-00,e2）D.e3,+1»

I」Le，

5.（2023・甘肃金昌・永昌县第一高级中学统考模拟预测）己知函数=V-依2+3彳在R上单调递增，且

g（x）=x+六在区间。,2]上既有最大值又有最小值，则实数。的取值范围是（）

A.[3,4）B.（2,3]C.（3,4]D.[2,3）

二、填空题

6.（2023•全国•高三专题练习）若函数〃无）=-;无依有三个单调区间，则实数。的取值范围是.

7.（2023•安徽•校联考二模）若不等式Inx-ar42a对Vxe（0,+8）恒成立，则实数a的取值范围为

8.（2023•全国•高三专题练习）若函数〃耳=1僦+依2-2在区间，,21内存在单调递增区间，则实数。的取

值范围是.

9.（2023•海南•校联考模拟预测）己知函数〃》）=与U，8（尤）=七二,若对任意xe[l,+e）,/（%）＜g（x）

恒成立，则实数。的取值范围是.

10.（2023.全国•高三专题练习）己知函数g（无）=%3一_|f+2尤+1.若g（x）在内不单调，则实数a

的取值范围是.

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第15讲导数与函数的单调性（精讲）

题型目录一览

①导数与原函数图像之间的联系

②不含参数的函数单调性

③含参数的函数单调性

（5）一次函数型

（6）二次函数型I（可因式分解）

（7）二次函数型n（不可因式分解）

（8）指数函数型

④函数单调性中的参数值（范围）问题

一、知识点梳理

一'单调性基础问题

1.函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数y=/（x）在某个区间内可导，如果尸（x）＞0,贝Ijy=/（X）为

增函数；如果/'（尤）＜0,贝ljy=f（x）为减函数.

2.已知函数的单调性问题

①若/（X）在某个区间上单调递增，则在该区间上有「（X）20恒成立（但不恒等于0）；反之，

要满足（⑴＞0,才能得出/（%）在某个区间上单调递增；

②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有「（x）W0恒成立（但不恒等于0）；反之，

要满足r（x）＜0,才能得出/（X）在某个区间上单调递减.

二、讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）;

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已

知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

(3)求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，

则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；

(4)未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；

(5)正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；

(6)一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则

求二阶导)；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数

再求导.

(7)借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负

区间段)；

类型二：含参数单调性讨论

(1)求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是

否是一个连续的区间)；

(2)变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分.定号部分：已

知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；

(3)恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；

(4)根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；

(5)导数图像定区间；

【常用结论】

①使/'(x)=0的离散点不影响函数的单调性，即当/'(x)在某个区间内离散点处为零，在

其余点处均为正(或负)时，/(幻在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的.例如，在

(—8,+8)上,/(幻=工3,当％=0时，/(%)=0;当XWO时,/'(%)>0,而显然/0)=%3

在(-8,+8)上是单调递增函数.

②若函数y=/(x)在区间(。力)上单调递增，则0(j'(x)不恒为①,反之不成立.

因为/'(幻20,即尸(x)>0或八x)=0,当八x)>0时,函数y=/(x)在区间(。/)上

单调递增.当/'(%)=0时，/(x)在这个区间为常值函数；同理，若函数y=/(x)在区间

(。力)上单调递减，则/'(x)<0(/'(X)不恒为0),反之不成立.这说明在一个区间上函数

的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：

/(幻>0=>/(x)单调递增；/(%)单调递增=>f\x)>0；

f'(x)<0=>/(x)单调递减；/(%)单调递减nf\x)<0.

✓

二、题型分类精讲

题型一导数与原函数图像之间的联系

策略方法

原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数/（X）单调递增o导函

数/（处20（导函数等于o,只在离散点成立，其余点满足了‘（幻＞0）；原函数

单调递减o导函数r（x）wo（导函数等于o,只在离散点成立，其余点满足

/（XO）＜O）.

【典例1】已知函数y=+'（x）的图象如图所示（其中尸（］是函数"X）的导函数）,则

y=的图象大致是（）

【分析】由丁=才（月的图象得到尸（x）的取值情况，即可得到外力的单调性，即可判断.

