辽宁省锦州市2023-2024学年高二年级下册期末考试数学试卷（解析版）

辽宁省锦州市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

注意事项：

1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

3.答选择题时，选出每小题（答案』后，用2B铅笔把答题卡对应题目的R答案》标号涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将（答案》写在

答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.下列函数的求导正确的是（）

A.B.（Inx2/=|

C.（e，+ln3）'=e'+gD.=-2

［答案XB

K解析》对于A项，因（e-*）'=—e-x,故A项错误；

2x2

对于B项，（1口九2）'==二一，故B项正确；

XX

对于C项，（e"+ln3）'=e3故C项错误；

对于D项，（r2）'=-2k3=一W，故D项错误.

故选：B.

2.己知等比数列｛4｝满足为023一。1=8，。2024一%=24,则4=（）

A.1B.-1C.3D.-3

［答案XC

K解析X因为。2023一=8,%024—%=24,2024=。2023.4，&'4，

02024—。2_。2023-

CCHI,9<21'^__24

所以—一——z——q-一J.

02023—ai口2023—6®

故选：C

3.2021年7月30日，东京奥运会女子七人制橄榄球中国队29:0完胜日本队，该事件吸引

了大批大学生开始练习橄榄球，某大学橄榄球社团先对报名者力量和速度进行综合评

分，评分达标者方能被吸收为正式社员.现有400人报名，他们的综合评分服从正态分布

N(50,152),若80分以上为达标，则估计能被吸收为正式社员的人数为()

(附：若随机变量则P(〃—cr<XW〃+cr)=0.6826,

-2cr<XW〃+2。)=0.9544,P(〃-3b<XW〃+3。)=0.9974.)

A.18B.13C.9D.5

(答案》C

k解析X因为X服从正态分布N(50,152),

所以P(X>80)=P(X>(50+2x15))=1二。;W4=00228,

则估计能被吸收为正式社员的人数为400x0.0228=9.12^9(人).

故选：C

4.有3台车床加工同一型号的零件，第L2,3台加工的次品率分别为5%,2%,4%,加工出

来的零件混放在一起.己知第L2,3台车床加工的零件数的比为4:5:11,现任取一个零件,

记事件A,="零件为第i台车床加工，，。=1,2,3),事件B="零件为次品”，则P(A⑻=

()

510

A.0.2B,0.05C.—D.—

3737

［答案XD

K解析》根据题意可得：

P(A)=(*4)=77^=：j(A)=吟；

；

p(Bi4)=a(^,y(B4)=P(BA5)=

由全概率公式可得：(目((

P(B)=P(4)PA)+P4)PB|A)+p(A3)P(B\A3)

37

=-x0.05+-x0.02+—x0.04=

54201000

-x0.05—in

=5_100「°

一JL—37-37

10001000

故选：D.

三%为偶数则如=()

5.己知数列｛4｝满足：ax=3,an+1=■

3an+1,4为奇数

A.1B.2C.3D.4

(答案』B

%为偶数

K解析力因为q=3,a,+j=<2

+1,%为奇数

所以%=3q+1=10,a3=^-=5,%=3a3+1=16,

a5==8,a6==4,%==2,as==1,<79=3<78+1=4,,,

可知从第6项起数列为周期为3的周期数列，

又25=5+3x6+2,所以45=%=2.

故选：B

6.如果方程尸(x,y)=O能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函

数的求导方法如下：在方程/(％,y)=。中，把y看成x的函数y=y(x),则方程可看成

关于x的恒等式"％,y(x))=0,在等式两边同时对x求导，然后解出y'(x)即可.例

如，求由方程f+必=i所确定的隐函数的导数y,将方程f+y=i的两边同时对尤

求导，则2x+2y-y'=0(y=y(x)是中间变量，需要用复合函数的求导法则)，得

y'=--(y^0).那么曲线孙+lny=2在点(2,1)处的切线方程为()

A.x-3y+l=OB.x+3y-5=0

C.3x-y—5=0D,2x+3y—7=0

K答案1B

K解析』由给定定义得，对孙+lny=2左右两侧同时求导，

可得y+盯'+；xy'=0,将点(2,1)代入，得l+2y'+y'=0,

解得y'=-g，故切线斜率为-；，得到切线方程为y—l=——2),

化简得方程为x+3y—5=0,故B正确.

