华师版八年级数学 13.3等腰三角形（学习、上课课件）

13.3等腰三角形第13章全等三角形13.3.1等腰三角形的性质逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2等腰三角形的定义等腰三角形的性质等边三角形的定义及性质知识点等腰三角形的定义知1－讲11.定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.几何语言：如图13.3-1，在△ABC中，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形.2.相关概念等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.知1－讲特别提醒1.确定等腰三角形的两条腰时，应找三角形中相等的两边，腰与三角形本身的位置无关.2.等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，但底角只能是锐角.知1－练例1若某个等腰三角形的两边长分别为4和6，求这个等腰三角形的周长.解题秘方：根据等腰三角形的定义确定腰和底边的长，再利用三角形三边关系进行判断并计算.知1－练解：∵等腰三角形的底边长和腰长不确定，∴需分两种情况讨论.当4为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为4，4，6，∵4＋4>6，满足三角形的三边关系，∴周长＝4＋4＋6＝14；当6为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为4，6，6，∵4＋6>6，满足三角形的三边关系，∴周长＝6＋6＋4＝16.综上可知，这个等腰三角形的周长为14或16.知1－练特别提醒：等腰三角形的边分腰和底边，若没有说明，则必须分类讨论，同时注意三角形的三边关系.知1－练1-1.[中考·河北]四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为()A.2B.3C.4D.5B知2－讲知识点正方形的性质21.性质1

等腰三角形的两底角相等.(简写成“等边对等角”)几何语言：如图13.3-2，在△ABC中，∵

AB＝AC，∴∠B＝∠C.知2－讲特别提醒●适用条件：必须在同一个三角形中.●“等边对等角”是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.知2－讲2.

性质2

等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合.(简称“三线合一”)特别提醒●适用条件：1.必须是等腰三角形；2.必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才互相重合.●作用：是证明线段相等、角相等、线段互相垂直的重要依据.知2－讲几何语言：如图13.3-2，在△ABC中，(1)∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴AD平分∠BAC(或BD＝CD)；(2)∵AB＝AC，BD＝DC，∴

AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；(3)∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC(或AD⊥BC)．知2－讲3.对称性等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．知2－练如图13.3-3，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC.例2解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答.知2－练(1)求∠ADB的度数；(2)若∠BAC＝100°，求∠B，∠C的度数；解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.

知2－练(3)若BC＝3cm，求BD的长.

知2－练2-1.[中考·益阳]如图，AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点E，F，CD上有一点G且GE＝GF，∠1＝122°.求∠2的度数．知2－练解：∵AB∥CD，∠1＝122°，∴∠DFE＝∠1＝122°，∴∠EFG＝180°－∠DFE＝58°.∵GE＝GF，∴∠FEG＝∠EFG＝58°，∴∠2＝180°－∠FEG－∠EFG＝64°.知2－练如图13.3-4，已知AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.解题秘方：证明线段相等，可证明其所在的三角形全等；条件中出现两个等腰三角形，也可利用等腰三角形的性质证明.例3知2－练证明：方法一∵

AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED.∴∠BAD＝∠CAE.∴△ABD≌△ACE(A.S.A.).∴BD＝CE.方法二如图13.3-4，过点A作AF⊥DE，垂足为F.∵AD＝AE，∴DF＝EF.又∵AB＝AC，∴BF＝CF.∴BF－DF＝CF－EF，即BD＝CE.知2－练3-1.[中考·淄博]如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连结BD，CE．求证：BD＝CE．知2－练知3－讲知识点等边三角形的定义及性质31.定义三条边都相等的三角形是等边三角形.2.性质

(1)等边三角形的三条边都相等.(2)等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.(3)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边的垂直平分线.(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.知3－讲特别提醒等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质：任意两边都可以作为腰；任意一个角都可以作为顶角.知3－练如图13.3-5，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是三边AB、AC、BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，请计算△DEF各个内角的度数.例4解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于60°求解.知3－练解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，∴∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°.∴∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.∴∠EDF＝180°－30°－90°＝60°，同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°，∴△DEF各个内角的度数都是60°.知3－练4-1.如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为(

)A.80°B.70°C.60°D.50°A知3－练如图13.3-6，等边三角形ABC的边长为3，D是AC的中点，点E在BC的延长线上.若DE＝DB，求CE的长.例5知3－练解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化.知3－练

知3－练

知3－练5-1.[中考·益阳]如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝_______°.75知3－练如图13.3-7，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.例6解题秘方：利用等边三角形中边相等、角相等且为60°的性质进行解答.知3－练(1)求证：△ABE≌△CAD；

