2024-2025学年广东省深圳市福田区某中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市福田区华富中学九年级（上）开学

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

B.

2.已知a<b,下列式子一定成立的是（

ab

A.a-1>b—1B.ac<beD.3—a<3—b

3.等腰三角形的一个角是80。，它的底角度数为（）

A.100°B.50°C.100°或50°D.80°或50°

4.若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）边形.

A.三B.四C.五D.六

5.下列命题中，假命题的是（）

A.矩形的对角线相等B.平行四边形的对角线互相平分

C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形D,对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

6.某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每

天挖x米，那么下列方程中正确的是（）

A4804804

A-------------=4B.—=20

x-20%x%+4

―4804804

D.=20

C丁E=4x—4x

7.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为16=52-

32,所以16就是一个“智慧数”，下面4个数中不是“智慧数”的是（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

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8.已知，△ABC中，AC=BC,乙4cB=90。，CD为边力B上的中线，若E是线段CA上

任意一点，DF1DE,交直线BC于F点.G为EF的中点，连接CG并延长交直线A8于点从若2E=6,

CH=10,贝UCE的长为（）

A.7B.8

C.9D.10

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

9.因式分解：ax2+4ax+4a=.

10.如图，已知一次函数y=k%+3和y=-x+6的图象交于点P（2,4）,则关于

x的不等式fcr+3>-x+b的解是.

11.如图，在四边形ABCD中，P是对角线8。的中点，点、E、F分别是48、CD的

中点，AD=BC,4EPF=140°,贝!JNEFP的度数是.

12.如图，在口4BCD中，小平行四边形沿对角线4c平移两次就到了图中的位

置（阴影部分），若小平行四边形的面积是2,则口4BCD面积是.

13.如图在△A8C中，4B=NC,ABAC=52。，点。为28的中点，且。。1AB,

NB4C的平分线与力B的垂直平分线交于点。，将NC沿EF（E在BC上，F在4C上）折叠,

点C与点。恰好重合，则NOEC的度数是.

三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

14.（本小题8分）

计算

‘2%—1>%rp）

（1）解不等式组：Rlw1②.

（2）解分式方程：备+含=L

15.（本小题6分）

化简：（黑—若M）+禁，并从1，2,3中选择一个合适的数代入求值.

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16.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中，△4鸟。的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形),

△ABC和△4/10关于点。成中心对称.

(1)画出对称中心。，并写出点D的坐标;

(2)画出△&BiCi绕点。逆时针旋转90。后的△2c2并标明对应字母;

(3)画出与△①为的关于点。成中心对称的△43%。3并标明对应字母.

17.(本小题8分)

在Rt△48c中，/.BAC=90°,E、尸分另(］是BC、2C的中点，延长B4至I］点。，使ZB=2AD,连接DE、

DF、AE.EF,4F与DE交于点。.

(I)试说明4尸与DE互相平分;

(2)若力B=8,BC=12,求。。的长.

18.(本小题8分)

某校在商场购进2、B两种品牌的篮球，购买4品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且

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购买力品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，己知购买一个B品牌篮球比购买一个月品牌篮球多花30

兀.

(1)问购买一个4品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？

(2)该校决定再次购进4、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，4品牌篮球

售价比第一次购买时提高了8%,B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买尔B两种

品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？

19.(本小题11分)

定义：若分式4与分式B的和等于它们的积，即4+B=AB,则称分式2与分式2互为”等和积分式”.如

系与匕，因为++色=五皆『=+.色•所以京与色互为”等和积分式”，其中一个分

式是另外一个分式的“等和积分式”.又如求方的等和积分式，可设其为B，由定义有去分母

得l+a-B=B,解得B=士1,解答以下问题:

(1)判断分式俳与分式券是不是等和积分式，说明理由;

Q十_LCL一±

X

(2)求分式『的"等和积分式”；

(3)①观察(1)(2)的结果，寻找规律，直接写出分式，的“等和积分式”一

②用发现的规律解决问题:

:三会:与日9互为”等和积分式”，求实数小，九的值.

20.(本小题12分)

【课本再现】

(1)如图1,正方形4BCD的对角线相交于点0,点。又是正方形&&C1O的一个顶点，而且这两个正方形的

边长都为1,四边形OEBF为两个正方形重叠部分，正方形&B1C1。可绕点。转动.则下列结论正确的是

(填序号即可).