故选：B

7.现有一货物堆，从上向下查，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第

「2〃+11

二层多3个，以此类推，记第〃层货物的个数为劣，则数列的前2023项和为

)

1,

A.2[l-(——)2]B.2[l-(-----)]

20242023

1,

C.4[l-(——)2]D.4[l-(-—)2]

20232024

K答案1D

K解析[依题意，4=1,a2-a1=2,a3-a2=3,,an-an_x=n,n>2,〃eN*，

则由累加法得，a〃—q=2+3++n,因此%=1+2++〃="+迺二D=

而q=1满足上式，即4片“2(〃+1)2%(〃+1)2」，

2

。“，11111、…1、

mSn=4[l--+---+=

1,

S2O23=4[l—(——)2].

20232024

故选：D

3IS

8.若〃_「历,b-0.3e°3，c——lnl.3,则()

10

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.c>b>a

K答案』A

3

K解析[显然一记0,b=0.3e°-3>0-

CL——V/U

b03e°3

因为一=，^=0.3e°'<0.3e<0.9<l,所以.>公

ae10

又因为Z?=0.3e°3=e°31ne°3,c=—lnl.3=1.31nl.3,

令g(x)=e*-x-l,x>0.则g'(x)=e*-l>0,

可知g(x)在(0,+。)上单调递增,

则g(0.3)>g(0)=0,可得e°3>1+0.3=1.3>!，

e

令/⑴=xlnx,x>~,则/'(x)=lnx+l>0在内恒成立，

可知/*)在[：,+e)内单调递增，则/(e03)>/(1.3),即e(,3lne03>1.31nl.3,所以6>c；

综上所述：a>b>c.

故选：A.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知随机事件A,3的概率分别为P(A),P(6),且

P(A)=1,P(B)=1,P(A|B)=P(A|豆)，则()

A.事件A与事件B相互独立B.事件A与事件B相互对立

2__1

C.P(A+B)=-D.P(AB\B)=-

36

k答案》AC

-1

k解析》对A,根据题意可得F(5)=l-尸(5)=—,

2

由条件概率公式可得「(川B)=仝罂,P(A|B)=,又P(月)=P®=1,

尸(b)2

--1

所以尸(A3)=P(AB),又易知尸(AB)+尸(A5)=P(A)=-,

-1

所以P(A3)二尸(A3)=—；

6

即满足尸(AB)=P(A)P(4),所以事件A与事件3相互独立，即A正确;

对B,又P(A)+尸(3)='+!=』21,不满足P(A)=1—P(3),所以事件A与事件B

326

不是相互对立事件，即B错误；

1112

对C,易知?(4+5)=f(4)+尸(5)—尸(45)=—+--------=—,即c正确;

3263

对D,由条件概率公式可得P(A冽3)=,⑻所以D错误.

故选:AC

x<0

10.已知函数/(%)={1,下列选项中正确的是()

Inx——%>0

4

A.7(%)在(-8,—1)上单调递增，在(—1,0)上单调递减

B./(%)有极大值

C.7(%)无最小值

D.若函数//(%)="(切2—24(x)+4(acR)恰有6个零点，则实数。的取值范围是

5

—,+oo

2

［答案』ABD

K解析』对于A,当xWO时，/(x)=-xex+1,则r(x)=—(6用+疣川)=—e*+i(x+l),

当x<—1时，f'(x)>0,当—1<%<0时,f\x)<0,

所以在(-8,-1)上单调递增，在(—1,0)上单调递减，所以A正确,

对于B,由选项A可知“可在1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减,

所以/(x)在x=—1处取得极大值，所以B正确,

1-

Inx——,x>e4

4

对于C,当尤>0时，/(x)=Inx-—

41工

——Inx,0<x<e4

14

当丫>/时，In%—二20，当ovvz时，——Inx>0,

XAV\A\CA

所以当尤＞0时,/(%)＞0,

因为〃龙)在1)上单调递增，在(—1,0)上单调递减，且当尤＜0时，恒成

立,

综上，/(x)的值域为［0,+8),所以/(%)有最小值0,所以C错误,

对于D,因为/(%)在1)上单调递增，在(—1,0)上单调递减，/(-D=l,

/(0)=0,

11；

Inx——,x>e4

/W=Inx-；4

1工

——Inx,0<x<e4

14

所以“龙)的大致图象如图所示

由〃(尤)=0,得—24(X)+4=0,

令f(x)=t,则广一2at+4=0，

由/⑺的图象可知，要使丸(%)有6个零点，则方程2成+4=0有两个不相等的实数根

L，G，不妨令乙<»2，

若。=0,0<%<1,则由图可知"(X)有6个零点，但()2—2ax0+4w0,所以不符合题

忌、，

所以0<。<1,，2>1,

因为。2—2ax0+4=4>0，

所以俨―2a+4<0,解得a〉g,即实数。的取值范围是[g,+s],所以D正确，

故选：ABD

11.已知各项都是正数的数列｛4｝的前几项和为斗，且s“=g+J—,则下列结论正确

的是()

