三角形的概念和性质【十六大题型】（解析版）-2024年中考数学一轮复习

三角形的概念和性质【十六大题型】

►题型梳理

【题型1画三角形的高、中线、角平分线】......................................................2

【题型2等面积法求三角形的高】..............................................................6

【题型3利用网格求三角形的面积】............................................................9

【题型4根据三角形的中线求解】..............................................................13

【题型5与垂心性质有关的计算】..............................................................16

【题型6利用三角形的三边关系求解】.........................................................21

【题型7利用三角形内角和定理求解】.........................................................24

【题型8三角形内角和与平行线的综合应用】...................................................27

【题型9三角形内角和与角平分线的综合应用】.................................................30

【题型10利用三角形内角和定理解决三角板问题】...............................................34

【题型11利用三角形内角和定理探究角的数量关系】.............................................41

【题型13利用三角形外角的性质求角度】......................................................52

【题型14三角形的外角性质与平行线的综合】...................................................55

【题型15利用三角形的外角性质解决折叠问题】.................................................60

【题型16三角形内角和定理与外角和定理综合】.................................................67

〉举一反三

【知识点三角形】

1.三角形的基本概念

⑴三角形的概念

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

(2)三角形的分类

①按边之间的关系分：

三边都不相等的三角形叫做不等边三角形；

有两边相等的三角形叫做等腰三角形；

三边都相等的三角形叫做等边三角形。

②按角分类：

三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；

有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；

有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

(3)三角形的三边之间的关系

三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。

三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

(4)三角形的高.中线.角平分线

角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形

的角平分线。

中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

高线：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形

的高)。

(5)三角形的稳定性

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应

用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

(6)三角形的角

①三角形的内角和等于180%

推论：直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形。

②三角形的外角

定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

内外角的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它

不相邻的内角。

三角形的外角和等于360。。

⑺三角形的面积

三角形的面积=Lx底X高

2

【题型1画三角形的高、中线、角平分线】

【例1】(2023•河北石家庄•校联考模拟预测)嘉淇剪一个锐角△ABC做折纸游戏，折叠方法如图所示，折

痕与BC交于点0,连接4D,则线段4D分别是△4BC的()

A.高，中线，角平分线B.高，角平分线，中线

C.中线，高，角平分线D.高，角平分线，垂直平分线

【答案】B

【分析】根据三角形的高线、角平分线及中线的定义依次判断即可.

【详解】解：由图可得，图①中，线段2D是△4BC的高线，

图②中，线段AD是△4BC的角平分线，

图③中，线段4。是△力的中线，

故选：B.

【点睛】题目主要考查三角形的高线、角平分线及中线的定义，理解题意是解题关键.

【变式1-1](2023•吉林长春•校联考二模)图①、图②、图③均是4x4的正方形网格，每个小正方形的顶

点称为格点，小正方形的边长为1，在给定的网格中，按照要求作图(保留作图痕迹).

(1)在图①中作的中线BD.

(2)在图②中作A48C的高BE.

(3)在图③中作A42C的角平分线BF.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)找出对角线为4C的矩形，连接另一条对称线，两条对角线的交点就是。，连接BD即可;

(2)找出与线段4c相等的线段BT,AC与交于点E,连接BE即可；

（3）延长BC到H,使CH的长为小方格的正方形的边长，贝MB=BH=5,连接4H交外围大正方形的边于

点W,则W是线段4H的中点，连接8勿即可.

【详解】（1）如图①中，线段8。即为所求;

（2）如图②中，线段即为所求:

（3）如图③中，线段2尸即为所求.

【点睛】本题考查了用网格作图，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和

性质，正方形的性质，熟练运用这些知识是解题的关键.

【变式1-2］（2023•河北石家庄•统考一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（N2是钝角），他打

算用折叠的方法折出NC的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（）

A.4B边上的中线和高线B.NC的角平分线和ZB边上的高线

C.NC的角平分线和AB边上的中线D.NC的角平分线、4B边上的中线和高线

【答案】c

【分析】由折叠的性质可求解.

【详解】解：当4C与BC重合时，折痕是NC的角平分线；

当点/与点8重合时，折叠是4B的中垂线，

故选：C.

【点睛】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是本题的关键.

【变式1-3](2023下•黑龙江哈尔滨•三模)如图，在小正方形的边长均为1的方格纸中，△A8C的顶点均

在小正方形的顶点上.

(1)在图1中画出△4BC中BC边上的高力D,垂足为。；

(2)在图2中画出△ABC中4B边上的中线CE；

(3)直接写出图2中三角形2CE的面积.

