人教版八年级数学 13.3等腰三角形（学习、上课课件）

13．3等腰三角形第十三章轴对称13．3.1等腰三角形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2等腰三角形的定义等腰三角形的性质等腰三角形的判定1.定义：有两边相等的三角形是等腰三角形.几何语言：如图13.3-1，在△

ABC中，∵AB=AC，∴△ABC

为等腰三角形.2.等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角，但底角只能是锐角.根据顶角的大小，等腰三角形可分为等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形.知识点等腰三角形的定义1知1－讲特别解读确定等腰三角形的两条腰时，应找三角形中相等的两边，腰与三角形本身的位置无关.知1－讲若某个等腰三角形的两边长分别为4和6，求这个等腰三角形的周长.例1解题秘方：根据等腰三角形的定义确定腰和底边的长，再利用三角形三边关系进行判断并计算.特别提醒：等腰三角形的边分腰和底边，若没有说明，则必须分类讨论，同时还要注意三角形的三边关系.知1－练解：∵等腰三角形的底边长和腰长不确定，∴需分情况讨论.第一种情况：当4为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为4，4，6，∵4＋4>6，满足三角形的三边关系，∴周长=4＋4＋6=14；第二种情况：当6为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为4，6，6，∵4＋6>6，满足三角形的三边关系，∴周长=6+6+4=16.综上可知，这个等腰三角形的周长为14或16.知1－练1-1.[中考·河北]四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△

ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为()A.2 B.3C.4 D.5B知1－练1-2.[期末·广州南沙区]若等腰三角形的周长是28cm，一条边长为6cm，则它的腰长为______

cm.11知1－练1.性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).几何语言：如图13.3-2，在△

ABC中，∵AB=AC，∴∠B

＝∠C.必定是锐角特别提醒1.适用条件：必须在同一个三角形中.2.作用：是证明角相等的常用方法，应用它证角相等时可省去三角形全等的证明，因而更简便.知识点等腰三角形的性质2知2－讲2.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).特别解读(1)必须是等腰三角形；(2)必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合.2.作用：是证明线段相等、角相等、线段垂直等关系的重要方法.3.知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”.知2－讲几何语言：如图13.3-3，在△ABC

中，(1)∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD

平分∠BAC(或BD=CD)；(2)∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC(或AD

平分∠

BAC)；(3)∵AB=AC，AD

平分∠BAC，∴BD=DC(或AD⊥BC)．知2－讲3.对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或底边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴．拓展延伸：等腰三角形的其他性质(1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等；(2)等腰三角形两底角的平分线相等；(3)等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等；知2－讲(4)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；(5)当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°.知2－讲如图13.3-4，在△ABC

中，AB=AC，AD

平分∠BAC.(1)求∠

ADB的度数；例2解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.由角平分线得到高线解题秘方：紧扣等腰三角形的性质进行解答.知2－练(2)若∠BAC=100°，求∠B，∠C

的度数；

等边对等角知2－练(3)若BC=3cm，求BD

的长.

由角平分线得到中线知2－练2-1.如图，在△ABC

中，AB=AC，AD，CE

分别是△ABC的中线和角平分线，相交于点O.知2－练(1)若△ABC

的面积是20，且BC=4，求AD

的长；知2－练(2)若∠B=70°，求∠AOC

的度数.知2－练[中考·北京]如图13.3-5，在△

ABC中，AB=AC，AD

是BC

边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD．例3解题秘方：根据三角形三线合一的性质和同角的余角相等解决问题.知2－练证明：∵AB=AC，AD

是BC

边上的中线，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD.又∵BE⊥AC，∴∠BEC=∠ADC=90°.∴∠CBE=90°－∠C，∠CAD=90°－∠C.∴∠CBE=∠CAD.∴∠CBE=∠BAD．知2－练3-1.[中考·宿迁]如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．知2－练证明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD.∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD，∴∠ABC＝∠CBD＋∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D.∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D.又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.知2－练[母题中考·衡阳教材P82习题T6]如图13.3-6，在△ABC中，AB=AC，D，E

是BC

边上的点，且BD=CE．求证：AD=AE．例4解题秘方：解题秘方：利用等腰三角形的边角性质为证明△

ABD和△ACE

全等创造条件，或者作出底边BC上的高，利用等腰三角形的三线合一性质证明其垂直平分DE.知2－练证法一：∵AB=AC，∴∠B=∠C.在△ABD

和△

ACE中，∴△ABD≌△ACE(SAS).∴AD=AE．证法二：如图13.3-6，过点A

作AF⊥BC于点F.∵AB=AC，∴BF=CF.∵BD=CE，∴DF=EF.易知AF垂直平分DE，∴AD=AE．AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，知2－练4-1.[中考·黄石]如图，在△ABC

