2022-2023学年北京市八年级上期末数学试卷分类汇编：轴对称（含答案解析）

2022-2023学年北京市八年级上期末数学试卷分类汇编

---轴对称

参考答案与试题解析

一.选择题（共14小题）

1.（2022秋•西城区期末）以下是用电脑字体库中的一种篆体写出的“诚信友善”四字，若

把它们抽象为几何图形，从整体观察（个别细微之处的细节可以忽略不计），其中大致是

轴对称图形的是（）

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形

叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【解答】解：A,B,C选项中的字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠,

直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

D选项中的字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互

相重合，所以是轴对称图形；

故选：D.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合.

2.（2022秋•平谷区期末）以下四个标志中，是轴对称图形的是（）

A.©绿色食品B.期J、/循环回收⑥C.、一/节

能D.e节水

【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做

轴对称图形，由此即可判断.

【解答】解：下四个标志中，是轴对称图形的是绿色食品标志，

故选：A.

【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义.

3.（2022秋•怀柔区期末）下列图标是轴对称图形的为（）

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形

叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【解答】解：B,C,。选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折

叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，所以是轴对称图形；

故选：A.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合.

4.（2022秋•密云区期末）《国语•楚语》记载：“夫美者，上下、内外、大小、远近皆无害

焉，故曰美”.这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐.中国建筑布局一般都

是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力.下列建筑物的简图中，不是轴

对称图形的是（）

【分析】直接根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说

这个图形关于这条直线（成轴）对称解答即可.

【解答】解：A,C,。选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠,

直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形;

B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够互相重合，所以不是轴对称图形;

故选：B.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合.

5.（2022秋•东城区期末）如图，两个全等的直角三角板有•条边重合，组成的四个图形中,

()

B.

D.

【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可.

【解答】解：4A选项是轴对称图形，故此选项不符合题意;

2、B选项是轴对称图形，故此选项正确不符合题意;

C、C选项是轴对称图形，故此选项不符合题意;

D、。选项不是轴对称图形，故此选项符合题意;

故选：D.

【点评】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部

分沿对称轴折叠后可重合.

6.（2022秋•门头沟区期末）下列图形都是由两个全等三角形组合而成，其中是轴对称图形

C./7D.I7I

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形

叫做轴对称图形进行分析即可.

【解答】解：4两个全等三角形组合不是轴对称图形，故此选项不合题意；

2、两个全等三角形组合不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、两个全等三角形组合不是轴对称图形，故此选项不合题意；

。、两个全等三角形组合是轴对称图形，故此选项符合题意.

故选：D.

【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案、轴对称图形的概念，关键是正确找出对

称轴的位置.

7.(2022秋•密云区期末)在平面直角坐标系尤Oy中，点M(1,-6)关于y轴的对称点N

的坐标是()

A.(-1,-6)B.(-1,6)

C.(1,6)D.(-6,1)(-6,1)

【分析】根据平面直角坐标系中，关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，

纵坐标不变进行求解即可.

【解答】解：点M(1,-6)关于y轴的对称点N的坐标是(-1,-6).

故选：A.

【点评】本题考查关于x,y轴的对称点的坐标特点，正确记忆横坐标纵坐标的变化规律

是解题关键.

8.(2022秋•东城区期末)在平面直角坐标系尤Oy中，长方形ABCZ)的两条对称轴是坐标轴，

邻边长分别为4,6.若点A在第一象限，则点C的坐标是()

A.(-2,-3)B.(2,3)

C.(-2,-3),或(-3,-2)D.(2,3),或(3,2)

【分析】由题意判断点C在第三象限，由邻边长分别为4,6,可求解.

【解答】解：：长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，点A在第一象限，

...点C在第三象限，

长方形ABCD的邻边长分别为4,6,

.•.点C的坐标为（-2,-3）或（-3,-2）,

故选：C.

【点评】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题

的关键.

9.（2022秋•顺义区期末）如图，在正方形网格中，A,2两点都在小方格的顶点上，如果

点C也是图中小方格的顶点，且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数.

【解答】解：当为腰时，点C的个数有2个；

当为底时，点C的个数有1个，

故选：C.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问

题.