知3－练(2)求∠BFD的度数.解：∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD.∵∠BFD＝∠ABE＋∠BAF，∴∠BFD＝∠DAC＋∠BAF＝∠BAC＝60°.知3－练6-1.如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连结CD，以CD为边作等边三角形CDE，连结AE，判断AE与BC的位置关系，并说明理由.知3－练解：AE∥BC.理由如下：∵△ABC与△CDE都为等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.∴△BCD≌△ACE(S.A.S.)．∴∠B＝∠EAC.又∵∠B＝∠ACB，∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC.等腰三角形的性质等腰三角形特殊性质两边相等等边对等角三线合一等边三角形都具有三边相等，三个内角相等特性13.3等腰三角形第13章全等三角形13.3.2等腰三角形的判定逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2等腰三角形的判定等边三角形的判定知识点等腰三角形的判定知1－讲11.

判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).几何语言：如图13.3-17，在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.知1－讲2.等腰三角形的性质与判定的异同相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”.不同点：性质：两边相等→这两边所对的角相等.判定：两角相等→这两角所对的边相等.知1－讲特别提醒等腰三角形的定义也是一种判定方法，判定定理就是转化为定义再判断，也是证明在同一个三角形中两条线段相等的方法.知1－练例1如图13.3-18，在△ABC中，P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，若AQ＝AR，则△ABC是等腰三角形吗？请说明理由.知1－练解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形两个内角相等即可.知1－练解：△ABC是等腰三角形.理由如下：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR.又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.∵RP⊥BC，∴∠RPB＝∠RPC＝90°.∴∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°，∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形.知1－练1-1.如图，点E在△ABC的AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE，过点D作DG∥AC交BC于点G.求证：△ABC是等腰三角形.知1－练证明：∵DG∥AC，∴∠DGB＝∠ACB，∠DGF＝∠ECF.

又∵∠DFG＝∠EFC，DF＝EF，

∴△GDF≌△CEF(A.A.S.)．∴DG＝EC.∵BD＝CE，∴BD＝DG.∴∠DGB＝∠B.∵∠DGB＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB.

∴AC＝AB，即△ABC是等腰三角形．知2－讲知识点等边三角形的判定21.

判定定理1三个角都相等的三角形是等边三角形.几何语言：如图13.3-19，在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形.知2－讲2.

判定定理2

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.几何语言：如图13.3-19，在△ABC中，∵AB＝AC，∠A＝60°(或∠B＝60°或∠C＝60°)，∴△ABC是等边三角形.知2－讲3.证明等边三角形的思维导图三角形等边三角形三角形等腰三角形等边三角形知2－讲特别提醒1.在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，判定定理2都成立.2.等边三角形的判定方法：(1)若已知三边关系，一般选用定义判定；(2)若已知三角关系，一般选用判定定理1判定；(3)若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2判定.知2－练如图13.3-20，在等边三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，连结OE，OF.求证：△OEF是等边三角形.例2知2－练解题秘方：利用等边三角形的判定定理1，通过求∠OEF＝∠OFE＝∠EOF＝60°，得△OEF

是等边三角形.知2－练证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵CO，BO分别平分∠ACB，∠ABC，∴∠OBE＝∠OCF＝30°.由OB，OC的垂直平分线分别交BC于点E，F，易证△OGE≌△BGE，△OHF≌△CHF，∴OE＝BE，OF＝CF.∴∠BOE＝∠OBE＝30°，∠COF＝∠OCF＝30°.知2－练∴∠OEF＝∠BOE＋∠OBE＝60°，∠OFE＝∠COF＋∠OCF＝60°.∴∠EOF＝60°.∴∠OEF＝∠OFE＝∠EOF.∴△OEF是等边三角形.知2－练教你一招：1.从角的角度证明三角形是等边三角形，一是证明三角形的三个内角相等；二是求出三角形的三个内角度数都是60°.2.在已知的等边三角形内部判定某个三角形是等边三角形，原等边三角形的三个内角都是60°，为求新三角形的内角度数提供了条件.知2－练2-1.如图，已知在△ABC中，BD平分∠ABC，CE＝CD，DB＝DE，∠E＝30°.求证：△ABC是等边三角形．知2－练证明：∵DB＝DE,∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠DBC＝60°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E＝30°.∴∠BCD＝∠CDE＋∠E＝60°.∴∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝60°.∴∠A＝∠ABC＝∠ACB.

∴△ABC是等边三角形．知2－练2-2.如图，△ABC为等边三角形，∠1＝∠2＝∠3.求证：△DEF是等边三角形.知2－练证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC，