人教版八年级数学 14.3因式分解（学习、上课课件）

14.3因式分解第十四章整式的乘法与因式分解14.3.1提公因式法逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2因式分解公因式用提公因式法分解因式知识点正方形的定义知1－讲11.

定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.积中各因式都是整式，且相同因式的积要写成幂的形式知1－讲2.整式乘法与因式分解的关系(1)整式乘法与因式分解是两种互逆的变形.即：多项式整式的积.(2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性.因式分解整式乘法知1－讲特别解读1.因式分解的对象是多项式，结果是整式的积.2.因式分解是恒等变形，形式改变但值不改变.3.因式分解必须分解到每个多项式的因式不能再分解为止.知1－练例1

知1－练解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.答案：D

知1－练1－1.[中考·常德]下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是(

)A.a(m＋n)＝am＋anB.a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2C.10x2－5x＝5x(2x－1)D.x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6xC知1－练

例2知1－练解题秘方：根据因式分解与整式乘法之间的关系进行判断.答案：B解：利用整式的乘法法则将各选项中等式的右边展开，与等式的左边相比较，左右两边相同的只有选项B.2－1.[中考·永州]下列因式分解正确的是()A.ax＋ay＝a(x＋y)＋1B.3a＋3b＝3(a＋b)C.a2＋4a＋4＝(a＋4)2D.a2＋b＝a(a＋b)B知1－练知1－练例3仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知把二次三项式x2－4x＋m分解因式后有一个因式是x＋3，求其另一个因式及m的值.知1－练

知1－练解题秘方：利用因式分解与整式乘法是互逆变形，可以将因式分解的结果利用整式乘法算出，并与已知多项式比较，从而解决问题.知1－练问题：(1)若二次三项式x2－5x＋6可分解为(x－2)(x＋a)，则a＝_________；(2)若二次三项式2x2＋bx－5可分解为(2x－1)(x＋5)，则b＝________；－39知1－练(3)仿照以上方法解答下面的问题：已知把二次三项式2x2＋5x－k分解因式后有一个因式为2x－3，求其另一个因式及k的值.知1－练

展开后对应项的系数相等知1－练3－1.[中考·滨州]把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是()A.

a＝2，b＝3B.

a＝－2，b＝－3C.

a＝－2，b＝3D.

a＝2，b＝－3B3－2.[中考·菏泽]若x2＋x＋m＝(x－3)(x＋n)对x恒成立，则n＝_________.4知1－练3－3.已知二次三项式2x2＋3x－k分解因式后有一个因式是x－5，求另一个因式及k的值.知1－练知2－讲知识点公因式21.

定义：一个多项式中各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式.知2－讲特别解读1.公因式必须是多项式中每一项都含有的因式.只在某个或某些项中含有而其他项中没有的因式不能成为公因式的一部分.2.公因式可以是单项式或多项式，还可以是多项式的幂的形式.3.要善于发现隐蔽的公因式，如(a－b)与(b－a)是一对相反数，它们可以变形为相同的因式.知2－讲2.确定公因式需五看看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；看字母：公因式的字母是各项相同的字母；看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；知2－讲看整体：若多项式的各项中含有的相同因式是多项式时，应将其看成整体，不要拆开；看首项符号：若多项式中首项符号是“－”号，则公因式的符号一般为负.小括号不要轻易地去掉知2－练例4指出下列多项式各项的公因式：(1)3a2y－3ay＋6y；(2)4xy3－8x3y2；(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.解题秘方：紧扣公因式的定义求解.知2－练解：(1)中各项的公因式为3y；(2)中各项的公因式为4xy2；(3)中各项的公因式为(x－y)2；(4)中各项的公因式为－9a2b.知2－练4－1.多项式8a3b2＋12ab3c各项的公因式是()A.abc B.ab2C.4ab2 D.4ab2cC知2－练4－2.

[中考·永州]2a2与4ab的公因式为_______.4－3.4x(m－n)＋8y(n－m)2各项的公因式是________.2a4(m－n)知3－讲知识点用提公因式法分解因式31.定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.用字母表示为：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).知3－讲2.