10.（2022秋•门头沟区期末）一个等腰三角形的两条边分别是2c机和5c",则第三条边的

边长是（）

A.2cmB.5cmC.2c7九或5cD.不能确定

【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为2c7W,底边长为5c机时，当等腰三角形的

腰长为5cH7,底边长为2c加时，然后分别进行计算即可解答.

【解答】解：分两种情况：

当等腰三角形的腰长为2cm,底边长为5c机时，

V2+2=4<5,

.••不能组成三角形；

当等腰三角形的腰长为5c7",底边长为2c机时，

等腰三角形的三边长分别为5c〃z,5cm,2cm,

综上所述：等腰三角形的第三条边的边长是50w,

故选：B.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况讨论是解题的关

键.

11.（2022秋•西城区期末）如图，在中，ZACB=90°,N8的度数为a.点P

在边BC上（点P不与点8点C重合），作尸OLA8于点。，连接孙，取必上一点E,

使得在连接即，CE并延长CE交A2于点尸之后，有EC=ED=EA=EP.若记NAPC

的度数为x,则下列关于所的表达式正确的是（）

A./DEF=2x-3aB./DEF=2a

C.ZDEF=2a-xD.ZZ)£F=180°-3a

【分析】由等腰三角形的性质求出NCEP,由三角形外角的性质可求NB48,ZDEP,由

平角定义即可求出/OEE

【解答】W：'：EC=EP,

：.ZECP=ZEPC=x,

：.ZCEP=1SO0-2x,

'：ZAPC^ZB+ZR\B,

：.ZPAB=ZAPC-ZB,

ZPAB=x-a,

":ED=EA,

NEAD=/EDA=x-a,

・•・ZDEP=ZEAD+ZEDA=2x-2a,

ZDEF=180°-ZCEP-NDEP,

：.ZDEF=1SO°-(180°-2x)-(2x-2a)=2a.

故选：B.

【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握以上知识点是解题的关

键.

12.（2022秋•密云区期末）如图，在Rtz\ABC中，ZC=90°,以△ABC的一边为腰画等

腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形

的个数最多是（）

A.3个B.4个C.6个D.7个

【分析】根据等腰三角形的定义，分别以A,B,C三个顶点为等腰三角形的顶点可以画

出4个等腰三角形，分别以三条边等腰三角形的底边可以作出3个等腰三角形，最多可

以作出7个不同的等腰三角形.

【解答】解：①以8为圆心，BC长为半径画弧，交A8于点。，△80是等腰三角形，

图1

②以A为圆心，AC长为半径画弧，交A8于点E,△ACE就是等腰三角形;

图2

③以C为圆心，长为半径画弧，交AC于点R△BC尸就是等腰三角形，交于点

F,是等腰三角形；

B

图3

④作AC的垂直平分线交AB于点H,△ACH就是等腰三角形;

图4

⑤作AB的垂直平分线交AC于G,则△AGB是等腰三角形;

图5

⑥作BC的垂直平分线交AB于I,则△8C7和△AC/都是等腰三角形，此情形点H与点、

/重合与④的情形重合，共计2个等腰三角形.

综上所述，最多有4个等腰三角形.

故选:B.

【点评】本题考查了等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键.

13.（2022秋•平谷区期末）如图，等边△43。和等边△8CE中，A、B、C三点共线，AE

和C。相交于点尸，下列结论中正确的个数是（）

①△ABE四△O2C

②平分/APC

③AF=DF+BF

@ZAFD=60°

【分析】根据等边三角形的性质易证△A8E0ZXO8C,可判断①选项；根据全等三角形

的性质得出NAE8=/OC8,AE=OC,根据三角形的外角性质得出/AED=/Z)C8+/

EAB=NAEB+NEAB=NEBC=60°,可判断④选项；作3G_LC。于点G,BH1AE

点、H,由SAABE=&DBC可得3G=3",进一步可得BF平分NAPC,可判断②选项；在

AE上截取4=。尸，连接B/,易证△AB/gZXDBE(SAS),再证明△B/7是等边三角形，

得FI=BF,进一步可判断③选项.