中，∠BAC=90°，E

为边BC上的点，且AB=AE，D

为线段BE

的中点，过点E作EF⊥AE，过点A

作AF∥BC，且AF，EF相交于点F.求证：知2－练(1)∠C=∠BAD；证明：∵AB＝AE，∴△ABE是等腰三角形．又∵

D为线段BE的中点，∴AD⊥BC.∴∠C＋∠DAC＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∴∠C＝∠BAD.知2－练(2)AC=EF.证明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠AEB.∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB.∴∠EAF＝∠ABC.又∵∠BAC＝∠AEF＝90°，AB＝AE，∴△BAC≌△AEF(ASA)．∴AC＝EF.知2－练如图13.3-7，在△ABC

中，AB=AC，点D，E

分别在AC，AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A

的度数.例5知2－练思路引导：知2－练方法点拨：当已知条件中没有已知度数的角而又要求角的度数时，一般采用方程思想来解决问题.设出要求的角的度数，然后根据等腰三角形的性质以及三角形外角与内角之间的关系，用含未知数的式子表示出一个三角形的三个内角的度数，再利用三角形的内角和等于180°列出方程，求出未知数的值即可.知2－练

知2－练5-1.[新考向知识情境化中考·衢州]“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．知2－练这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O

点相连并可绕O点转动，C

点固定OC=CD=DE，点D，E

可在槽中滑动.若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是()A.60°B.65°C.75°D.80°D知2－练1.判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).几何语言：如图13.3-8，在△ABC

中，∵∠B=∠C，∴AB=AC.知识点等腰三角形的判定3知3－讲2.等腰三角形的性质与判定的异同相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”.不同点：等腰三角形的性质：两边相等→这两边所对的角相等.等腰三角形的判定：两角相等→这两角所对的边相等.知3－讲特别提醒1.等腰三角形的定义也是一种判定方法.2.“等角对等边”是我们以后证明两条线段相等的常用方法，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角的关系得到角相等，从而得到所对的边相等.知3－讲3.已知底边及底边上的高作等腰三角形已知：一个等腰三角形底边长为a，底边上的高为h(如图13.3-9).求作：这个等腰三角形.知3－讲作法：如图13.3-10所示.(1)作线段AB=a；(2)作线段AB

的垂直平分线MN，交AB

于点D；(3)在MN

上取一点C，使DC=h；(4)连接AC，BC，则△

ABC就是求作的等腰三角形．知3－讲特别解读解决复杂作图题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.知3－讲如图13.3-11，在△ABC

中，D

为AC

的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△

ABC是等腰三角形．解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需证明三角形两个内角相等即可.例6知3－练证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，∴∠AED=∠CFD=90°.∵D为AC

的中点，∴AD=DC.在Rt△ADE

和Rt△CDF中，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴∠A=∠C.∴BA=BC，即△ABC

是等腰三角形．AD=DC，DE=DF，知3－练6-1.[期末·西安雁塔区]如图，在△ABC

中，∠

ACB=90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD

交CE

于点M．求证：△

CDM是等腰三角形.知3－练证明：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠CBD＋∠CDB＝90°，∠ABD＋∠BME＝90°.∴∠CDB＝∠BME.∵∠BME＝∠CMD，∴∠CDB＝∠CMD.∴CM＝CD，即△CDM是等腰三角形．知3－练尺规作图：已知线段a(如图13.3-12)，画一个底边长为a，底边上的高的长也为a的等腰三角形.例7知3－练解：(1)作线段BC=a；(2)作线段BC

的垂直平分线MN，与BC

相交于点D；(3)在MN

上取一点A，使DA=a；(4)连接AB，AC，则△ABC

就是所求作的等腰三角形.如图13.3-13所示.知3－练7-1.如图，已知线段a，求作以a

为底，以2a为高的等腰三角形(要求：尺规作图，保留作图痕迹).知3－练解：如图，△ABC即为所求作的三角形．知3－练等腰三角形等腰三角形两边相等性质等边对等角三线合一判定等角对等边互逆13．3等腰三角形第十三章轴对称13.3.2等边三角形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2等边三角形的定义及性质等边三角形的判定含30°角的直角三角形的性质1.