【答案】(1)图见解析

(2)图见解析

⑶4

【分析】(1)根据高线的定义，画出4。即可;

(2)取48的中点E,连接CE即可；

(3)利用面积公式进行求解即可.

【详解】(1)解：如图所示，4。即为所求；

（2）如图所示，CE即为所求;

（3）三角形4CE的面积为^X2x4=4.

【点睛】本题考查画高线，中线，求三角形的面积.熟练掌握高线和中线的定义，是解题的关键.

【题型2等面积法求三角形的高】

【例2】（2023•陕西西安•校考三模）如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为

1），点N、B、C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高的长度是（）

A.竽B.7V13C.甯D.曾

101717

【答案】D

【分析】由勾股定理求得8C=717,由割补法求得S^BC=7,设△ABC中8c边上的高的长度是儿利用三

角形面积公式列方程求解即可.

2

【详解】解：由题意可知，BC=V1+42=V17,5A^BC=4x4-|x2x3-|x2x4-|x1X4=7,

设△4BC中BC边上的高的长度是h,

S^ABC=］八,BC=7,

._14Vly

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理，割补法求面积，一元一次方程的应用你，分母有理化，利用属数形结合的

思想解决问题是解题关键.

【变式2-1］（2023•江苏苏州・统考三模）数学活动课上，小敏、小颖分别画了A45c和△£）££数据如图,

如果把小敏画的三角形面积记作小颖画的三角形面积记作&QER那么你认为（）

小敏画的三角形

A.S^ABOS^DEFB.S^ABC<S^DEF

C.S^ABC=S^DEFD.不能确定

【答案】C

【分析】在两个图形中分别作8C、所边上的高，欲比较面积，由于底边相等，所以只需比较两条高即可.

【详解】解：如图，过点4。分别作/GL8C,DHLEF,垂足分别为G、H,

D

小颖画的三角形

在zMBG和中，AB=DE=5,

Z5=5O°,Z_DEN=180°-130°=50°,

:.乙B=3EH,UGB=3HE=90°,

.••△JG8三△Olffi(AAS),

：.AG=DH.

■.BC=4,EF=4,

.■.S^ABC=SADEF.

故选：C.

【点睛】要题考查全等三角形的判定和性质，等底等高两三角形面积相等.证明A4G8三是解题的关

键.

【变式2-2］（2023上•陕西延安•二模）如图，aABC在平面直角坐标系中，A,B,C三点在方格线的交点

上.

(1)请在图中作出△48C中力B边上的高.

(2)求△TWC的面积.

(3)点8到4C边所在直线的距离为费，求4C的长度.

【答案】(1)见解析

⑵8

(3)4C=5

【分析】(1)根据高线的定义结合网格特点作图即可;

(2)利用三角形的面积公式计算即可；

(3)根据三角形的面积公式列式计算即可.

【详解】(1)解：如图，4B边上的高即为所作；

(2)如图，SAABC=IAB-CD=IX4X4=8；

(3)•••点B到4C边所在直线的距离为青

・',SAABC=x—=8,

.,.AC=5.

【点睛】本题考查了三角形的高线，三角形的面积计算，熟练掌握网格特点是解题的关键.

【变式2-3］（2023•河北张家口•统考一模）如图，在点，，B,C,。中选一个点；与点N为顶点构成

一个三角形，其面积等于△«"可的面积，这个点为（）

A.点/B.点8C.点CD.点。

【答案】C

【分析】与点M,N为顶点构成一个三角形，其面积等于△KMN的面积，即寻找以MN为底边，高为KN长

的三角形.根据两平行线间的距离处处相等，只需要找到过点K且与MN平行的直线即可.

【详解】解：由于平行线间的距离处处相等，所有在过点K且与MN平行的直线上的点与N组成的三

角形都满足其面积与△KMN的面积相等，有网格的特点可知只有过点K、C的直线与MN平行，

故选C.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形面积，熟知平行线间的距离处处相等是解题的关键.

【题型3利用网格求三角形的面积】

【例3】（2023・安徽安庆•校考一模）如图，点8在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上，在网

格格点上除点/，2外任取一点C,则使△力8c的面积为1的概率是.

【答案】I

【分析】根据△ABC的面积为1,在网格上找到满足题意的点C,再根据概率公式，即可.

【详解】解：：任意放置一点C（除点4B）共有20—2=18种可能的结果，

其中能使△ABC的面积为1的结果有4种，

使△4BC的面积为1的概率为：京4=97

【点睛】本题考查概率的知识，解题的关键是全面找到满足题意的结果，熟练掌握概率的公式.

【变式3-1]（2023・北京・统考二模）如图所示的网格是正方形网格，点B,C,。均在格点上，则

【答案】<

【分析】分别求出△力BC的面积和△4CD的面积，即可求解.