【解答】解：：AABD和ABCE是等边三角形，

：.AB=BD,BC=CE,ZEBC=60°,ZABD^ZCBE^60°,

：.ZABD+ZDBE=ZCBE+ZDBE,

即/ABE=ZDBC,

在△ABE和△D8C中，

'AB=DB

'ZABE=ZDBC-

,BE=BC

:.△ABEgADBC(SAS),故①正确；

ZAEB=ZDCB,AE=DC,

；./AFD=NDCB+NEAB=/AEB+/EAB=/EBC=60°,故④正确；

作BG_LC£)于点G,BHLAE于点H,如图所示：

••SAABE=SADBC,AE=DC,

工CD・BG=LAE・BH,

22

:.BG=BH,

'JBGLCD,BH±AE,

...点B^ZAFC的平分线上，

平分/AEC,故②正确；

在AE上截取A/=DF,连接8/,

D

在△AB/和△OBE中，

rAB=DB

<NBAI=/BDF，

ADF

.'.△ABI咨ADBF(SAS),

ZAIB^ZDFB,

'：AABE义ADBC,

:./CDB=NEBA,

：.ZDFA=ZABD=6Q°,

/.ZAFC=120°,

；.NIFB=/BFC=60°,

ZAIB^ZDFB^120°,

AZBZF=180°-ZA/B=60°,

AZFB/=60°,

△8/7是等边三角形，

:.FI=BF,

：.AF=AI+FI=DF+BF,故③正确，

故选：D.

【点评】本题为三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定与

性质、角平分线的判定与性质、等积法，添加合适的辅助线是解题的关键，本题综合性

较强，难度较大.

14.（2022秋•东城区期末）如图，将一张四边形纸片A8CL•沿对角线AC翻折，点。恰好

落在边42的中点。处.设Si,S2分别为△AQC和AABC的面积，则Si和&的数量关

系是（）

A.Si=1S2B.Si=1S2C.SI=2S2D.SI=3S2

32

【分析】利用折叠的性质得出：△AOCg/kA。'C,则S^ADC=S^AD'c,利用等底同高

的三角形的面积相等即可得出结论.

【解答】解：由题意得：△ADC四△AD'C,

AS^ADC=S/\AD'C.

・・,点。'为A8的中点，

：.AD'=DfB.

・・,等底同高的两个三角形的面积相等，

S^AD'C=S^BCD，

"SAADZC=2-SAABC,

"SAADC革辽瓯。

••,Si寺2,

故选：B.

【点评】本题主要考查了翻折变换的性质，等底同高的三角形的每个相等，掌握折叠的

性质并熟练应用是解题的关键.

二.填空题（共11小题）

15.（2022秋•西城区期末）在平面直角坐标系尤Oy中，4（-4,-3）关于无轴对称的点的

坐标为（-4,3）.

【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得

出答案.

【解答】解：A（-4,-3）关于x轴对称的点的坐标为（-4,3）.

故答案为：（-4,3）.

【点评】此题主要考查了关于x轴对称的点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解

题关键.

16.（2022秋•密云区期末）等腰三角形的两边长分别为4和9,则第三边长为9.

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9,而没有明确腰、底分别是多少，所以

要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【解答】解：当4是腰时，因4+4<9,不能组成三角形，应舍去；

当9是腰时，4、9、9能够组成三角形.

则第三边应是9.

故答案为：9.

【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；己知没有明确腰和底边的题目

一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常

重要，也是解题的关键.

17.（2022秋•平谷区期末）命题“等边对等角”是命题（填“真”或"假”），它的逆命题

是真.

【分析】先写出其逆命题，再判定即可.

【解答】解：“等边对等角”的逆命题是”等角对等边“，在同一个三角形内成立，故是

真命题.

【点评】要根据逆命题的定义，写出逆命题，结合三角形的性质来判断命题的真假.

18.（2022秋•平谷区期末）如图，ZVIBC中，AB=AC,。是BA延长线上一点，S.ZDAC

【分析】利用等腰三角形的性质可得NB=NC,再利用三角形的外角性质可得NZMC=

ZB+ZC=100°,然后进行计算即可解答.

【解答】解：：A2=AC,

：.ZB=ZC,

'：ZDAC是△ABC的一个外角,

ZDAC=ZB+ZC=100°，

.,.ZB=ZC=50°,

故答案为：50°.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

19.(2022秋•东城区期末)如图，在△ABC中，AB=AC,NA=36°,BD平分/ABC交

AC于点。，点E为A8的中点，连接。E.则NCDE的度数是54。.

