专练2 开放题专练2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计 (人教A版2019)

专练2开放题专练2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计(人教A版2019)主备人备课成员教材分析一、教材分析：“专练2开放题专练2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册同步教学设计(人教A版2019)”聚焦于培养学生解决开放性问题的能力，涵盖了解决实际问题的数学建模、逻辑推理、数据分析等关键技能。本章节内容与课本紧密相连，旨在通过实际例题和练习题，帮助学生深化对课本知识的理解和应用，提高解题技巧和思维创新能力。核心素养目标学习者分析1.学生已经掌握了高中数学选择性必修第一册的基础知识，包括函数、导数、三角函数等，以及基本的数学解题方法和逻辑思维。

2.学生对数学有不同程度的兴趣，其中一部分学生对解决实际问题和开放性题目表现出较高的热情，他们通常具备较强的逻辑推理能力和抽象思维能力；另一部分学生可能对数学较为畏惧，需要通过具体实例来加深理解。学生的个人学习风格差异较大，有的喜欢独立思考，有的倾向于小组讨论。

3.学生在解决开放性问题时可能遇到的困难和挑战包括：对问题的理解不够深入，无法建立有效的数学模型；逻辑推理能力不足，导致解题过程中出现逻辑错误；以及对题目所涉及的高级数学概念掌握不牢固，影响了解题的效率和准确性。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生配备人教A版2019高中数学选择性必修第二册教材。

2.辅助材料：准备与开放题相关的PPT演示文稿，以及数学建模和逻辑推理的案例资料。

3.教室布置：将教室分为小组讨论区，便于学生合作探讨开放性问题。教学过程同学们，今天我们将要学习的是选择性必修第二册的开放题专练。请大家先打开教材，翻到专练2部分。今天我们的课堂目标是提升大家解决开放性数学问题的能力，这不仅仅是解题，更是一种思维训练。

1.导入新课

首先，我想请大家回顾一下我们之前学过的内容。在必修第一册中，我们学习了许多数学函数和导数的知识。现在，请大家思考一下，这些知识如何应用到解决实际问题中呢？

（学生思考）

很好，现在请大家听听这个例子：一个工厂要生产一种新产品，需要决定生产多少件才能获得最大利润。这个问题中，我们就需要用到函数和导数的知识来建立模型，并找到最优解。

2.探究主旨内容

（学生阅读）

现在，我想请大家尝试解答这个例题。记住，开放题没有唯一的答案，重要的是你的解题思路和过程。

（学生尝试解题，老师巡回指导）

3.小组讨论

现在，请大家分成小组，相互讨论一下你们刚才的解题过程。每个小组选一个代表，分享一下你们的解题思路。

（学生小组讨论，老师观察并指导）

4.小组分享

好，现在每个小组的代表来分享一下你们的讨论成果。其他同学注意听，看看有没有不同的解题方法。

（学生分享，老师点评并总结）

5.教学互动

（学生独立解题，老师提问并引导）

6.总结规律

7.练习巩固

现在，请大家翻开教材，完成专练2中的练习题。这些题目旨在巩固你们今天学到的知识，并提高你们解决开放题的能力。

（学生练习，老师巡回指导）

8.课堂小结

同学们，今天我们学习了如何解决开放性数学问题。大家通过例题的学习、小组讨论、教学互动和练习巩固，对开放题的解题方法有了更深的理解。希望你们能在今后的学习中，更加自信地面对这类问题。