提公因式法的一般步骤知3－讲特别解读1.提公因式法实质上是逆用乘法的分配律.2.提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商.知3－讲特别提醒：(1)多项式第一项系数为负时，一般提出负号，且各项都变号；(2)公因式的提取要彻底，分解因式的另一个因式中，不能有相同项和公因式.知3－练例5将下列各式分解因式：(1)6x3y2－8xy3z；(2)－4a3b2＋12a2b－4ab.(3)3a(a－2b)＋6b(2b－a)；(4)5m(y－x)2－10(x－y)3.解题秘方：(1)(2)紧扣提公因式法的步骤分解因式，(3)(4)根据(a－b)2n＝(b－a)2n，(a－b)2n－1＝－(b－a)2n－1(n为正整数)进行变形后再分解.知3－练(1)6x3y2－8xy3z；(2)－4a3b2＋12a2b－4ab.解：6x3y2－8xy3z＝2xy2·3x2－2xy2·4yz＝2xy2(3x2－4yz)；－4a3b2＋12a2b－4ab＝－(4a3b2－12a2b＋4ab)＝－(4ab·a2b－4ab·3a＋4ab·1)＝－4ab(a2b－3a＋1).确定公因式首项系数为负数，一般提出负号，括号内各项要变号4ab与公因式相同，提取公因式后，此项为“1”，此处容易漏掉“1”这一项而导致错误(3)3a(a－2b)＋6b(2b－a)；(4)5m(y－x)2－10(x－y)3.知3－练解：3a(a－2b)＋6b(2b－a)＝3(a－2b)(a－2b)＝3(a－2b)2；利用互为相反数凑公因式看作一个整体写成幂的形式5m(y－x)2－10(x－y)3＝5m(x－y)2－10(x－y)3＝5(x－y)2[m－2(x－y)]＝5(x－y)2(m－2x＋2y).知3－练解法提醒：当各项含有相同(或互为相反数)的因式时，应把它作为一个整体看成公因式中的因式，相同的直接提，互为相反数的变成相同的再提.知3－练5－1.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是()A.x2－y B.x2－2xC.

x2＋y2 D.

x2－xy＋y2B知3－练

D知3－练5－3.将多项式(m－n)3－m(m－n)2－n(n－m)2因式分解，结果为(

)A.2(m－n)3B.2m(m－n)2C.－2n(m－n)2D.2(n－m)3C知3－练5－4.分解因式：(1)3x3－9x2－3x；(2)－15a－10ab＋5abc；解：原式＝3x·x2－3x·3x－3x·1＝3x(x2－3x－1)；原式＝－(15a＋10ab－5abc)＝－(5a·3＋5a·2b－5a·bc)＝－5a(3＋2b－bc)；知3－练(3)x(x－y)－y(y－x)；(4)a2(a＋2b)－ab(－4b－2a).解：原式＝x(x－y)＋y(x－y)＝(x－y)(x＋y)；原式＝a2(a＋2b)＋2ab(a＋2b)＝a(a＋2b)(a＋2b)＝a(a＋2b)2.提公因式法因式分解提公因式法公因式概念互逆变形检验整式乘法14.3因式分解第十四章整式的乘法与因式分解14.3.2公式法逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2用平方差公式分解因式用完全平方公式分解因式知识点用平方差公式分解因式知1－讲11.平方差公式法：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.即：a2－b2＝(a＋b)(a－b).a，b可以是单项式，也可以是多项式知1－讲2.平方差公式的特点(1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反；(2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是这两个数的和，另一个二项式是这两个数的差.知1－讲3.运用平方差公式分解因式的步骤一判：判断是不是平方差，若负平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项交换放在后面；二定：确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或字母外，其余情况都必须用括号括起来，表示一个整体；三套：套用平方差公式进行分解；四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最简形式.知1－讲特别解读1.因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式.2.乘法公式中的平方差公式指的是符合两数之和与两数之差的积的条件后，结果写成这两个数的平方差；而因式分解中的平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分解成两个数的和乘这两个数的差的形式.3.能用平方差公式分解因式的多项式的特点：系数是平方，指数要成双，减号在中央.知1－练例1