【详解】解：由题意，

19

S&ABC=]X3X3=5，

1Q1

S»ACD=5X（2+3）X5_5_]X2X2=6,

「•SA/BC<SA/CD；

故答案为：V.

【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键.

【变式3・2】（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨市第六十九中学校校考三模）如图，在每个小正方形的边长均为1

的方格纸中，有线段48和线段DE,点/、B、D、E均在小正方形的顶点上.

（1）在方格纸中画出以48为斜边的Rt4ABC,点。在小正方形的顶点上;

(2)在方格纸中画出以DE为一边的等腰△DEF,点尸在小正方形的顶点上，且△DEF的面积为号.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】⑴如图，取格点C,连接北，即可;

(2)如图，取格点R连接DF,EF即可.

【详解】(1)解：如图所示，RtZkZBC即为所画，

(2)解：如图所示，等腰△DEF即为所画,

•••DE=V32+42=5,EF=5,

：.DE=EF,

-I115

^ADEF—3x5——X1X3——X3X4=—.

【点睛】本题考查利用网格作三角形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

【变式3-3](2023•黑龙江哈尔滨•统考一模)如图，在9X9的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,

点4B均在小正方形的顶点上

(1)在图中，按要求画一个△4BC,使点C在格点上，使得4C=5,且△48C的面积是8

(2)在图中，在格点上取一点D,画一个△ABD,使得的面积是12,且tanB=2；

(3)连接CD,直接写出的面积

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)7

【分析】(1)由三角形面积可求出48边高为4,再根据勾股定理即可确定点C的位置；

(2)由的面积是12,可求出。至IJ4B边距离为6,再根据tanB=2即可确定点。的位置;

(3)根据割补法即可求出三角形面积.

【点睛】此题主要考查网格作图、勾股定理、三角函数的应用，解题的关键是熟知三角形的面积的求法、

正切的定义及网格的特点.

【题型4根据三角形的中线求解】

【例4】（2023•湖北•统考中考真题）如图，点G为A43C的重心，D,E,尸分别为2C,CA,N2的中点,

具有性质：AG：GD=BG：GE=CG：GF=2：1.已知A4FG的面积为3,则A48C的面积为.

【答案】18

【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可.

【详解】解：••・CG：GF=2：1,41尸G的面积为3,

-.AACG的面积为6,

.•.A4C尸的面积为3+6=9,

■:点、F为AB的中点，

-.AACF的面积的面积，

.•・△^3。的面积为9+9=18,

故答案为：18.

【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键.

【变式4-1]（2023•福建泉州•模拟预测）如图，BD是△ZBC的中线，AB=6,BC=4,△ABD^ABCD

【答案】2

【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形周长计算，根据三角形中线的定义得到4。=CD,再分

别求出两个三角形的周长，然后作差即可得到答案.

【详解】解：•.•BD是△ABC的中线,

.'.AD=CD,

△48。的周长=AB+BD+AD,

△BCD的周长=BC+CD+BD,

,,•AB=6,BC=4,

•'•AB+BD+AD—(BC+CD+BD)=AB+BD+AD—BC—CD—BD=AB—BC—2,

△ABD和△BCD的周长差为2,

故答案为：2.

【变式4-2](2023・湖南・中考真题)如图，在aABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线,

1

ZC=45°,sinB-,AD=1.

(1)求BC的长；

(2)求tan/DAE的值.

【答案】(1)2V2+1；(2)V2-1

【分析】(1)先由三角形的高的定义得出NADB=NADC=90。，再解RdADC,得出DC=1；解RCADB,

得出AB=3,根据勾股定理求出BD=2V2,然后根据BC=BD+DC即可求解.

(2)先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE-CD,然后在RtAADE中根据正切函数的定义即

可求解.

【详解】解：(1)在AABC中，rAD是BC边上的高，

.­•ZADB=Z.ADC=9O°.

在AADC中，•♦2ADC=90°,zC=45°,AD=1,

•••DC=AD=1.

1

itAADB中，••■ZADB=9O°,sinB=jAD=1,

••.BD=VAB2-AD2=V32-12=2V2.

.,.BC=BD+DC=2^2+1.

(2)rAE是BC边上的中线，.•.CE=3BC=«+g.

.•.DE=CE-CD=V2-1.

DE1

.".tanzDAE=—=V2—

【点睛】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解RtaADC与

RtAADB,得出DC=1,AB=3是解题的关键.

【变式4-3](2023・江苏•统考中考真题)如图，BE是△ABC的中线，点厂在8E上，延长4尸交BC于点

D.若BF=3FE,则穿=.

【答案】|

【分析】连接助，由BE是△48C的中线，得至IJS^BE=SmcE，S^AED=SAEDC，由BF=3FE,得到

受空=3,产=3,设S^EF=X，SAEF。=%由面积的等量关系解得久=3，最后根据等高三角形的性质解

、公AFE、4FED3"

得沁=罢，据此解题即可.

【详解】解：连接EZ)

BE是△ABC的中线

^AABE—S&BCE，^AAED=^AEDC

•・•BF=3FE

.S&w尸_3S^BFD_3

S&4FES&FED

设尸=%,S4£77。=y,

•••^AABF=3%,S^BFD=3y

•••^AABE=4%,S2\BEC=4%,S2\BEO=4y

•••S^EDC=S^BEC—^^BED=4x—4y

•••^AADE=S^EDC

«,-%+y=4%—4y

5

・•・x=-y

•••△ZBD与△/DC是等高三角形，

._BP_3久+3y_3x+3y3x|y+3y_8y_3

SAADCDCx+y+4x—4y5x—3y5x-y—3y-y2’

故答案为：

【点睛】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关

键.

【题型5与垂心性质有关的计算】

【例5】（2023・山东威海・统考模拟预测）【信息阅读】垂心的定义：三角形的三条高（或高所在的直线）

交于一点，该点叫三角形的垂心.

【问题解决】如图，在△ABC中，^ABC=40°,^ACB=62°,X为△ABC的垂心，贝比8”。的度数为

（）

A.120°B.115°C.102°D.108°

【答案】C

【分析】如图，延长分别交于KM证明乙4"。=乙4K8=90。,再利用三角形的内角和定理求

解N4再利用四边形的内角和定理可得答案.

【详解】解:如图，延长BH,C解分别交于KM

为△力BC的垂心，

■.BK1AC.CM1AB,

•••Z.AMC=/.AKB=90°,

•­•Z.ABC=40°,zXCB=62°,

•••A.BAC=180°-40°-62°=78°,

；.4MHK=360°-^AMC-乙AKB-N4=102°,

：.7.BHC=102°.

故选：C.

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，垂心的定义，正确理解垂心的定义构

建需要的四边形是解题的关键.

【变式5-1](2023•陕西西安•高新一中校考模拟预测)如图，H、。分别为aABC的垂心、外心，

ABAC=45°,若△力BC外接圆的半径为2,则()

A.2V3B.2V2C.4D.V3+1

【答案】B

【分析】连接BO并延长交。。于点D,连接HC,CD,DA,由圆周角定理的推论，可得DC1BC,

DAIAB,由三角形的垂心的定义得AHLBC,CHIAB,从而得四边形AHCD是平行四边形，结合

/.BAC=45°,△48C外接圆的半径为2,即可求解.

【详解】连接BO并延长交。。于点D,连接HC,CD,DA.

•.•点O是△力BC的外心，

・•.BD是。。的直径，

.•.DC1BC,DA1AB,

又••・点H是△4BC的垂心，

•••AH1BC,CH1AB,

.•.AHIIDC,CHHDA,

.•・四边形AHCD是平行四边形，

.•,AH=DC,

=45°,△4BC外接圆的半径为2,

.-.ZBDC=ZBAC=45°,BD=4,

•••AH=DC=BD-V2=4-V2=2V2.

故选B.

【点睛】本题主要考查三角形外心与垂心的定义，圆周角定理及其推论，平行四边形的判定和性质定理，

掌握三角形外心与垂心的定义，添加合适的辅助线，构造平行四边形和等腰直角三角形，是解题的关键.

【变式5-2］（2023•河北•模拟预测）已知锐角△A8C的顶点4到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，则乙4

的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【分析】设AABC的外心为O,D为BC的中点，BO的延长线交。。于点E,连CE,AE.因为锐角4ABC

的垂心在三角形内部，得到平行四边形AHCE,根据已知条件和三角形的中位线定理，得

OB=AH=CE=2OD,根据直角三角形的边角关系求得NBOD=60。，进一步根据圆周角定理求解.

【详解】解：如图，设aABC的外心为O,D为BC的中点，B0的延长线交。0于点E,连CE,AE,

•.BE为OO的直径，

.­.ZBCE=ZBAE=9O°,即AE1AB,EC1BC,

,••锐角4ABC的垂心在三角形内部，且H为三角形的垂心，

贝UCE//AH,AE//CH,

••・四边形AHEC为平行四边形，

•••AH=EC,

而4到垂心H的距离等于它的外接圆的半径，

.­-0B=AH=CE=20D,0D//EC,

.♦.sinNOBD螳=；,0D1BC,

UDZ

.­.ZOBD=30°,

.­.ZBOD=60°,

连接oc,

.­.ZBOC=120°,

1

.­.zA-zBOC=60°.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理、圆周角定理以及垂心、外心的概念,

三角形的垂心即为三角形的三条高的交点，三角形的外心即为三角形的垂直平分线的交点.