9.课后作业

最后，我给大家布置一个课后作业。请大家选择一道开放题，尝试独立解答，并写下你的解题过程和思考。下节课我们会一起讨论。

（学生记录作业）

好了，今天的课程就到这里。希望大家能够消化今天的内容，并在课后继续努力。下课！学生学习效果学生学习效果显著，具体体现在以下几个方面：

1.学生能够运用所学的数学知识，如函数、导数等，来解决实际问题。通过开放题的练习，他们能够更好地理解数学与生活之间的联系，提高了数学建模能力。

2.学生在解决开放题时，逻辑推理能力得到了锻炼。他们能够通过分析问题，建立数学模型，并运用逻辑推理来找到解决问题的方法。

3.学生在小组讨论中，学会了如何与他人合作，交流解题思路。这不仅提高了他们的沟通能力，也让他们意识到团队合作的重要性。

4.学生在学习过程中，逐渐形成了自己的解题策略和方法。他们能够根据问题的特点，选择合适的数学工具和思路来解决问题。

5.学生通过完成课后作业，进一步巩固了所学知识。他们在独立解题的过程中，不仅加深了对知识点的理解，还能够发现并解决自己在学习中的不足。

6.学生在解决开放题的过程中，逐渐培养了批判性思维和创新意识。他们不再满足于找到一种解题方法，而是尝试寻找更多可能的解决方案，并对其进行评价和优化。

7.学生通过本节课的学习，提高了对数学学科的兴趣和自信。他们在解决实际问题的过程中，感受到了数学的实用性和魅力，增强了学习动力。

8.学生在课堂互动和课后作业中，展现出了良好的学习态度和积极参与的精神。他们愿意主动思考、提问和分享，形成了良好的学习氛围。

9.学生在解决开放题时，能够灵活运用所学知识，形成自己的解题风格。他们在解题过程中，不仅注重结果，更注重解题过程和思维方法的培养。

10.学生通过本节课的学习，不仅掌握了数学知识，还培养了独立思考、解决问题的能力。这些能力将对他们未来的学习和生活产生积极的影响。典型例题讲解今天我们将通过几个典型例题来深入理解和掌握解决开放性数学问题的方法。

例题1：

某企业生产一种产品，其成本函数为C(x)=3x+100，其中x为生产的产品数量。产品的销售价格为p(x)=50-x，求该企业生产多少件产品时，可以获得最大利润？

解答：首先，我们需要建立利润函数L(x)。利润等于总收入减去成本，即L(x)=p(x)*x-C(x)。将给定的成本函数和销售价格函数代入，得到L(x)=(50-x)*x-(3x+100)。接下来，我们对L(x)求导，得到L'(x)=50-2x-3。令L'(x)=0，解得x=23.5。由于x必须是整数，我们取最接近的整数x=24。再次求导得到L''(x)=-2，因为L''(x)<0，所以x=24时，L(x)取得最大值。因此，该企业生产24件产品时，可以获得最大利润。

例题2：

一个质点从原点出发，沿x轴正方向运动，其速度v(t)=4t（t为时间，单位：秒），求质点在前5秒内的位移。

解答：位移是速度对时间的积分，即s(t)=∫v(t)dt。将速度函数代入，得到s(t)=∫4tdt=2t^2+C。由于质点从原点出发，所以初始位移s(0)=0，因此C=0。所以s(t)=2t^2。在前5秒内的位移为s(5)=2*5^2=50。因此，质点在前5秒内的位移是50米。

例题3：

某函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求函数的极值点。

解答：首先对函数求导，得到f'(x)=3x^2-12x+9。令f'(x)=0，解得x=1或x=3。再次求导得到f''(x)=6x-12。将x=1和x=3分别代入f''(x)，得到f''(1)=-6<0，f''(3)=6>0。因此，x=1是函数的极大值点，x=3是函数的极小值点。

例题4：

一个圆柱形油桶的容积为V升，求油桶的底面半径r和高h，使得油桶的表面积最小。

解答：圆柱的体积V=πr^2h，表面积S=2πrh+2πr^2。将体积公式解出h，得到h=V/(πr^2)。将h代入表面积公式，得到S=2πr(V/(πr^2))+2πr^2=2V/r+2πr^2。对S求导，得到S'(r)=-2V/r^2+4πr。令S'(r)=0，解得r=(V/(2π))^(1/3)。将r代入h的公式，得到h=(3V/(2π))^(1/3)。因此，当油桶的底面半径r=(V/(2π))^(1/3)和高h=(3V/(2π))^(1/3)时，油桶的表面积最小。

例题5：

某城市的居民用水量Q（单位：升/天）与水费F（单位：元/天）之间的关系可以表示为F(Q)=0.5Q+10。如果该城市每天的居民用水量为2000升，求居民每天的水费。