【详解】由＞=才（无）的图象可知当0＜x＜l时才（司＜0,贝!j/'（x）＜0,

当%＞1时矿（x）＞0,贝!I制x）＞0,

当一l＜x＜0时犷'（x）＞0,则/（x）＜0,

当X<—1时才(x)<0,贝!|74*)>0,

所以在上单调递增，在(T。)上单调递减，在(0,1)上单调递减，在(1,+3上

单调递增，

故符合题意的只有C.

故选：C.

【题型训练】

一、单选题

1.(2023・浙江绍兴.统考模拟预测)如图是函数y=的导函数y=_r(x)的图象，若

"2)=0,则y=的图象大致为()

【分析】根据导函数的图象在区间(0,1)内的函数的范围，判断出函数y=区间(0,1)上

各点处切线的斜率的范围，根据导函数的图象得导函数函数值的符号，得函数y=/(x)的单

调性，再结合四个选项可得答案.

【详解】由y=/(x)的图象可知，当0<x<i时，0</V)<l,则在区间(0,1)上，函数

y=/(元)上各点处切线的斜率在区间(0,1)内，

对于A,在区间(0,1)上，函数y=/(尤)上各点处切线的斜率均小于0,故A不正确；

对于B,在区间(0,1)上，函数y=/(x)上存在点，在该点处切线的斜率大于1,故B不正

确；

对于C,在区间(0,1)上，函数了=/(尤)上存在点，在该点处切线的斜率大于1,故C不正

确；

对于D,由y=/'(x)的图象可知，当0<“<1时，0<(。)<1,当l<x<3时，尸(x)<0,

当x>3时，/(x)>0,

所以函数y=/(x)上各点处切线的斜率在区间(0,1)内，在(0,1)上单调递增，在(L3)上单调

递减，在(3,+8)上单调递增，

而函数y=/(x)的图象均符合这些性质，故D正确.

故选：D

2.(2023•全国•高三专题练习)设广⑺是函数/(x)的导函数，y=/'(x)的图象如图所示,

则y=/(x)的图象最有可能的是()

【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数/(元)的单调性即可判断.

【详解】由导函数的图象可得当尤<0时，7^%)>0,函数/lx)单调递增；

当0<x<2时，r(x)<0,函数单调递减；

当x>2时，/^)>0,函数/■(%)单调递增.

只有C选项的图象符合.

故选：C.

3.(2023•陕西西安•校联考一模)已知定义在［-3,4］上的函数的大致图像如图所示,

f(x)是〃x)的导函数，则不等式矿(x)>0的解集为()

B.(-3,-2)

D.(3,4)

【答案】c

【分析】分x<0、尤>0两种情况求解即可.

【详解】若x〈0,则洋㈤<0J(x)单调递减,图像可知，xe(-l,0),

若无>0,则尸(x)>0,〃x)单调递增，由图像可知

故不等式#'(x)>o的解集为(T，o)

故选：C

二、多选题

4.(2023・全国•高三专题练习)已知函数y=f(x)的导函数y=/'(x)的图象如图所示，则下

列说法正确的是()

A.7■(%)</■(%)

B./(^)</(%2)

C.f(x)在区间(。力)内有2个极值点

D.””的图象在点x=0处的切线的斜率大于0

【答案】ACD

【分析】根据导函数的正负可得了(无)单调性，由单调性可判断AB正误；由极值点定义可

知C正确；由/'（。）＞0可知D正确.

【详解】由图象可知：当％«4,七）1.（左5，°）时，/^）＞0；当龙€（电,无5）时，/'（x）＜。；

\/㈤在（0,七）,（%，。）上单调递增;在（巧,不）上单调递减;

对于A,；不＜工2＜三，••＜/1（占）＜），A正确；

对于B,：尤2＜三，二〃义）＜/（电）,B错误；

对于C,由极值点定义可知：x=F为“X）的极大值点；＞三为〃x）的极小值点，即〃x）

在区间（。力）内有2个极值点，C正确；

对于D,当x=0时，/^）＞0,\/（X）在点x=0处的切线的斜率大于0,D正确.

故选：ACD.

三、填空题

5.（2023•全国•高三专题练习）函数/⑴的图象如图所示，记4=r（占）、B="）、C=f'（x3）,

【分析】根据导数的几何意义结合Ax）的图象分析判断即可

【详解】根据导数的几何意义，/（％）、/‘（马）、/（毛）分别为%,%,三处的切线斜率，

又看与X3处的切线单调递增，々处的切线单调递减，且4处的切线比W处的切线更陡峭,

故最大为1（%）.

故答案为：A

6.（2023春・上海•高三统考开学考试）已知定义在（-3,3）上的奇函数y=/（x）的导函数是

,当xNO时，y=/（x）的图象如图所示，则关于x的不等式△2＞0的解集为.

X

【答案】（T—1）（0,1）

【分析】先判断出的单调性，然后求得工詈＞0的解集.

【详解】依题意/（X）是奇函数，图象关于原点对称，

由图象可知，〃尤）在区间（一3,—1）,（1,3）,〃力递减，/（x）＜0；

在区间（T0）,（0,D］（x）递增,/（x）＞0.

所以d＞0的解集（-3,-1）.（0,1）.

故答案为：（-3,-1）!（0,1）

题型二不含参数的函数单调性

畲策略方法求函数单调区间的步骤

⑴确定函数/（x）的定义域.

⑵求广（X）.

（3）在定义域内解不等式r（x）＞0,得单调递增区间.

（4）在定义域内解不等式/（x）＜0,得单调递减区间.

【典例1】函数=的单调递增区间为（）

A.（-1,1）B.（1,+8）C.（0,1）D.（0,2）

【答案】B

【分析】求出导函数f（x）,在定义域内解不等式ra）＞o可得单调递增区间.

【详解】由已知得f（x）=x二="f（x+l）（x＞o）,

XX

令尸（无）二色-1）（龙+2＞0,

X

则无＞1,

...函数〃尤）的单调递增区间为（1,包）.

故选:B.

【题型训练】

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）函数/（尤）=/一41nx+2x-3的单调递减区间是（）

A.(1,+℃)B.(-2,1)

C.(0,1)D.(—8,-2)和(1,+<»)

【答案】C

【分析】根据给定的函数，利用导数求出单调减区间作答.

【详解】函数/(x)=l-41nx+2x-3的定义域为(0,+8),求导得

f\x)=2x--+2=2(x+2)d)

由尸(x)<。得。<X<1,所以函数〃x)=Y-41nx+2x-3的单调递减区间是(0,1).

故选：C

2.(2023•全国•高三专题练习)已知/(x)=一6尤2+9x-abc,a<b<c,且

/(a)=/0)=/(c)=O,现给出如下结论：

①〃0)=/'⑶；

②〃。)〃1)<0;

③/⑴〃3)<0；

@cr+b2+c2=18.

其中正确结论个数为()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】利用导数判定三次函数的图象与性质，结合图象即可一一判定结论.

［详解】求导函数可得广(x)=3--12x+9=3(%-1)(%-3)

...当1<尤<3时，r(x)<o；当尤<1,或x>3时，r(尤)

所以/(%)的单调递增区间为(-«,1)和(3,+⑹单调递减区间为(1,3)

所以/(x)极大值=/⑴=l-6+9-abc=4-abc,

/(x)极小值=/⑶=21-54+27-abc=-abc

要使〃x)=0有三个解。、b、c,那么结合函数/(尤)草图可知：

6Z<1<Z7<3<C

及函数有个零点X=b在1〜3之间，

所以"1)=4一/c>。，日一。⑶=—abc<b

所以0<oZ>c<4

/(O)=-abc,

•••/(O)=/(3),故①正确；

/(o)<o

.••/(O)/(1)<O,/(1)/(3)<0,即②③正确；

/(a)=/(Z>)=/(c)=O,

Xs-6x2+9x—abc

=(x-a){x-b)(x-c)

3

=A-(〃+匕+c)九2+(帅++bc)x-abc,

:.a+b+c=6(i),ab+ac+bc-9(ii),

把(ii)代入⑴式的平方化简得：a2+b2+c2=lS;即④正确；

故选：D.

3.(2023・全国•高三专题练习)已知函数〃x)=e'+x,g(x)=3x,且/(m)=g("),则"一旭的

最小值为()

A.1—ln2B.2(1—In2)

C.1(2-ln2)D.|(l-ln2)

【答案】D

【分析】首先根据题干条件/(m)=g(")，得e"+机=3〃，化简整理得3〃-3加=峻-2加，

然后构造函数〃(加)=0-2W，借助导数求解乂〃2)的最小值，即可求出"一m的最小值.

【详解】由〃m)=g(〃)，得e"+%=3〃，

化简整理得：3n-3m=e^—2m;

令力(=e“-2m(meR),h\m)=em-2,令e"‘-2=0,解得机=In2.

当机£(-oo,ln2)时，研劝<0,即"(m)在加£(-8,ln2)上单调递减；

当相£(ln2,+8)时，h^nij>0,即/z(m)在加£(ln2,+oo)上单调递增；

即%，(机)=Mln2)=2-21n2,故(“一〃％”=§(1_历2)

故选：D

二、多选题

4.(2023•全国•模拟预测)已知函数/。)=(彳3+，一2,则()

3x

A.Ax)的单调递减区间是(0,1)B.Ax)有4个零点

C.Ax)的图象关于点(0,-2)对称D.曲线y=/(x)与x轴不相切

【答案】CD

【分析】对A直接求导，令导函数小于0,解出即可，对B,通过求出极大值和极小值，结

合其单调性即可判断，对C选项利用函数奇偶性和函数平移的原则即可判断，对D,利用

函数极大值、极小值的符号即可判断.

【详解】A选项：易知“X)的定义域为例彳*0},

Ax4-l卜F)(xT(尤+1)

外加「丁=-----P--------，

令解得-l<x<0或0<x<l,

所以“尤)的单调递减区间为(TO)和(0,1),A错误；

B选项：令制x)>。，解得x<-l或x>l,所以"X)在(fl),和(1,+s)上单调递增，

所以当尸-1时，”力取得极大值，因为〃-1)=-5<0,且“尤)在(TO)上单调递减,

所以〃尤)在0)上没有零点，

当x=l时，“X)取得极小值，因为/⑴=-§<0,所以/⑺在(0,+8)上至多有两个零点，

B错误；

C选项：设g(x)=/(x)+2=；x3+1,函数定义域为{x|xwO},关于原点对称，

且/(-x)=；(-xy+L=-tx3+_L]=-/(x),则g(x)为奇函数，

所以晨尤)的图象关于原点对称，将g(x)的图象向下平移2个单位长度得到“X)的图象，

所以“X)的图象关于点(0,-2)对称，C正确；

71n

D选项：因为的极小值〃1)=-耳<0,极大值〃-1)=-£<0,所以曲线y=F(x)与

X轴不相切，D正确.

故选：CD.

三、填空题

5.(2023•云南•校联考二模)函数/(x)=e-ln(l+x)的单调递增区间为

【答案】(0收)/[。收)

【分析】通过二次求导，证明当尤>0时，((尤)>0,即得解.

【详解】由题得函数定义域为(T+s),/'(x)=e'--^=g(x),g\x)=e，+彳二>0,

所以g(x)在(T~)上单调递增，又g(0)=0,

所以当x>0时，/(无)>0,

故/（X）的单调递增区间为（0,+8）（或［0,口））.

故答案为：（0,+8）

6.（2023春•江西•高三校联考阶段练习）函数/（x）=g的单调递增区间为.

【答案】（0，五）

【分析】求导数（（无），令力（或〉。，解不等式即可得函数的单调递增区间.