【变式5-3](2023•福建泉州•南安市实验中学校考模拟预测)如图1,设2MBe是一个锐角三角形，且

ABAC,r为其外接圆，0、”分别为其外心和垂心，CD为圆r直径，M为线段BC上一动点且满足

AH=20M.

(1)证明：M为8c中点；

(2)过0作BC的平行线交48于点E,若尸为4H的中点，证明：EF1FC-

(3)直线2M与圆厂的另一交点为N(如图2),以AM为直径的圆与圆厂的另一交点为P.证明：若AP、BC、

。”三线共点，贝M”=HN；反之也成立.

A

图1图2

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【分析】（1）连接AD,BD,得N408=N08C=90。，结合H为垂心，〃4H,得出四边形力

为平行四边形，得到BD=4"，结合平行，。为CD中点，可得M为BC中点;

（2）过E作EGLBC,由EGHF,EGF4为平行四边形，证明H为“"GC的垂心，从而得到EFLFC；

（3）设AM与。尸交点为/,得到MH14P,证明H是ZL4MQ的垂心，证明4P、BC、。“三线共点得O,H,Q三

点共线，得到4”="N.

【详解】解：（1）连接则DALAC,DBVBC

又H为ZL4BC垂心

.-.BH1AC,AHLBC

.-.AD//BH,BD//AH

.•.四边形4DBH为平行四边形

.•.DB=AH=20M,又。为CD中点

.•.M为BC中点

(2)过E作EG1BC

连接GH,由（1）可知四边形EGHF为平行四边形，四边形EGB4为平行四边形

■,­CHLAB,AB||GF

.-.CH1GF

为/FGC垂心

:.GH1CF,而GH||EF

：.EF1FC

（3）设AM与。F交点为/

由（1）可知四边形。河凡4为平行四边形

・••/为直径4M中点

而圆/与圆门1交弦为2P

.-.OF14P,而MH||OF

.-.MH1AP

设MC/P交于Q

则H为A4MQ垂心

:.QH1AM

AP、BC、。"三线共点=。，从Q三点共线

=OHLAN=AH=HN

【点睛】本题考查了圆内的综合问题，熟知圆的性质，平行四边形的判定和性质，垂心的作用是解题的关

键.

【题型6利用三角形的三边关系求解】

【例6】（2023•四川・中考真题）若实数x、y满足|x—4|+J曰=0,则以x、y的值为边长的等腰三角形

的周长为—.

【答案】20

【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解：

【详解】根据题意得，x-4=0,y-8=0,解得x=4,y=8.

①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8,

「4+4=8,.•.不能组成三角形，

②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8,

能组成三角形，周长=4+8+8=20.

所以，三角形的周长为20.

【变式6-1］（2023•江苏盐城•统考中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm）,其中

能搭成一个三角形的是（）

A.5,7,12B.7,7,15C.6,9,16D.6,8,12

【答案】D

【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断.

【详解】A、5+7=12,不能构成三角形，故此选项不合题意；

B、7+7=14<15,不能构成三角形，故此选项不合题意；

C、6+9=15<16,不能构成三角形，故此选项不合题意；

D、6+8=14>12,能构成三角形，故此选项符合题意.

故选：D.

【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三

个数.

【变式6-2]（2023•贵州•统考中考真题）平面内，将长分别为1,5,1,1,d的线段，顺次首尾相接组成

5

A.1B.2C.7D.8

【答案】C

【分析】如图（见解析），设这个凸五边形为4BCDE,连接力&CE,并设力C=a,CE=b,先在△力BC和△CDE

中，根据三角形的三边关系定理可得4<a<6,0<b<2,从而可得4<a+b<8,2<a-b<6,再在

△4CE中，根据三角形的三边关系定理可得a—b<d<a+b,从而可得2Vd<8,由此即可得出答案.

【详解】解：如图，设这个凸五边形为力BCDE,连接2C,CE,并设4C=a,CE=b,

在△4BC中，5-l<a<l+5,即4<a<6,

在△«）£1中，l-l<b<l+l,即0<6<2,

所以4<a+b<8,2<a—b<6,

在中，a—b<d<a+b,

所以2<d<8,

观察四个选项可知，只有选项C符合，

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键.