定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形.知识点等边三角形的定义及性质1知1－讲2.性质(1)等边三角形的三条边都相等；(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；(3)等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边的垂直平分线；(4)各边上的高、中线、对角的角平分线重合，且长度相等.知1－讲特别解读等边三角形是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形的所有性质：1.任意两边都可以作为腰；2.任意一个角都可以作为顶角；3.任意一边上的“三线合一”.知1－讲如图13.3-25，△ABC

是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC

上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF

各个内角的度数.例1解题秘方：紧扣等边三角形的三个内角都等于60°，求角的度数.知1－练解：∵△ABC

是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，∴∠AED=∠EFC=∠FDB=90°.∴∠ADE=90°－∠A=90°－60°=30°.∴∠EDF=180°－30°－90°=60°.同理可得∠

DEF=∠EFD=60°，∴△DEF

各个内角的度数都是60°知1－练1-1.如图，△

ABC是等边三角形，两个锐角都是45°的三角尺的一条直角边在BC上，则∠1的度数为_______

.75°知1－练如图13.3-26，等边三角形ABC

的边长为3，D是AC的中点，点E

在BC

的延长线上，若DE=DB，求CE

的长.例2解题秘方：利用等边三角形“三线合一”的性质将未知线段向已知线段转化.知1－练

知1－练2-1.如图，△

ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE=AD，则∠ADE=_______.2-2.如图，△ABC是等边三角形，BD

平分∠ABC，点E

在BC

的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC=________.75°2知1－练[母题教材P83习题T12]如图13.3-27，△ABC

和△ADE

是等边三角形．求证：BD=CE．例3解题秘方：利用等边三角形中边相等、角相等证明△BAD≌△CAE.知1－练证明：∵△ABC

和△ADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△BAD

与△CAE

中，∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴BD=CE．AB=AC，∠BAD=∠CAEAD=AE，知1－练3-1.如图，△ABC

为等边三角形，D为边BA

延长线上一点，连接CD，以CD

为边作等边三角形CDE，连接AE，判断AE

与BC的位置关系，并说明理由.知1－练解：AE∥BC.理由如下：∵△ABC与△CDE都为等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°.∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.∴△BCD≌△ACE(SAS)．∴∠B＝∠EAC.∴∠EAC＝∠ACB.∴AE∥BC.知1－练1.判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形.几何语言：如图13.3-28，在△ABC

中，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC

是等边三角形.知识点等边三角形的判定2知2－讲2.判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.几何语言：如图13.3-28，在△ABC

中，∵AB=AC，∠A=60°或∠B=60°或∠C=60°，∴△ABC

是等边三角形.知2－讲3.证明等边三角形的思维导图(如图13.3-29)知2－讲特别解读1.在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，判定定理2都成立.2.等边三角形的判定方法：(1)若已知三边关系，一般选用定义判定；(2)若已知三角关系，一般选用判定定理1判定；(3)若已知该三角形是等腰三角形，一般选用判定定理2判定.知2－讲[母题教材P83习题T14]如图13.3-30，在△ABC

中，AB=AC，∠BAC=120°，点D，E

在BC

上，AD⊥AC，AE⊥AB．求证：△AED

为等边三角形．例4解题秘方：利用等边三角形的判定定理1，通过求∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，得△AED

为等边三角形.知2－练

知2－练4-1.如图，四边形ABCD

中，AB∥DC，DB

平分∠ADC，∠A=60°．求证：△ABD

是等边三角形.知2－练知2－练如图13.3-31，在△ABC

中，∠A=120°，AB=AC，D

是BC

的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足.求证：△

DEF是等边三角形．例5知2－练解题秘方：要证△DEF

是等边三角形，关键是得到DE=DF，且∠EDF=60°，利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得出.知2－练证明：∵∠A=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.∴易得∠BDE=∠CDF=60°.∴∠EDF=180°－∠BDE－∠CDF=60°.知2－练∵D是BC

的中点，∴BD=CD.在△BDE

和△CDF

中，∴△BDE≌△CDF(ASA).∴DE=DF.∴△DEF是等边三角形.∠B=∠C，BD=CD，∠BDE=∠CDF，知2－练方法总结：知2－练5-1.如图，点D

在线段BC

上，∠B=∠C=∠ADE=60

°，AB=DC.求证：△ADE

为等边三角形．知2－练知2－练5-2.如图,在等边三角形ABC

中，点P在△ABC

内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△

APQ是什么形状的三角形？试说明你的理由．知2－练知2－练

知识点含30°角的直角三角形的性质3知3－讲2.作用：应用于证线段的倍分关系和计算角度.拓展：该性质反过来说也成立.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°.知3－讲特别解读应用此性质，必须满足两个条件：1.在直角三角形中；2.有一个锐角为30°.二者缺一不可.知3－讲如图13.3-33，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB

边的垂直平分线MN

交AB

于点M，交BC

于点N，且∠B=15°，AC=4cm，求BN