【详解】函数〃尤）=号的定义域为（0,+功，则（（%）=上芈，

令制x）>0,解得0<x<五，故函数〃尤）的单调递增区间为

故答案为：（0,加）.

7.（2023秋•山东东营•高三东营市第一中学校考期末）函数/（x）=二的单调递增区间为

【答案】（力,一1）,（一1,小）

【分析】对函数求导，判断导函数的正负，导函数分子无法判断正负，再对分子求导，利

用导函数的单调性来判断导函数的正负，进而得出原函数的单调区间.

【详解】因为函数“x）=y,贝!jr（x）="L

设h（x）=xex+1,则〃（%）=（%+l）e%,

当x>-1时,"（无）>0,〃（幻在（-L+8）上单调递增；

当了<-1时，h'（x）<0,〃（元）在（ro,T）上单调递减，

所以当xeR时，h（x）>h（-V）=--+1>0,

e

则当xw—1时，/V）>0.

所以f（x）的单调递增区间为（-8,7）,（-1,+a））,

故答案为：（一00,-1）,（一1,+00）.

1

8.（2023・福建・统考模拟预测）函数/（%）=尸（%>。）的单调增区间是.

【答案】（0,。）（或（0目也对）

【分析】g（x）=ln（/（x））=1lnx,由复合函数单调性知：g（x）的增区间即为所求.

【详解】g（x）=ln（〃尤））=：ln无，由复合函数单调性知：g（x）的增区间即为所求，

，/、1-lnx八

g（x）=-------->0=>n0<%<e.

故答案为：(。©(或(0目也对)

9.(2023春・安徽亳州•高三校考阶段练习)函数/(幻=止-。有两个零点，则上的取值范围

x2

是—.

【答案】I。5]

【分析】函数/w=--I有两个零点，即方程地=。有两个根，构造函数g(x)=—(x>0),

利用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数g(x)的大致图像，根据图象即可得解.

【详解】函数八%)=g-4有两个零点，..・方程g-4=。有两个根，

x2x2

即方程也=4有两个根，

九2

设g(尤)=止(尤>0),则函数g(x)与y=。的图像有两个交点，

x2

1-lnx

且⑺二丁,

当xe(0,e)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

当xe(e,y)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

二函数g(x)在x=e时，取得最大值g(e)=：,

又当xf0时，g(x)--<®；当xf+8时，g(x)>0且g(x)f0,

题型三含参数的函数单调性

畲策略方法解决含参数的函数的单调性问题应注意两点

(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和

函数的间断点.

【典例1】已知函数〃x)=alnx+x-l(其中。为参数).求函数f(x)的单调区间.

【答案】答案见解析

【分析】求出原函数的导函数，然后对。分类求得函数的单调区间；

【详解】尸(x)=*,xc(O,+s),

X

当时，.•・/(尤)在(0,y)单调递增，

当a<0时，令尸(x)=。，得x=-a,

尤e(0,-a)时，r(x)<0,/(x)单调递减，

xe(-a,+<o)时，/(尤)>0,/(x)单调递增；

综上：420时，了⑴在(0,+8)上递增，无减区间，

当a<0时，/(X)的单调递减区间为(0,-。)，单调递增区间为(-a,+00);

【典例2】已知函数〃x)=lnx+gax2+g+l)x,敏氏讨论函数/⑺的单调性.

【答案】答案见解析

【分析】对“X)求导，然后分。之。和“<0两种情况讨论即可；

【详解】函数〃彳)=山+；62+(4+1)》的定义域为(0,+8),

所以广(〃)△+办+a+]="2+(a+l)x+l=3+l)(x+l).

XXX

当“20时，/^%)>0,所以“X)在(0,+8)上单调递增；

当a<0时，令以"<0得%>-：,令四*)>0得0<x<~—,

所以〃无)在1上单调递减：在(o,-£|上单调递增.

综上，当a20时，函数”X)在(。,+8)上单调递增；当a<0时，〃尤)在，，上单调递

减，在上单调递增.

【典例3】设函数〃力=:-尤+alnx,求函数/⑺的单调区间.