【变式6-3]（2023・江苏•统考中考真题）如图，在八42。中，BC=3,将A42c平移5个单位长度得到

△AIBJCI，点、P、0分别是N8、4G的中点，的最小值等于.

A

A

BiQ

【答案】|

【分析】取力C的中点M,41%的中点N,连接PM,MQ,NQ,PN,根据平移的性质和三角形的三边关系即

可得到结论.

【详解】解：取4c的中点M,的中点N,连接PM,MQ,NQ,PN,

•.•将448c平移5个单位长度得到△力道道1，

.血的=BC=3,PN=5,

•・•点P、Q分别是48、&Q的中点，

13

・•・NQ=万BiCi=

33

.•-5--<PQ<5+-,

即朵PQ号，

•••PQ的最小值等于［，

故答案为：

【点睛】本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键.

【题型7利用三角形内角和定理求解】

【例7】（2023•黑龙江哈尔滨•校考模拟预测）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90。，得到△力方

C,连接44,若〃4B'=20°,则NCB7T的度数是（）.

A.70°B.65°C.60°D.55°

【答案】B

【分析】由旋转的性质可得2C=A1C,乙4a4'=90°,从而得到△ACA是等腰直角三角形，则NC44="A

A=45。，从而得到NB7TC=25,最后由NCB0=90°-AB0c进行计算即可得到答案.

【详解】解：，•,将RtaABC绕直角顶点C顺时针旋转90。，得到连接44,

：.AC=A'C,AACA'=90°,

.•.△ac4是等腰直角三角形，

•••/.CAA'=Z.CA'A=45°,

•••/.AA'B'=20°,

•••^.B'A'C=^CA'A-^AA'B'=45°-20°=25°,

•••/LCB'A'+^B'A'C=90°,

•••^LCB'A'=90°-^B'A'C=90°-25°=65°,

故选：B.

【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识

点是解题的关键.

【变式7-1］（2023•青海西宁•统考中考真题）在△力BC中，AB=AC,ABAC=100°,点。在BC边上，连

接2D,若△4BD为直角三角形，贝叱4DB的度数是.

【答案】50。或90。

【分析】由题意可求出NB=ZC=40°,故可分类讨论①当NBA。=90。时和②当N4DB=90。时，进而即可

求解.

【详解】解：•."B=AC,ABAC=100°,

•.■△48。为直角三角形，

可分类讨论：①当NB4D=90。时，如图1,

：.^ADB=180°-4BAD-ZB=50°；

②当乙4DB=90。时，如图2,

综上可知N4DB的度数是50。或90。.

故答案为：50。或90。.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理.解答本题的关键是明确题意，利用等腰三

角形的性质和分类讨论的数学思想解答.

【变式7-2］（2023・湖北•中考模拟）如图，△4BC中，以2为圆心，BC长为半径画弧，分别交力C、AB于

D、E两点，并连接BD、DE.若44=30。，AB=AC,则NBDE的度数为（）

【答案】A

【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，熟练运用“等边对等角”求角的度数是解

题关键.

根据三角形内角和定理以及“等边对等角“可得乙48c=^ACB=75。，再利用三角形的内角和定理可得

乙DBE=45°,最后再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出48DE的度数即可.

【详解】解：・・・4B=4C,

：.Z-ABC=Z-ACB,

•・•乙4=30°,

1

・•/ABC=乙ACB=-(180°-30°)=75°,

・•,以3为圆心，8c长为半径画弧，

.,.BE=BD=BC,

"BDC=乙ACB=75°,

"CBD=180°-75°-75°=30°,

"DBE=75°-30°=45°,

；/BED=乙BDE=|(180°-45°)=67.5°.

故选：A.

【变式7-3］（2023•江苏•无锡市第一女子中学校考中考模拟）如图，在△2C8和△DCE中,"==CE,

^ACB=ADCE=90°,连接力E、BD交于点。，4E与DC交于点M,BD与力C交于点N.试判断AE、BD之间的

关系，并说明理由.

E

【答案】4E=BD且力E1BD,理由见解析

【分析】根据N4CB=NDCE=90。，可得乙DCB=4ACE,已知AC=BC,CD=CE,可得△ACE三△BCD,

则4E=BD,乙CEA=4BDC,由NCME=NDM。，理由三角形内角贺可知

^CEA+ACME=ABDC+Z.DMO,进而可得NDOM=NECM=90。，AE1BD,即4E=B。且4E1BD.

【详解】解：=且AELBD.理由如下：

■,■/.ACB=乙DCE=90°,

：.Z-ACB+^DCA=乙DCE+ZDC4,即NDCB=AACE,

-AC=BC,CD=CE,

△ACE=△BCD（SAS）,

：-AE=BD,Z-CEA=乙BDC,

•••乙CME=^DMO,^DCE=90°,

贝！Jz_CEZ+乙CME=（BDC+乙DMO=90°

：,Z.DOM=乙ECM=90°,

：.AE1BD,

.'.AE=BDS.AELBD.