A.当m>〃wN*)时，am>anB.Sn+Sll+2<2Sn+l

C.数列代｝是等差数列D.Sn-j->lnn

(答案XBCD

a17

K解析工对A,由题意可知％=U+丁na；=1,所以％=1,

贝1]%+〃2=年+“=>蜡+2〃2-1=。，所以〃2二血一1<4，故A错误；

对C,由S〃=l+；nS〃=^^+1-S,；—S；T=1(〃22),故C

22a〃22(S“-S“_J

正确；

对C,所以S；=1+(〃-1)=s“=册，

贝―册+g<2秒p-故B正确；

对D,易知S〃一不二四一^7，令/(%)=%一工一21nx

1?(1Y

则+u――=——I>o,

JCJC〈XJ

则单调递增,

所以/（x）2/⑴=0n6_一即Sa一，-21n〃，故D正确.

7〃七

故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知随机变量XY-B（6,p）,且尸（X»3）=g,E（X）=^E（Y）,

则片.

K答粒-

3

k解析X因为xNJ,/）且p（X23）=g,所以〃=3,则矶x）=3,

3

又E（x）=]石（y）,所以右（丫）=2,

因为y〜5（6,夕），所以石（丫）=6"=2,解得p=g.

故K答案X为：—

3

3

13.已知数列｛%｝满足。1=—+1）（。〃+1）=,则氏=

3Tl

K答案】--―-

3〃+1

K解析』因为。i=—3（见+]+1）（见+1）=—”八+1,

则3（«„+i+1）（%+1）=（4+1）-（«„+1+1）,

因为％+1=:,显然a“+l#O,

所以一77一—二7=3,

an+\+14+1

f111

所以一；是以一7=4为首项，3为公差的等差数列,

U+1J%+1

所以」7=3〃+1，

4+1

LL1t1I1I—3lt

所以4+i=^7F贝以=一1+==历

故（答案》为：为

3n+l

14.己知函数/(可及其导函数/"(x)的定义域均为R,且

(x-2)[/,(x)-/(x)]>0,/(4-x)=/(x)e4,则不等式//(liu)<4(3)的解集

是.

1答案X卜苻)

[解析》构造函数尸(x)=9，则/(力=止?^；

ee

因为(X-2)[r(x)-〃切>0,

所以当x>2时,f(x)-f(x)>0,gpF(x)>0,此时—x)在(2,+8)上单调递增；

当x<2时，/(%)-/(%)<0,即/'(x)<0,此时尸(x)在(―,2)上单调递减；

又"4—x)=〃x)e42,所以/(：_-)即玖4—力=网力；

e无e%

所以函数歹(x)图像上的点(苍尸(x))关于X=2的对称点(4—x,R(x))也在函数图像上，

即函数F(x)图像关于直线x=2对称，

不等式e3/(ln£)<4■⑶变形为以国工〈工单，即曾立<坐；

xeee

可得尸(111力</(3)=/(1),

又尸(x)在(2,+s)上单调递增，在(T»,2)上单调递减，

所以1<In%<3,解得e<x<e3.

则不等式的解集为(e,e3).

故K答案X：(e,e3)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知m>0,函数/(x)=e、—2x+m的图象在点(0"(0))处的切线与两坐标轴围成

的三角形的面积为2.

(1)求用的值；

(2)求/(尤)在卜1,2]上的值域.

解：(1)因为/(%)=♦-2x+m,所以/'(x)=e*—2,则左=f(0)=-1.

因为/(。)=1+加，所以切点坐标为(0」+7篦)，

所以的图象在点(0"(0))处的切线方程为y=—x+1+m.

令y=。，得x=l+冽，又加>0,

所以5*(1+7〃)乂(1+7〃)=2,所以“2=1.

(2)由(1)可知/'(x)=e*—2,令明勾>0,解得1>ln2,

所以/(%)在(卜2,2］上单调递增.

令/。)<0,解得x<ln2,所以/(%)在［―Un2)上单调递减，

又〃-1)=3+L/(2)=e2-3,/(In2)=3-21n2,

e

所以/(力在［一1,2］上的值域为［3-21n2,e2-3］.

c

16.记S“为数列｛4｝的前几项和，已知%=1,彳字是公差为g的等差数列.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)记粼为｛4｝在区间(2'",2''+［(%eN*)中项的个数，求数列｛%£｝的前机项和

Tm.

解：(1)因为%=1,故,s=1,所以数列f1S1是以1为首项，5为公差的等差数列，

见曾"

n+1〃+1

所以‘"二=，即乂=一为，

an22

men+2、­〃+272+1Dnnn+1

则S“+1=F—4+1，两式相减得4+J=——an+i———an,即54+i=—a„,

所以&L=4L==幺=1,

n+1n1

因此｛%｝的通项公式为a“=n.

(2)由题可知2！=2"+i—2加=2",

则勺鬣=相义2「所以7；=1x21+2x2?++(rn-l)2m^+mx2m,

23m

27；,i=lx2+2x2++(/w-l)2+mx2"用，

两式相减得―图=2+2?++2m-rnx2m+1=-mx2m+1=(1-rn)?2m+1-2-

所以图=(加—1)?"^+.

17.2024年1月18日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八(即腊月初八)

这一天.腊八节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北

方.为调查不同年龄人群对“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人

群.

(I)在100名受调人群中，得到如下数据:

了解程度

年龄

不了解了解

30岁以下1624

50岁以上1644

根据小概率值夕=0.1的Z2独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否

存在年龄差异；

(2)调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个.受调者只需回答8个题：其中

选择题必须全部回答，填空题随机抽取3个进行问答.某位受调者选择题每题答对的概率

为0.8,知道其中3个填空题的(答案但不知道另外2个的k答案％求该受调者答对

题目数量的期望.

参考公式：

n(ad-bcf

①/

(a+3(c+d)(a+0(b+d)

独立性检验常用小概率值和相应临界值:

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

②随机变量x,y的期望满足：E(x+r)=E(x)+E(y)

班，八,100x(16x44-24x16)

解：(1)y2=--------------------------------1.961<2,706-

40x60x32x68

根据小概率值a=0.1的独立性检验，

认为受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度不存在年龄差异；

(2)用X、Y分别表示受调者答对选择题、填空题的个数，

则X~B(5,0.8),所以E(X)=5xO.8=4,则y可取则1,2,3,

所以p(x=l)=青3

10

P(X=2)=等C2cl6

10

C31

P(X=3)飞=6

所以E(y)=lx3+2x?+3x—=1.8,

'/101010

由£(X+F)=£(X)+E(F)=4+1.8=5.8,

该受调者答对题目数量的期望为5.8.

18.某排球教练带领甲、乙两名排球主力运动员训练排球的接球与传球，首先由教练第一次

传球给甲、乙中的某位运动员，然后该运动员再传回教练.每次教练接球后按下列规律传球:

12

若教练上一次是传给某运动员，则这次有3的概率再传给该运动员，有;的概率传给另一位

运动员.已知教练第一次传给了甲运动员，且教练第n次传球传给甲运动员的概率为pn.

（1）求心，。3；

(2)求p”的表达式;

(3)设为证明：(^,+1-qt)(sinqM-sin.

Z=1,

5/、1112公、5

解：(1)Pi=l,=耳。2+3(1一02)=5；

12/、1211(

(2)由已知p〃=§p,i+§(i-Pi)，；•A,=--Pn-x+§，即卫—5=—][--y

•••｛卫-g1是以-g为公比的等比数列，

.1if1Y-1

(3)%=|2p〃—l|=*e(o,l].

设/z(x)=x-sinx,xG(0,1],

/.//(尤)=l-cos尤>0,

・・・/z(x)在(0』上单调递增，

显然q„>公+i,则〃(4)>)，

：.qn-sinqn>qn+1-sinqn+i)

nl2

则3=%—%+i>sin%-sinqn+l,

即(%+i-%)(sin/+i—sin%)=(%-^+1)(sin%—sinqn+l)<-^，

n-

»(功+1—%)(sin/+i—sin?)<《---Y=J[1—J)<g，