人教版八年级数学 11.3多边形及其内角和（学习、上课课件）

11.3多边形及其内角和第十一章三角形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2多边形及其相关概念多边形的内角和多边形的外角和1.多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.如果一个多边形由n

条线段组成，那么这个多边形就叫做n

边形.知识点多边形及其相关概念1知1－讲2.多边形的相关概念概念定义图形边组成多边形的各条线段顶点相邻两条边的公共端点内角多边形相邻两边组成的角外角多边形的边与它的邻边的延长线组成的角对角线连接多边形不相邻的两个顶点的线段知1－讲3.凸多边形与凹多边形(本节只讨论凸多边形)画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如图11.3-1①所示；否则就是凹多边形，如图11.3-1②所示.知1－讲4.正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.例如正三角形、正方形等(如图11.3-2).知1－讲特别解读多边形的三个必要条件：1.线段在“同一平面内”；2.线段“不在同一直线上”且条数不少于3；3.首尾顺次相接.正多边形必备的两个条件：1.各个角都相等；2.各条边都相等.说明:若一个多边形的各个角都相等或各条边都相等，则它不一定是正多边形.知1－讲特别提醒1.三角形是最简单的多边形.2.多边形用表示它的各个顶点的字母表示时，字母必须按顺时针或逆时针的方向排列.知1－讲下列说法中，正确的有()①三角形是边数最少的多边形；②等边三角形和长方形都是正多边形；③n边形有n条边、n

个顶点、n个内角和n

个外角；④六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条.A.1个B.2个C.3个D.4个例1知1－练解题秘方：利用多边形的有关概念进行辨析.解：①三角形是边数最少的多边形，正确；②等边三角形是正多边形，但长方形不是正多边形，错误；③n

边形有n

条边、n

个顶点、n

个内角和2n

个外角，错误；④根据对角线的定义画出六边形的对角线可知，从一个顶点出发可以画3条对角线，所有的对角线共有9条，正确.答案：B知1－练

知1－练1-1.下列说法错误的是()A．五边形有5条边，5个内角，5个顶点B．四边形有2条对角线C.连接对角线，可以把多边形分成三角形D.六边形的六个角都相等D知1－练1-2.从一个多边形的一个顶点可引2024条对角线，则这个多边形的边数是()A.2024B.2025C.2026D.2027D知1－练1.定理：n

边形内角和等于(n

－2)×180°(n≥3).知识点多边形的内角和2知2－讲2.公式的证明证明方法图形证法1从n

边形的一个顶点出发可以作(n－3)条对角线，将这个n

边形分成(n－2)个三角形，这(n－2)个三角形的内角和恰好是这个n

边形的内角和，为(n－2)×180°知2－讲证明方法图形证法2在n

边形内任取一点，并把这点与n

边形的各个顶点连接起来，共构成n个三角形，这n

个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角，即可得到n

边形的内角和为(n－2)×180°知2－讲证明方法图形证法3在n边形的一边上任取一点，并把这点与n

边形的各个顶点连接起来，共构成(n－1)个三角形，这(n－1)个三角形的内角和为(n－1)×180°，再减去这点处的一个平角，即可得到n边形的内角和为(n－2)×180°知2－讲证明方法图形证法3在n

边形外任取一点O，并把这点与n边形的各个顶点连接起来，得到以n

边形的边为一边，顶点为O的三角形有n个，这n

个三角形的内角和为n×180°，再减去两个三角形的内角和，即可得到n边形的内角和为(n－2)×180°知2－讲特别解读1.由n边形的内角和公式(n－2)×180°可知n边形的内角和一定是180°的整数倍.2.多边形的内角和随边数的变化而变化，边数每增加1，内角和就增加180°.3.多边形内角和问题常通过添加辅助线将其转化为三角形的内角和问题.知2－讲

知2－讲如图11.3-3，正五边形ABCDE中，对角线AC与边DE

平行，求∠BCA

的度数例2解题秘方：紧扣多边形的内角和公式及平行线的性质求出相关角的度数.知2－练

知2－练2-1.如图，已知六边形ABCDEF

的每个内角都相等，连接AD．若∠1=48°，求∠2的度数．知2－练知2－练根据下列条件求多边形的边数：(1)多边形的内角和是1620°；(2)正多边形的每个内角均为135例3解题秘方：根据多边形内角和公式列出方程求解.知2－练解：设多边形的边数为n，根据题意得：(1)(n－2)×180°=1620°，解得n=11.故多边形的边数为11.(2)(n－2)·180°=135°·n，解得n=8.故正多边形的边数为8.知2－练教你一招：1.已知多边形的内角和求边数n

的方法根据多边形内角和公式列方程：(n－2)×180°=内角和，解方程求出n，即得多边形的边数.2.已知正多边形每个内角的度数k

求边数n

的方法根据多边形内角和公式列方程：(n－2)×180°=kn，解方程求出n，即得正多边形的边数.知2－练3-1.已知n

边形的内角和θ=(n－2)×180°.(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，请说明理由.知2－练解：甲的说法对，乙的说法不对．∵n边形的内角和为180°的正整数倍，360°÷180°＝2，630°÷180°＝3.5，∴甲的说法对，乙的说法不对．∵360°÷180°＋2＝2＋2＝4，∴甲同学说的边数n是4.知2－练(2)若n

边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法求出x的值.解：依题意有(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，解得x＝2.知2－练1.定理：多边形的外角和等于360°.多边形的外角和是由多边形内、外角的关系推导出的，n边形的外角和等于n×180°－(n－2)×180°=360°.知识点多边形的外角和3知3－讲

知3－讲特别解读1.多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和.2.多边形的外角和恒等于360°，与边数无关.知3－讲根据下列条件解决问题：(1)一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为72°，求该多边形的边数；(2)已知一个正多边形的每一个外角都等于30°，求这个正多边形的边数.解题秘方：根据多边形的外角和定理计算.例4知3－练(1)一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为72°，求该多边形的边数；解：设该多边形的边数为n.根据多边形的外角和为360°，得n×72°=360°，解得n=5．∴该多边形的边数为5.知3－练(2)已知一个正多边形的每一个外角都等于30°，求这个正多边形的边数.解：∵多边形的外角和为360°，∴360°÷30°=12.∴这个正多边形的边数为12.知3－练4-1.如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA

组成的平面图形，若∠1＋∠3＋∠5=150°，则∠2＋∠4＋∠6=_______.210°知3－练如果一个多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个多边形的边数是()A.8B.9C.10D.11例5解题秘方：已知多边形的内角和与外角和的关系时，可以利用多边形内角和公式与多边形的外角和等于36