【点睛】本题考查全等三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，证明△力CE三△BCD是解决问题的关

键.

【题型8三角形内角和与平行线的综合应用】

【例8】（2023・四川•中考真题）如图，在△ABC中,/.CAB=70°,将△ABC绕点A逆时针旋转到△ABC

的位置，使得COII4B,戈此艮4B，的度数是（）

A.35°B.40°C.50°D.70°

【答案】B

【分析】根据平行线的性质，结合旋转性质，由等腰三角形性质及三角形内角和定理求解即可得到答案.

【详解】解：■CC||AB,"AB=70°,

.-.Z.CCA=/.CAB=70°,

•.,将△4BC绕点4逆时针旋转到△4BC的位置，

■.^C'AB'=^CAB=70°,AC=AC,

：./.AC'C=/.CCA=70°,

.-.AC'AC=180°-70°-70°=40°,

•­•Z.BAB'=乙CAB-CAB',/.CAC=Z.CAB'-CAB',

:ZBAB，=乙CAC=40°,即旋转角的度数是40。，

故选：B.

【点睛】本题考查旋转性质求角度，涉及平行线的性质、旋转性质、等腰三角形的判定与性质及三角形内

角和定理，熟练掌握旋转性质，数形结合，是解决问题的关键.

【变式8-1]（2023•辽宁丹东•统考中考真题）如图所示，在△ABC中，CD1AB,垂足为点。，DEWAC,

交BC于点£.若44=50。，贝此CDE的度数是（）

B.40°C.45°D.50°

【答案】B

【分析】首先根据平行线的性质得NBDE=44=50。，再根据垂直的定义得NCDB=90。，进而根据

乙CDE=4CDB-N8DE即可得出答案.

【详解】解：­••DE||AC,N4=50°,

•••Z.BDE==50°,

vCDLAB,

：.Z.CDB=90°,

•••Z.CDE=4CDB-乙BDE=90°-50°=40°,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键.

【变式8-2]（2023・江苏•统考中考真题）如图，AD//BC,AADC=120°,ABAD=3^CAD,E为/C上一

点，且N4BE=2NCBE,在直线NC上取一点P,^ABP=ADCA,则NCBP：N4BP的值为.

【答案】2或4

【分析】分点P在线段AC上、在CA的延长线上两种情况，分别画出图形，结合图形，利用三角形内角和、

平行线的性质，等量代换，得出各个角之间的倍数关系.

【详解】如图，①当NABPi=NDCA时，即N1=N2时，

VZD=120°,

・•・Z1+Z3=180°-120°=60°,

vZ.BAD=3ZCAD,匕ABE=2ZCBE,AD//BC,

3z3+3zEBC=180°,

•••z3+Z.EBC=60°,

•e.Z.EBC=z.1=z.2=zPiBE,

・・・NCBPi：/ABPi的值为2,

②当NABP2=NDCA时，由①贝有NCBP2：NABP2的值为4,

故答案为：2或4.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，以及分类讨论思想的应用等知识，画出相应图形,

利用等量代换得出各个角之间的关系是解决问题的关键.

【变式8-3]（2023•浙江金华•一模）如图，已知/8IICD,小妍同学进行以下尺规作图：

①以点/为圆心，NC长为半径作弧，交射线48于点E；

②以点£为圆心，小于线段CE的长为半径作弧，与射线CE交于点M,N；

③分别以点“，N为圆心，大于的长为半径作弧，交于点尸，直线昉交CD于点G.若NCGE=a,

则入4的度数可以用a表示为（）

A.90。—aB.90°-|aC.180°-4aD.2a

【答案】D

【分析】由作图可知：/C=/£,CELCE,所以UCE=，4EC,4CEG=90°,则NCGE+NECG=90。,所以乙项其7=90。-。,

再根据平行线的性质得々£C=〃CG=9()o-a,即可由三角形内角和定理求解.

【详解】解：由作图可知：AC=AE,CEVCE,

：./-ACE=/-AEC,Z.CEG=90°,

.•ZCGE+N£CG=9O。，

■■■/.ECG=90°-a,

■■■ABWCD,

:.UCE=UEC=^ECG=90°-a,

ZJ=180。-乙ICE-乙4EC=180°-2乙4EC=180°-2(90°-a)=2a,故D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查作线段等于已知线段，经过上点作直线的垂线，平行线的性质，等腰三角形的性质，三

角形内角和定理，熟练掌握尺规基本作图和三角形内角和定理是解题的关键.

【题型9三角形内角和与角平分线的综合应用】

【例9】(2023•山东淄博•统考一模)如图，在△ABC中，NB=30。，ZC=50°,通过观察尺规作图的痕迹，

ADE4的度数是().

A.35°B.60°C.70°D.85°

【答案】D

【分析】由题可得，直线DF是线段力B的垂直平分线，4E为AD4C的平分线，根据线段垂直平分线的性质、

角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可.

【详解】解:由题可得，直线。尸是线段4B的垂直平分线，4E为N04C的平分线，

：.AD=BD,乙DAE=Z.CAE,

:.乙B—Z.BAD—30°,

：.Z-ADC=Z-B+Z.BAD=60°,

vzC=50°,

：,Z.DAC=180°-60°-50°=70°,

i

.-.ADAE=^CAE="/.DAC=35°,

.-./.DEA=Z.C+/.CAE=85°.

故选D.

【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分

线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键.

【变式9-1]（2023・浙江・中考真题）如图，在A42。中，点P是AIBC的内心，则NP3C+NPC4+NP4B=

度.

【答案】90

【分析】根据三角形的内心的定义知内心是三角形三角平分线的交点，根据三角形内角和定理可以得到题

目中的三个角的和.

【详解】解：•.,点尸是△ABC的内心，

；.PB平分UBC,P/平分乙B/C,尸C平分乙4C8,

■.■^ABC+^ACB+^BAC=ISO°,

：.Z.PBC+ZJ）CA+ZJ）AB=9O°,

故答案是：90.

【点睛】考查了三角形的内心的性质，解题的关键是正确的理解三角形的内心的定义，是三角形三内角的

平分线的交点.

【变式9-2]（2023•广东佛山•校考一模）如图，已知△A8C的三个内角的平分线交于点。，点。在C4的延

长线上，5.AD=A0,CB=CD,连接BD.

D

A

(1)求证：(OBD=乙ODB；

(2)若48AC=80。，求乙4cB的长度.

【答案】(1)见解析

(2)乙=60°

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质；

(1)由“SAS”可证△C。。三△COB,可得。0=。8,即可得结论；

(2)根据4员4c=80。，得48/0=100。，由角平分线可得444。=40。，从而得出4ZM。=140。，根据

AD=A0可得出乙。64=20。，即可得出NCB。=20。，则乙4BC=40。，最后算出=60。.

9

【详解】(1)解：证明：・・・△/BC三个内角的平分线交于点。，

Z.ACO=Z.BCO,

在△COD和△COB中，

(CD=CB

\^OCD=乙OCB,

ICO=CO

・•・△COD三△COB(SAS),

OD=OB,Z,OBC=Z-ODC,

Z-OBD=Z.ODB；

(2)解：vL.BAC=80°,

・•・4BAD=100°,

・•・/,BAO=40°,

•••^DAO=140°,

vAD—AO,

・•・AODA=20°,

・•・乙CBO=20°,

•••AABC=40°,

•••Z.BCA=60°.

【变式9-3］（2023•江苏苏州・统考中考真题）如图，在△A8C中，AB=4C/D为△ABC的角平分线.以点

4圆心，4D长为半径画弧，与AB/C分别交于点E,F,连接DE,DF.

（1）求证：AADE=AADF；

（2）若ABAC=80°,求NBDE的度数.

【答案】（1）见解析

QMBDE=20°

【分析】（1）根据角平分线的定义得出=由作图可得力E=4F,即可证明△4DE三△4DF；

（2）根据角平分线的定义得出4E4D=40。，由作图得出=则根据三角形内角和定理以及等腰三角

形的性质得出NADE=70。，AD1BC,进而即可求解.

【详解】（1）证明：•./£＞为△ABC的角平分线，

■■■/-BAD=Z.CAD,

由作图可得4E=AF,

在△2DE和△4DF中，

（AE=AF

1/.BAD=/.CAD,

IAD=AD

AADE=AADF（SAS）;

（2）-ABAC=80°,4D为△ABC的角平分线，

■.^EAD=40°

由作图可得4E=4。，

：.^ADE=70°,

■：AB=AC,4。为△ABC的角平分线,

.-.AD1BC,

"BDE=20°

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等

腰三角形的性质与判定是解题的关键.

【题型10利用三角形内角和定理解决三角板问题】

【例10】（2023•青海•统考中考真题）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点。恰好放在等腰直

角三角板的斜边上，/C与DM、ON分别交于点£、F,把△儿QN绕点。旋转到一定位置，使得DE=D尸,

A.105°B.115°C.120°