人教版八年级数学 14.2 乘法公式（学习、上课课件）

14.2乘法公式第十四章整式的乘法与因式分解逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2平方差公式完全平方公式添括号知识点平方差公式知1－讲11.平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即：用字母表示为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.知1－讲2.平方差公式的推导(1)代数运算证明法：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2.知1－讲(2)几何图形证明法：图14.2－1①中阴影部分的面积为a2－b2，把它分割并拼接成图14.2－1②中的长方形，长为(a＋b)，宽为(a－b)，故阴影部分的面积为(a＋b)(a－b).故(a＋b)(a－b)＝a2－b2.知1－讲3.平方差公式的几种常见变化及应用变化形式应用举例位置变化(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2符号变化(－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b)2－a2＝b2－a2系数变化(3a＋2b)(3a－2b)

＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2指数变化(a3＋b2)(a3－b2)＝(a3)2－(b2)2＝a6－b4增项变化(a－b＋c)(a－b－c)＝(a－b)2－c2连用公式(a＋b)(a－b)(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4知1－讲特别解读公式的特征：1.等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.2.等号右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.3.理解字母a，b的意义，平方差公式中的a，b既可以代表一个单项式，也可以代表一个多项式.知1－讲易错警示平方差公式的右边是平方差，不是差的平方，不要把a2－b2与(ab)2混淆.特别提醒只要多项式的乘法符合公式的结构特征，就可以运用这一公式简化计算.知1－练例1

解题秘方：先确定公式中的“a”和“b”，然后根据平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2进行计算.知1－练解：(5m－3n)(5m＋3n)＝(5m)2－(3n)2＝25m2－9n2；(1)(5m－3n)(5m＋3n)；(2)(－2a2＋5b)(－2a2－5b)；(－2a2＋5b)(－2a2－5b)＝(－2a2)2－(5b)2＝4a4－25b2；知1－练

(－3y－4x)(3y－4x)＝(－4x－3y)(－4x＋3y)＝(－4x)2－(3y)2＝16x2－9y2.知1－练1－1.下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是()A.(a－1)(1－a)B.(－a＋2)(－a－2)C.(a＋2)(2＋a)D.(a－b)(－a＋b)B知1－练1－2.若a＋b＝2，a－b＝1，则a2－b2＝______.2知1－练

原式＝(2m)2－(3n)2＝4m2－9n2；原式＝(－2y)2－x2＝4y2－x2；知1－练(4)(3x＋2)(3x－2)(9x2＋4)；(5)(x＋5)(x－5)＋(x－3)(－3－x)．解：原式＝(9x2－4)(9x2＋4)＝81x4－16；原式＝x2－25＋9－x2＝－16.知1－练计算：(1)10.3×9.7；(2)2022×2024－20232.解题秘方：找出平方差公式的模型，利用平方差公式进行计算.例2知1－练(1)10.3×9.7；(2)2022×2024－20232.解：10.3×9.7＝(10＋0.3)×(10－0.3)＝102－0.32＝100－0.09＝99.91；10.3与9.7的平均数为10.2022×2024－20232＝(2023－1)×(2023＋1)－20232＝20232－12－20232＝－1.2022与2024的平均数为2023.知1－练2－1.运用平方差公式进行简便计算：(1)9.8×10.2；(2)1007×993；解：原式＝(10－0.2)×(10＋0.2)＝102－0.22＝100－0.04＝99.96；原式＝(1000＋7)×(1000－7)＝10002－72＝1000000－49＝999951；知1－练(3)129×127－1282.解：原式＝(128＋1)×(128－1)－1282＝1282－12－1282＝－1.知2－讲知识点完全平方公式21.

完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.即：用字母表示为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.知2－讲特别提醒(a＋b)2

≠a2＋b2；(a－b)2

≠a2－b2.产生这种错误的原因是类比了(ab)2＝a2b2.知2－讲2.完全平方公式的推导：(1)代数运算证明法(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2

.知2－讲(2)几何图形证明法(数形结合思想)图14.2－2①：大正方形的面积为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab；图14.2－2②：左下角正方形的面积为(a－b)2＝a2－2ab＋b2.知2－讲3.完全平方公式的几种常见变形(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；(3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；(5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；知2－讲

知2－讲特别解读★弄清公式的特征：公式的左边是一个二项式的完全平方，公式的右边是一个三项式，其中两项分别是左边二项式的各项的平方，另一项是二项式各项的乘积的2倍.知2－讲★理解字母a，b的意义：公式中的字母a，b可以表示具体的数，也可以表示含字母的单项式或多项式.★口诀记忆：首平方，尾平方，二倍乘积在中央，中央符号看前方.知2－练计算：(1)(x＋7y)2；(2)(－4a＋5b)2；(3)(－2m－n)2；(4)(2x＋3y)(－2x－3y).解题秘方：确定公式中的“a”和“b”，利用完全平方公式进行计算.例3知2－练(1)(x＋7y)2；(2)(－4a＋5b)2；解：(x＋7y)2＝x2＋2·x·(7y)＋(7y)2＝x2＋14xy＋49y2；括号不能漏掉.(－4a＋5b)2＝(5b－4a)2＝(5b)2－2·(5b)·(4a)＋(4a)2＝25b2－40ab＋16a2；不能漏掉“2ab”项且符号与完全平方中的符号一致.知2－练(3)(－2m－n)2；(4)(2x＋3y)(－2x－3y).解：(－2m－n)2＝(2m＋n)2＝(2m)2＋2·(2m)·n＋n2＝4m2＋4mn＋n2；(2x＋3y)(－2x－3y)＝－(2x＋3y)2＝－［(2x)2＋2·(2x)·(3y)＋(3y)2］＝－(4x2＋12xy＋9y2)＝－4x2－12xy－9y2.两个二项式相乘，若有一项相同，另一项相反，则用平方差公式计算；若两项都相同或都相反，则用完全平方公式计算.知2－练方法总结：求二项式的平方时，当所给二项式中两项的符号相同时，一般选用“和”的完全平方；当二项式中两项的符号相反时，一般选用“差”的完全平方.知2－练3－1.[期中·唐山路北区]下列多项式乘法中能用完全平方公式计算的是()A.(m－n)(－m－n)B.(m＋n)(－m＋n)C.(m－n)(－m＋n)D.(m＋2)(m－1)C知2－练

C知2－练3－3.计算：(1)(2y－1)2；(2)(3a＋2b)2；(3)(－x＋2y)2；(4)(－2xy－1)2.解：原式＝4y2－4y＋1；原式＝9a2＋12ab＋4b2；原式＝x2－4xy＋4y2；原式＝4x2y2＋4xy＋1.知2－练

解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再利用完全平方公式展开计算即可.例4知2－练

解：9992＝(1000－1)2＝10002－2×1000×1＋12＝1000000－2000＋1＝998001；

知2－练

解：原式＝(100＋2)2＝10000＋400＋4＝10404；原式＝(100－0.2)2＝10000－40＋0.04＝9960.04；知3－讲知识点添括号31.添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.即：用字母表示为a＋b＋c＝a＋(b＋c)＝a－(－b－c)；a－b－c＝a－(b＋c)＝a＋(－b－c).知3－讲2.

添括号法则的应用：添括号在利用乘法公式计算中应用广泛，先利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，再运用乘法公式计算.知3－讲特别解读1.添括号只是一个变形，不改变式子的值.2.添括号时，如果括号前面是负号，括号里的各项都要改变符号，而不是只改变括号里第一项的符号.3.添括号是否正确，可利用去括号检验.知3－练例5计算：(1)(2x－y＋4)(2x＋y－4)；(2)(m－2n＋1)(－2n－1＋m)；(3)(2a＋3b－1)(1－2a－3b)；(4)(3a－b＋c)2.解题秘方：先通过添括号把式子转化为符合平方差公式或完全平方公式的形式，再利用乘法公式进行计算.知3－练(1)(2x－y＋4)(2x＋y－4)；(2)(m－2n＋1)(－2n－1＋m)；解：(2x－y＋4)(2x＋y－4)＝[2x－(y－4)][2x＋(y－4)]＝(2x)2－(y－4)2＝4x2－y2＋8y－16；(m－2n＋1)(－2n－1＋m)＝[(m－2n)＋1][(m－2n)－1]＝(m－2n)2－12＝m2－4mn＋4n2－1；应用加法的交换律和结合律(3)(2a＋3b－1)(1－2a－3b)；知3－练解：(2a＋3b－1)(1－2a－3b)＝(2a＋3b－1)[－(2a＋3b－1)]＝－[(2a＋3b)－1]2＝－[(2a＋3b)2－2(2a＋3b)＋12]＝－(4a2＋12ab＋9b2－