【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到/ABC=/C=72°,然后利用

8。平分NA8C交AC于点。求得的度数，利用三角形的内角和求得/AD8的度

数即可.

【解答】解：：A2=AC,NA=36°,

...NA3C=NC=lx(180°-36°)=72°,

2

：8A平分/ABC,

/.ZABD^ZDBC^36°,

ZABD=ZA,

•.•点E为AB的中点，

AZAE£)=90°,

ZADE^90°-/A=54°,

故答案为：54°.

【点评】考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形的等边对等角的性质,

难度不大.

20.（2022秋•门头沟区期末）等腰三角形的一个内角的度数是40°,则其余两个内角的度

数是7数,70°或40°,100°.

【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为40°时；当等腰三角形的一个底角为40°

时，然后分别进行计算即可解答.

【解答】解：分两种情况：

当等腰三角形的顶角为40。时，

.,•等腰三角形的两个底角=1X（180°-40°）=70°；

2

当等腰三角形的一个底角为40°时，则另一个底角也是40°,

等腰三角形的顶角=180°-2X40°=100°；

综上所述：等腰三角形的其余两个内角的度数为70°,70°或40°,100°,

故答案为：70°,70°或40°,100°.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的

关键.

21.（2022秋•密云区期末）如图，RtZXABC中，ZBAC=90°,AB^AC.在BC上截取BD

=BA,作/ABC的平分线与AD相交于点P,连接PC.若△ABC的面积为8cm2,则4

BPC的面积为4cm2.

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出AP=PD,即得出△A8P和△O8P是

「，

等底同高的三角形，△ACP和△OCP是等底同高的三角形，即可推出「卷SAAR

即可求出答案.

【解答】解：,••20=54,3P是/ABC的角平分线，

：.AP=PD,

：.AABP和△。8尸是等底同高的三角形，△ACP和△OCP是等底同高的三角形，

SAABP=SADBP，S4ACP=SADCP.

*.*SAABC=SAABP+SADBP+SAACP+SADCP,S^BPC=S^DBP+S^DCP,

.112

・・S/IBPC7s△Agc=yX8=4cin,

故答案为：4.

【点评】本题考查等腰三角形的性质.掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键.

22.(2022秋•密云区期末)在平面直角坐标系尤0y中，A(1,3),B(3,7),点尸在y

轴上，当PA+PB取得最小值时，点P的坐标为(0,2).

yA

III____11111A

O1x

-B,

【分析】根据对称性，作出点A关于y轴的对称点A,连接84与y轴交于点P,根据两

点之间线段最短即可得结论.

【解答】解：

如图所示，作出点A关于点y轴的对称点A,连接BA交y轴于点P,

此时B4+PB=PA+PB^A'B,

根据两点之间线段最短，所以点尸的坐标为(0,2).

故答案为：(0,2).

【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握对称性性质.

23.(2022秋•平谷区期末)等腰三角形的一个角为80°,则这个等腰三角形的顶角的度数

为2为或80°.

【分析】等腰三角形的一个内角是30。，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分情

况讨论.

【解答】解：分两种情况：

当80°的角是底角时，则顶角度数为180°-80°X2=20°；

当80°的角是顶角时，则顶角为80°.

故答案为：20°或80°.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角

或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键.

24.（2022秋•平谷区期末）如图，在AABC中，根据尺规作图痕迹，下列四个结论中：

®AF=BF

®ZAFD+ZFBC^90°

®DF±AB

©ZBAF^ZCAF

所有正确结论的序号是：①②③.

【分析】由作图可知。尸垂直平分线段AB,BE平分NA8C,利用线段的垂直平分线的性

质一一判断即可.

【解答】解：由作图可知。p垂直平分线段AS,8E平分

：.FA=FB,DF±AB,故①，③正确，

ZAFD^ZBFD,

'：ZFBC^ZFBD,/FBD+/BFD=9Q°,

：.ZAFD+ZFBC=90°,故②正确，

由作图不能得到④，

故答案为：①②③.