【答案】当aW2时，/（x）的单调减区间为（0,+8）；

当a>2时，””的单调减区间为卜纥手^和八用士+8，单调增区间为

【分析】对“X）求导，分-2WaW2和a<-2和。>2三类讨论导数的正负，即可得出了⑺的

单调区间.

【详解】由题意得〃尤）=1-x+alnx的定义域为（0,+8）,因为〃x）=L-x+alnx,

XX

m【、i\]1a—x2+ax—1

所以尸（》）=-7_1+1r—）—,

-0-7?7（x）=-x2+ax-l,A=a2-4,

①当-2WaW2时，r（x）<0,所以/（x）在（0,+向上单调递减，

②当a<-2时，尸（力<0,所以Ax）在（0,+8）上单调递减，

③当。>2时，令/'（x）=o,则玉=伫与a,尤2=竺华工,

r

且0<%<%,所以〃尤）在卜"-4和空手£+s上单调递减，在

综上，当时，Ax）的单调减区间为（0,+8）；

当。>2时，〃x）的单调减区间为，伫*^和a+^^M,单调增区间为

25

【典例4】已知函数/（%）=分一2/+3（。€口）（6为自然对数的底数，6<§）.求函数f（x）

的单调区间；

【答案】答案见解析

【分析】先求得/（X）,结合aW0和a>0讨论-（X）的正负，进而求解.

【详解】函数4x）=ar—2e，+3（aeR）的定义域为R,贝!!/'（x）=a-2e'.

①当时，对任意的xeR,f'(x)<0,

此时函数的减区间为(­,+«),无增区间;

②当a>0时，由/'(x)<0可得尤>ln］,f<^x)>0可得x<ln葭，

此时函数/'(X)的单调递增区间为［叫呜］,递减区间为1呜,+。

综上所述，当时，函数〃x)的减区间为(f,y),无增区间；

当a>0时，函数外”的单调递增区间为1-8,In£|,递减区间为，小+".

【题型训练】

一、单选题

1.(2023・全国•高三专题练习)已知函数〃x)=x-lnx-l,若不等式〃工"。(—1)2在区间

(0,1］上恒成立，则实数。的取值范围为()

A.B,卜C.D.

【答案】A

【分析】f(x)-a(x-l)2之0即为％—1口%一1一。(冗一1)2>0,设g(x)=冗一1口1—1一。(工一1)2,

尤e(0,l］,求出函数g(x)的导函数，分解aV；和a〉｝寸论函数g(x)的单调性，求出函数

g(x)在区间(0』上的最小值，即可得解.

【详解】解：由已知可得了(X)—“(%—1)2之0即为X—Inx—1—Q(x—1)220,

设g(x)=x-lnx-l-〃(x-l)2,xe(0,1］,

则g，G)二攵二四二匈，

X

当时，显然g'(x)<。，当0<avg时，8'。)三0在工€(0,1］上也成立，

所以avg时，g(x)在(0』］上单调递减，8(X"86=0恒成立；

当a>!时，当0<x<工时，g'(x)<0,当时，g'(x)>0,

22a2a

所以g(x)在(0,1［上单调递减，在上单调递增，

于是，存在使得g(x°)<g⑴=0,不满足g(x)NO,舍去此情况,

综上所述，«<1.

故选：A.

xc"%<0

2.(2023秋•四川宜宾•高三四川省宜宾市第四中学校校考期末)己知函数〃x)=；'一0,

Inx,x>0

若g(x)=/(x)-依有四个不同的零点，则。的取值范围为()

A.B.jl]C.[l,e)D.3+⑹

【答案】A

【分析】讨论xWO、x>0,应用导数研究单调性，要使g(x)=。有四个不同的解，即当两

个区间均存在两个零点时，求a的范围即可.

【详解】由题意知：g(x)=/(x)-依有四个不同的零点，

•••g(X)=贝|J8。)=。有四个不同的解，

\lnx-ax,x>0

x

当％40时，gM=x(e-a)=Of其零点情况如下：

1)当。