①△力EOg△BF。；

@OE=OF；

③四边形。EBF的面积总等于［；

④连接EF,总有力石2+CF2=EF2.

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【类比迁移】

(2)如图2,矩形48CD的中心。是矩形2/停1。的一个顶点，40与边4B相交于点E,右0与边C8相交于点

F,连接EF,矩形&Big。可绕着点。旋转，猜想力E,CF,EF之间的数量关系，并进行证明；

【拓展应用】

(3)如图3,在RtaACB中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,直角NEDF的顶点。在边力B的中点处，它

的两条边DE和DF分别与直线AC,BC相交于点E,F,NEDF可绕着点。旋转，当海=2°根时，求线段EF的

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参考答案

1.A

2.C

3.0

4.B

5.0

6.C

7.5

8.B

9.a(x+2)2

10.x>2

11.20°

12.18

13.104°

(2x—l>龙①

14.1?：(1)卜1<1②,

解不等式①得：x>1,

解不等式②得：%<4,

.•・原不等式组的解集为：1<*W4；

(2)Ka=1，

方程两边同乘2%-5,得：X—5=2%—5,

解得：%=0,

检验：当久=。时，2%—5W0

:•x=0是原分式方程的解.

1:冷刀后T—「％+2]%(%+4)

-

13.用牛：原网=Lx(x-2)(x-2)2J*(%+4)(x-4)

_.2_4_%(冗—1)X

~%(%—2)2%—4

为一4x

一%(%—2)2•%—4

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1_____________]

一(久-2)2—x2-4x+4'

x0,2,4,—4,

•••x=1或3,

当x=1时，原式=1.

16.解：(1)。点坐标(-3,-1)

(2)如图,画出△LB2c2；

(3)如图,画出△&83。3.

17.解:(1)•••E,尸分别是BC、"的中点，

EF是△4BC的中位线，

EF//AB5.EF=，B.

又48=2AD,即力。=/B,

AAD//EF,AD=EF,

四边形4EFD是平行四边形，

•••AF与DE互相平分；

(2)、•在Rt△ABC中，4BAC=90。，AB=8,BC=12,

由勾股定理得4c=yjBC2-AB2=^/122-82=4"

又由(1)知，OA=OF,且4F=CF,

OA=^AC-

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在△4。。中，/.DAO=90°,AD=/B=4,OA=",

•••由勾股定理得D。=y/DA2+OA2=J42+(G)2=A/21.

18.解：(1)设购买一个4品牌的篮球需%元，则购买一个B品牌的篮球需(X+30)元,

25002000

由题意得:丁=2x7T

解得：x=50,

经检验，久=50是原方程的解，且符合题意,

则％+30=80.

答：购买一个月品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元.

(2)设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进4品牌篮球(50-a)个,

由题意得:50x(1+8%)(50-a)+80X0.9a<3060,

解得：a<20,

答：该校此次最多可购买20个8品牌篮球.

19七b-a

【解析】解：(1)是；

..2a12a2a(a-l)+2a(a+1)2a•2a2a2a

'a+1a—1(a+l)(a—1)(a+l)(a—1)a+1a—1'

•••分式Yr与分式弋是“等和积分式”；

(2)设分式号的“等和积分式”为4

则号+力=号4

"x—3y—Q—3y—I)”，

.A--—三

,•A一久一3y,^x-3y-x-3y3y-3y，

即分式号的“等和积分式”为款

(3)①分式2的”等和积分式”为上，理由如下：设分式2的“等和积分式”为M,

ab-aa

则=--M,

aa

M=2+(2-1)=3；

aab—a

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②由规律可得心的“等和积分式”为高三行

m—1急互为“等和积分式”

nx+2x

(m—l—nx—2x=2m—mx,

(m—l=几+1

由zn—1=几+1得：n=m—2,

将九二TH—2代入TH—2%=2m—mx,

得：m—1—(m—2)x—2x=2m—mx,

解得TH=-1,

・•・n=-1—2=—3.

20.⑴①②③④；

(2)猜想：AE2+CF2=EF2,理由如下：

连接AC,•••。是矩形4BCD的中心，

点。是力C的中心.

AO—CO,

延长E。交