【点评】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识,

解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题.

25.（2022秋•西城区期末）如图，在△ABC中，AC^BC,ZACB=50°,AZ）_LBC于点。,

MCLBC于点C,MC=BC.点E,点尸分别在线段A。，AC上，CF^AE,连接MR

BF,CE.

（1）图中与MF相等的线段是CE；

（2）当BF+CE取最小值时ZAFB=95

【分析】（1）先证明三角形全等，再由性质求解；

（2）利用（1）的结论，转换为两点之间线段最短问题，再利用三角形是内角和求解.

【解答】解：（1）：AC=8C,MC=BC,

：.AC=MC,

•：AD±BC于点D,MCLBC于点C,

J.AD//CM,ZMCB=90°,

：.ZMCA=ZCAD=40°,

,/CF^AE,

：.ACMF^AACE（SAS）,

:.MF=CE,

故答案为：CE；

（2）,:MF=CE,

：.BF+CE=BF+MF,

.•.当MF和8尸共线时，和最小，如图，此时MB与AC交于点/,

'：MC=BC,ZBCM=90°,

：.ZCMB=45

ZAF'B=NCF'M=180°-ZCMB-ZMCA=95°,

故答案为：95.

【点评】本题考查了最短路径问题，线段的转化是解题的关键.

三.解答题（共19小题）

26.（2022秋•顺义区期末）如图，在△ABC中，NC=90°,分NA8C交AC于点£）,

过点D作DE〃AB交BC于点E,DF±AB,垂足为点?

（1）求证：BE=DE；

⑵若DE=2,DF=V3＞求8。的长.

【分析】（1）利用角平分线的性质和平行线的性质先说明再利用等腰

三角形的判定得结论；

（2）利用角平分线的性质先得到CD=DF,再在RtACDE中利用勾股定理求出CE的长,

最后在RtACDB中利用勾股定理求出BD的长.

【解答】（1）证明：：8。分/ABC,

/ABD=/CBD.

'：DE//AB,

：.ZEDB=ZABD.

：.ZCBD=ZEDB.

:.DE=EB.

（2）解:VZC=90°,

：.DC±BC.

又分/ABC交AC于点。，DFA.AB,

:.CD=DF=M.

在RtZkCZJE中，

C£=VDE2-CD2=1-

•：DE=EB=2,

:.BC=CE+EB=3.

在RtACDB中，

BD=4cD2+BC2=73+9=2V3•

【点评】本题主要考查了角平分线和等腰三角形，掌握角平分线的性质和等腰三角形的

判定、勾股定理是解决本题的关键.

27.(2022秋•平谷区期末)阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，AD是8c边上的中线，E是上一点，

延长8E交AC于点/，AF=EF,求证：AC=BE.

小明发现，延长到点以，使。连结8打，构造△2/58,通过证明△BOX与

△AC。全等，△3即为等腰三角形，使问题得以解决(如图2).

请写出推导过程.

图1图2

【分析】延长AD到点H,使DH=AD,连结BH,可证明(SAS),则

BH=AC,/CAD=/H,根据得NC4O=NAER可证出即，即可

得出AC=BE.

【解答】证明：延长A。到点”，使。H=A。，连结

在和△CD4中，

，DH=DA

'NBDH=/CDA，

BD=CD

工ABDgACDA(SAS),

：.BH=AC,ZCAD=ZH,

又,：AF=EF,

：.ZCAD=ZAEF,

又/BEH=ZAEF,

：.ZCAD=ZBEH,

J.ZH^ZBEH,

：.BH=BE,

：.AC=BE.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线

构造全等三角形是解题的关键.

28.(2022秋•平谷区期末)如图，在△ABC中，A2=5,AC=4,BC=3,DE是AB的垂直

平分线，OE分别交AC,AB于点E,D.

(1)求证：AABC是直角三角形；

(2)求AE的长.

【分析】(1)利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足/+廿=02,那么

这个三角形就是直角三角形可得AABC是直角三角形；

(2)根据线段垂直平分线的性质可得设&£=尤，则EC=4-无，根据勾股定理

可得/-32=(4-x)2,再解即可.

【解答】(1)证明：:△ABC中，AB=5,AC=4,BC=3,

又；42+32=52,

即AB2^AC2+BC2,

.•.△ABC是直角三角形；

(2)证明：连接8E.

,：DE是AB的垂直平分线,

：.AE=EB,

设A£=x,则EC=4-x.

.'.x2-32=(4-%)2.

解之得x=2旦，即AE的长是空.

88

【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理.

29.（2022秋•东城区期末）课堂上，老师提出问题：

如图1,OM,ON是两条马路，点A,B处是两个居民小区.现要在两条马路之间的空场

处建活动中心P,使得活空场动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也

相等.如何确定活动中心P的位置？

小明通过分析、作图、证明三个步骤正确地解决了问题，请你将小明的证明过程补充完

整.

步骤1分析：若要使得点尸到点A,B的距离相等，则只需点尸在线段4B的垂直平分

线上；若要使得点P到。ON的距离相等，则只需点P在/MON的平分线上.

步骤2作图：如图2,作NMON的平分线OC,线段A8的垂直平分线OE,DE交OC

于点尸，则点尸为所求.

步骤3证明：如图2,连接以，PB,过点尸作PFLON于点RPGLOM于点G.

'JPFLON,PGLOM,

且点尸在/PON的平分线上（填写条件），

：.PF=PG（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）（填写理由）.

:点P在线段AB的垂直平分线DE上，

：.PA=PB（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）（填写理由）.

•••点尸为所求作的点.

图1图2

【分析】利用角平分线的性质，可得出PF=PG,利用线段垂直平分线的性质，可得出

PA=PB,进而可得出点P为所求作的点.

【解答】证明：如图2,连接E4,PB,过点P作于点RPGLOM于点G.

"：PF±ON,PGLOM,

且点尸在/MON的平分线上，

：.PF=PG（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）.

•..点P在线段AB的垂直平分线DE1.,

：.PA=PB（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）.

故答案为：点尸在NMON的平分线上；角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直

平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.

【点评】本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质

及线段垂直平分线的性质，找出点P的位置是解题的关键.

30.（2022秋•怀柔区期末）己知：如图，/ABC=NDBE=90°,。为边AC上■点，AABD

是等边三角形，且AC=DE.求证：AABgADBE.

【分析】根据等边三角形的性质可以得到再根据/4以7=/。8£=90°,可知

△ABC和△OBE均为直角三角形，然后根据HL即可证明结论成立.

【解答】证明：:△ABD是等边三角形，

：.AB=DB,

VZABC=ZDBE=90°,

AABC和△OBE均为直角三角形，

在RtAABC和RtADBE中，

[AC=DE,

iAB=DB'

：.RtAABC^RtADBE（HL）.

【点评】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意,

利用数形结合的思想解答.

31.（2022秋•密云区期末）已知：在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,48边的垂

直平分线分别交AC于点交A8于点E.

（1）求证：DE=DC-,

(2)连接EC,若AB=6,求△EBC的周长.

【分析】(1)根据三角形内角和定理求出NA8C=60°,根据线段垂直平分线的性质得

到A£>=£>8,求出NA=NA8£)=30°,再根据角平分线的性质得到。E=Z)C；

(2)判定△EBC是等边三角形，即可求出周长.

【解答】(1)证明：在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,

/.ZABC=60°,

,；DE是AB边的垂直平分线，

：.AD=DB,

：.ZA=ZABD=30°,

：.ZCBD=60°-30°=30°

2。平分/ABC,

'：DE±AB,AC±BC,

：.DE=DC；

(2)解：在RtZXABC中，ZACB=90°,NA=30°,AB=6,

.1

••BCjAB=3，

'.'DE是AB边的垂直平分线，

.1

••BE^-AB=3-

：.BC=BE,

VZABC=60°,

：./\EBC是等边三角形，

△EBC的周长为9.

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，等边三角形的判定

和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握各定理是解题的关键.

32.(2022秋•密云区期末)如图，在△ABC中，ZBAC=6Q°,ZC=40°,NBAC与/

ABC的角平分线A。、BE分别交3C、AC边于点。和点E.

(1)求证：△BEC是等腰三角形；

(2)用等式表示线段A3、AC、之间的数量关系，并证明.

【分析】(1)利用三角形内角和，角平分线的定义得出NEBC=/C,进而得出班=EC,

即可得出结论；

(2)延长4B至尸，使BF=BD,连接。R利用等边对等角和三角形的外角得出/歹=

NC,再证明△AFZ户△ACD根据全等三角形的性质得出AF^AC,再根据线段的和差

即可得出AB+BD^AC.

【解答】(1)证明：在△A8C中，ZBAC=60°,ZC=40°,

ZABC=80°,

「BE平分/ABC,

/.ZEBC=40°,

：.ZEBC=ZC,

：.EB=EC,

.•.△BEC是等腰三角形.

(2)解：AB+BD^AC,

证明：延长A3至E使BF=BD,连接。尸，

/F=ZBDF,

VZABC=ZF+ZBDF=80°,

.*.2ZF=80°,

?.ZF=40°,

VZC=40°,

.\ZF=ZC,

VAD平分4BAC,

：.ZBAD=ZCAD,

\"AD=AD,

：.AAFD=AACD（ASA）,

J.AF^AC,

：.AB+BF^AC,

即：AB+BD=AC.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构

造全等三角形是解题的关键.

33.（2022秋•平谷区期末）用直尺和圆规作一个45°的角.

作法：

①作直线/,在直线/上任取一点。；

②以。为圆心，任意长为半径作弧，交直线/于两点；

③分别以N为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧在直线/的上方交于点P，

作直线OP；

④作/PON的角平分线OA；

所以NAON即为所求作的45°角.

（1）利用直尺和圆规依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接PM,PN,

•：PM=PN,

点P在线段MN的垂直平分线上（到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂

直平分线上）（填推理的依据）.

•：OM=ON,

，点0在线段MN的垂直平分线上.

直线OP是线段MN的垂直平分线.

：.OP±MN.

:.NPON=90°.

平分/PON,

【分析】（1）根据作法作图即可；

（2）由垂直平分线的判定可得答案.

,:PM=PN,

...点P在线段MN的垂直平分线上（到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直

平分线上）（填推理的依据）.

•：OM=ON,

...点0在线段MN的垂直平分线上.

直线OP是线段MN的垂直平分线.

：.OP±MN.

：.ZPON=90°.

平分/尸ON,

;-ZA0N=yZP0N=45°

故答案为：到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

【点评】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握作角平分线的方法.

34.（2022秋•东城区期末）如图，在△ABC中，AB=AC=8,ZCBA=45°.

（1）求证：ACLAB；

（2）分别以点A,C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点。（点。在AC的左侧）,

连接CO,AD,BD.求的面积.

【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得NC54=/ACB=45°,然后利用三角形内角

和定理求出/CA8=90°,即可解答；

（2）过点。作。ELBA,交54的延长线于点E,根据题意可得：AC=AD=CD=S,从

而可得△ACD是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得/D4C=60°,从而利用

平角定义可得NZME=30°,最后在RtZSOEA中，利用含30度角的直角三角形的性质

可得。E=4,从而利用三角形的面积进行计算即可解答.

【解答】（1）证明：

：.ZCBA=ZACB=45°,

.\ZCAB=180°-ZACB-ZCBA^9Q0,

：.AC.LAB；

（2）解：过点D作DEIBA,交BA的延长线于点E,

由题意得：AC=AD=CD=8,

・•・△AC。是等边三角形，

ZDAC=60°,

ZZ）AE=180°-ZDAC-ZCAB=30°,

.•.DE=AA£>=4,

2

；.AABD的面积=虱小。£'=1*8*4=16,

22

.,.△ABD的面积为16.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，根据题目的已知条

件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

35.（2022秋•顺义区期末）下面是晓东设计的“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”

的尺规作图过程.

已知：直线/及直线/外一点P.

求作：直线/的垂线，使其经过点P.

作法：如图，

①任取一点。，使点。与点尸在直线/两侧；

②以尸为圆心，P。长为半径作弧交直线/于A,8两点；

③分别以A,8为圆心，AP长为半径作弧，两弧在直线/下方交于点C；

④作直线PC.

所以直线PC为所求作的垂线.

根据晓东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：连接B4,PB,AC,BC,

"：PA=PB,

...点P在线段AB的垂直平分线上（到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直

平分线上）（填推理的依据）.