解题秘方：先确定平方差公式中的“a”和“b”，再运用平方差公式分解因式.知1－练

解：4x2－25y2＝(2x)2－(5y)2＝(2x＋5y)(2x－5y)；(a＋2)2－1＝(a＋2＋1)(a＋2－1)＝(a＋3)(a＋1)；

看成一个整体要分解到不能再分解为止知1－练解：16(a－b)2－25(a＋b)2＝[4(a－b)＋5(a＋b)][4(a－b)－5(a＋b)]＝(4a－4b＋5a＋5b)(4a－4b－5a－5b)＝(9a＋b)(－a－9b)＝－(9a＋b)(a＋9b).(4)16(a－b)2－25(a＋b)2.分别看成一个整体知1－练1－1.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(

)A.a2＋b2 B.2a－b2C.a2－b2 D.－a2－b2C知1－练1－2.

[期末·重庆合川区]因式分解：4(m－n)2－(m＋n)2＝_______________.(3m－n)(m－3n)知1－练1－3.分解因式：(1)a2b2－16；(2)100x2－9y2；解：原式＝(ab＋4)(ab－4)；原式＝(10x＋3y)(10x－3y)；知1－练(3)a4－1；(4)49x2－(5x－2)2.解：原式＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)；原式＝[7x＋(5x－2)][7x－(5x－2)]＝(12x－2)(2x＋2)＝4(6x－1)(x＋1)．知2－讲知识点用完全平方公式分解因式21.完全平方式：形如a2±2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式.能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：首平方，尾平方，积的2倍在中央知2－讲完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的2倍，符号可以是“＋”，也可以是“－”.知2－讲2.完全平方公式两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.知2－讲3.

公式法分解因式如果把乘法公式的等号两边交换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用这些公式把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.包括用a2－b2＝(a＋b)(a－b)和a2±2ab＋b2＝(a±b)2

分解因式知2－讲4.因式分解的一般步骤(1)当多项式有公因式时，先提取公因式；当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；(2)当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；(3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了.知2－讲特别解读1.因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的完全平方公式逆用的形式.2.结果是和的平方还是差的平方由乘积项的符号确定，乘积项的符号可以是“＋”，也可以是“－”，而两个平方项的符号必须相同，否则就不是完全平方式，也就不能用完全平方公式进行因式分解.3.用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式.知2－练例2已知9a2＋ka＋16是一个完全平方式，则k的值是__________.解题秘方：根据平方项确定乘积项，进而确定字母的值.解：∵9a2＝(±3a)2，16＝±42，9a2＋ka＋16是一个完全平方式，∴ka＝±2×3a·4＝±24a.∴

k＝±24.有和的完全平方式和差的完全平方式两种形式±24知2－练2－1.若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式，则m＝________．－1或7知2－练

解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”和“b”，再运用完全平方公式分解因式.例3(1)x2－14x＋49；(2)－6ab－9a2－b2；知2－练解：x2－14x＋49＝x2－2·x·7＋72＝(x－7)2；－6ab－9a2－b2＝－(9a2＋6ab＋b2)＝－[(3a)2＋2·3a·b＋b2]＝－(3a＋b)2；(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81＝(x2＋6x)2＋2·(x2＋6x)·9＋92＝(x2＋6x＋9)2＝(x＋3)4.

知2－练完全平方公式可以连续使用，因式分解的结果要彻底.

知2－练

A知2－练3－2.多项式x2－4x＋4因式分解的结果是(

)A.x(x－4)＋4B.(x＋2)(x－2)C.(x＋2)2D.(x－2)2D知2－练3－3.分解因式：(1)4x2＋y2－4xy；(2)9－12a＋4a2；(3)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.解：原式＝4x2－4xy＋y2＝(2x－y)2；原式＝4a2－12a＋9＝(2a－3)2；原式＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2.知2－练分解因式：(1)－3a3b＋48ab3；(2)x4－8x2＋16；(3)25x2(a－b)＋36y2(b－a).解题秘方：先观察有没有公因式，若有，要先提取公因式，然后通过观察项数确定能用哪个公式分解因式.例4知2－练(1)－3a3b＋48ab3；(2)x4－8x2＋16；解：

－3a3b＋48ab3＝－3ab(a2－16b2)＝－3ab(a＋4b)(a－4b)；x4－8x2＋16＝[(x＋2)