解答：将Q=2000代入水费函数，得到F(2000)=0.5*2000+10=1000+10=1010。因此，居民每天的水费为1010元。板书设计①开放题解题步骤

-理解题目背景

-建立数学模型

-选择合适的数学工具

-推导和计算

-分析结果和验证

②重点知识点

-函数的概念及其性质

-导数的定义和应用

-数学建模的基本方法

-逻辑推理和数学证明

③关键词和句型

-开放性数学问题

-数学模型

-逻辑推理

-解题策略

-“我们可以通过建立函数模型来解决这个问题。”

-“接下来，我们将对模型进行求导，以找到极值点。”

-“最后，我们需要验证我们的结果是否符合实际情况。”课堂1.课堂评价

在课堂上，我采用了多种方式来评价学生的学习情况，确保他们能够理解和掌握开放性数学问题的解决方法。

①提问：我会在讲解完一个概念或例题后，向学生提出问题，检查他们是否理解了关键知识点。例如，在讲解完一个函数模型建立的过程后，我会问：“如果条件发生变化，你们会如何调整模型？”这样的问题可以促使学生思考并应用所学知识。

②观察：在小组讨论环节，我会观察学生的互动和合作情况。我注意到，学生是否能够积极发言、是否能够有效地交流解题思路，这些都是评价他们学习效果的重要指标。

③测试：在课程结束时，我会进行一个小测验，以测试学生对本节课内容的掌握程度。这些测试通常包括一些开放性问题，要求学生独立解答，以此来评估他们的解题能力和创新思维。

2.作业评价

学生的作业是我评价他们学习效果的重要途径之一。我认真批改每一份作业，不仅仅关注答案的正确性，更注重解题过程和思路的合理性。

①批改：在批改作业时，我会记录下学生常见的错误类型，如概念混淆、逻辑错误或计算失误。这些信息有助于我在课堂上针对性地讲解和复习。

②点评：我会选择一些具有代表性的作业进行课堂点评，既表扬做得好的学生，也指出存在的问题。这样的点评旨在鼓励学生相互学习，同时也提醒他们注意避免常见错误。

③反馈：对于每个学生的作业，我都会提供详细的反馈，包括对解题过程的评价和建议。我会鼓励学生继续努力，特别是对于那些在解题过程中展现出创新思维的学生，我会特别表扬他们的努力和进步。教学反思与总结在整个教学过程中，我深刻体会到了教授开放性数学问题的挑战与乐趣。以下是我对本次教学的一些反思与总结。

教学反思：

在设计课程时，我注重了知识点的连贯性和逻辑性，力求让学生能够在理解基础知识的基础上，顺利过渡到开放性问题的解决。然而，在实际教学过程中，我发现有些学生对于基础知识的应用还不够熟练，导致在解决开放问题时遇到困难。这让我意识到，在未来的教学中，我需要更多地关注学生的基础知识掌握情况，加强对基础知识的巩固。

在教学方法上，我尝试了多种互动方式，如小组讨论、课堂提问等，以激发学生的学习兴趣和参与度。总体来说，这些方法收到了较好的效果，学生们在课堂上的表现让我感到欣慰。但也有少数学生可能因为性格原因或者对数学的兴趣不高，参与度不够。对于这部分学生，我计划在今后的教学中，更多地关注他们的个别需求，寻找适合他们的学习方式。

在课堂管理方面，我发现有时候在小组讨论环节，学生之间的交流并不充分，有的小组可能会出现个别学生主导讨论，而其他学生被动参与的情况。为了改善这一点，我打算在未来的课堂上，更加明确小组讨论的要求，确保每个学生都有机会发言和贡献自己的思路。

教学总结：

本节课的教学效果总体上是积极的。学生在解决开放性数学问题方面取得了明显的进步，他们能够运用所学的知识和方法，独立地建立模型并解决问题。在情感态度上，学生们也表现出了对数学的热爱和对挑战的积极态度。

但同时，我也发现了一些不足之处。例如，部分学生在解题过程中，对于问题的理解不够深入，导致解题思路出现偏差。针对这一问题，我计划在未来的教学中，更多地引导学生去深入分析问题，培养他们的批判性