VCA=CB,

...点C在线段A8的垂直平分线上.

二直线PC为线段AB的垂直平分线.

即PC±l.

P.

Q*

P.

【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形即可；

（2）根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可判断点P、点C都在线段的垂直平

分线上，则PC垂直平分AB,所以PC，/.

【解答】（1）解：如图，PC为所作;

（2）证明:

连接B4,PB,AC,BC.如图,

"：PA=PB,

...点P在线段A8的垂直平分线上(到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平

分线上).

"：CA=CB,

...点C在线段AB的垂直平分线上.

垂直平分

：.pcn.

故答案为：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；CA=CB.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,

结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了线段垂直平

分线的性质.

36.(2022秋•西城区期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC,A(-2,6),B(-

5,1),C(3,1).点B与点C关于直线/对称，直线/与BC,AC的交点分别为点。，

E.

(1)求点A到8C的距离；

(2)连接BE,补全图形并求AABE的面积；

(3)若位于x轴上方的点尸在直线/上，ZBPC=90°,直接写出点P的坐标.

【分析】(1)根据A(-2,6),8(-5,1),C(3,1),即可求点A到的距离；

(2)根据题意即可补全图形，进而求△ABE的面积即可；

(3)根据题意可得点P与点E重合，此时/BPC=9(r,进而可以写出点尸的坐标.

【解答】解：(1)VA(-2,6),3(-5,1),C(3,1).

:.点A到BC的距离为5；

(2)如图即为补全的图形，

「△ABE的面积=△ABC的面积-△3EC的面积=LX8X5--LX8X4=4:

22

（3）由（2）可知：位于x轴上方的点P与点E重合，

因为。E=OC=O8=4,

所以ABDE和△CDE是等腰直角三角形，

所以此时N8EC=NBPC=90°,

所以点P的坐标为（-1,5）.

【点评】本题考查作图-复杂作图，三角形面积，坐标与图形性质，解决本题的关键是

掌握基本作图方法.

37.（2022秋•平谷区期末）如图，△ABC中，AB=AC,/BAC=a（0°<a<90"）,AD

为BC边上的中线，过点8作于E,交于点尸，作NA8E的角平分线于

M,交AC于N.

（1）①补全图形1:

②求NCBE的度数（用含a的式子表示）；

（2）如图2,若/a=45°,猜想Ab与8M的数量关系，并证明你的结论.

【分析】（1）①根据题意画出图形即可；

②由等腰三角形的性质得出AOLBC,ZDAC=lzBAC=la,证出NAOB=90°,由

22

直角三角形的性质可得出答案；

（2）连接A/C,证出/MBC=45°,证明△AEP丝ZXBEC（ASA）,由全等三角形的性质

得出AF=BC,证出△BMC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出BC=

MBM,则可得出结论.

【解答】解：（1）①补全图形如下:

图1

@'：AB=AC,。为8C的中点，

：.AD±BC,ZDAC=l.ZBAC^l-a,

22

/.ZADB^90°,

'：BELAC,

；./AEB=/BEC=9G°,

：.ZAEB=ZADB^90°,

ZAFE=ZBFD,

：.ZCBE=ZDAC=l.a；

(2)y/2BM.

证明：连接MC,

图2

：/BAC=45°,ZA£B=90°,

：.ZBAC=ZABE=45°,

J.AE^EB,

•:BN平分/ABE,

：.ZNBE=1ZABE=22.5°,

2

VZDAC=AzBAC=22.5°,

2

NEBC=ZDAC^/NBE=22.5°,

ZMBC=45°,

在△AEP和△BEC中，

，ZEAF=ZEBC

<AE=BE，

ZAEF=ZBEC

AAEF^ABEC（ASA）,

：.AF=BC,

•.•。为BC的中点，AD1.BC,

：.AD是BC的垂直平分线，

；.BM=MC,

VZMBC=45°,

/.丛BMC是等腰直角三角形，

；.BC=®BM,

:.AF=4^BM.

【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段中垂线的性质，

角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的

关键.

38.（2022秋•东城区期末）在△ABC中，AB^AC,ZA=100°.点M在2C的延长线上,

ZABC的平分线交A