2025版高考数学一轮总复习：函数的图象

第九节函数的图象

■课.程标准

1.在实除情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数.

2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题.

口——必备知识系统梳理基础重落实-T课前自修

LI_____知___识____•_逐____点___夯____实_________________________________________________________________________

知识梳理

1.利用描点法作函数图象的步骤

2.函数图象的变换

y寸（无）的图象向右产/〃）的图象向左/若口

平移a（a>0外单平移a（a>0）%单盘“土加

位得蓟用溟。）的、位得到亘逊的/右减，上

图象\图象4

/--、平移变换，'/

y=/（x）的图象向上平\y=f（z）的图象向下平

移幺丝出个单位得移幺妃更个单位得

到y=/（x）+/>的图象；到「=/,（<）-/）的图象

y=/（支）的图象上所有y=/（£）的图象上所有

点的横坐标缩短为原点的横坐标伸长为原

来的圭（3>1）得到y='''\来的圭（0<3<1）倍

/（36的图象；，!得到为'（3"）的图象；

/---伸缩变换-----K

y=/（x）的图象上所有\>=/（#）的图象上所有

点的纵坐标伸长为原点的纵坐标缩短为原

来的&A>1）倍得到来的电0<A<1）倍得

y=4京）的图象；到y—f（工）的图象

y=/（%）与尸-/（%）<y=f（x'）^y=f（-x）

的图象关于"轴-"A的图象关于y轴

对称；一对砂变换对称；

>=/（%）与）=于（-%）的图象关于思息对称

y=|/（x）|的图象:可>=/（区|）的图象：可

炳y=/（彳）的图象在*-"、、先作出产/■）在y轴

x轴下方的部分关于翻折变换及其右边的图象，再

，轴翻折，其余部分、…》作?轴右边的图象关

不变；于y轴对称的图象

对点自测

1.判断正误.（正确的画3”，错误的画“x”）

（1）函数y=/（x）+1的图象可由y=〃无）的图象向下平移1个单位长度得到.（X）

（2）函数y=/（x）与尸-/（无）的图象关于原点对称.（X）

（3）将函数y=/（-无）的图象向右平移1个单位长度得到函数y=/（7-1）的图象.（X）

2.函数y=2「'的大致图象为（）

解析：Ay=2r-x=(|)x-\故函数为减函数，可排除C、D,又当x=0时，y=2,排除B,故选A.

3.将函数y=log2(2x+2)的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则

g(x)=I03.

解析：将函数y=k»g2(2r+2)的图象向下平移1个单位长度，可得函数y=log2(2x+2)-1的图象，再向右平

移1个单位长度，可得函数y=log2[2(x-1)+2]-l=log2(2x)-1的图象，所以g(x)=log2(2尤)-

l=10g2X.

4.若关于x的方程I尤I=a-x只有一个解，则实数r的取值范围是(0,+8).

2%.>o

'-'其图象如图所示，故要使〃=IXI+x只有一个

0z%<0,

解，则a>0.1

常用结论

L函数图象自身的轴对称

函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称可(a+x)=/(a-无)可(无)=于(2a-x)弓(-x)=/(2a+x).

2.函数图象自身的中心对称

3)/(-x)=-/(x)爸数y=/(x)的图象关于原点对称；

(2)函数y=/(x)的图象关于点(a,0)对称弓(a+x)=-/(a-x)三(x)=-/(2a-x)寸(-尤)=-f

(2a+x)；

(3)函数y=/(x)的图象关于点(a,b)成中心对称令(a+x)=2b-f(a-x)弓(x)=2b-f(2a-x).

3.两个函数图象之间的对称关系

(1)函数a+x)与y=/(6-x)的图象关于直线x=?对称(由a+x=b-x得对称轴方程)；

(2)函数y=/(x)与(2a-x)的图象关于直线x=a对称；

(3)函数y=/(x)与y=2b-/(-x)的图象关于点(0,/，)对称.

E应用

1.下列说法正确的是()

A.若函数x)满足〃1+x)=/(17),则函数x)的图象关于直线x=l对称

B.若函数y=/(x)满足〃x+1)=〃尤-1)，则函数y=〃无)的图象关于直线x=l对称

C.当xe(0,+8)时，函数y=/(|尤1)的图象与尸"(尤)I的图象相同

D.函数y=/(1-x)的图象可由)，=/(-无)的图象向左平移1个单位长度得到

解析：A由结论1知A正确，B错误；令/(x)=-x,则当xG(0,+°°)时，/(|xl)=f(x)=-x,If

(x)I=x,/(IxI)#I/(x)I,故C错误；y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到y=/(-x-1)

的图象，故D错误.

2.若对于函数y=〃x)定义域内的任意x都有/(2+x)+〃2-x)=6,则y=/(x)的图象关于点(2,3)

对称.

解析：由结论2知，a=2,b=3,图象关于点(2,3)成中心对称.

3.函数y=f(-2-x)与x+2)的图象关于直线x=-2对称.

解析：由结论3知-2-x=x+2,则工=-2,所以函数y=/(-2-x)与y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对

称.

口-------精选考点典例研析技法重悟通---------课堂演练

1_____考___点____•_分____类___突____破_______________________________________________________________1__________

作函数图象

考点一

(师生共研过关)

【例1]作出下列函数的图象：

(1)y=2'+i-1；

(2)y=I1g(x-1)I.

解：(1)将y=2,的图象向左平移1个单位长度，得到y=2-i的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得

到y=2x+i-1的图象，如图①所示.

(2)首先作出y=lgx的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y=lg(x-1)的图象，再把所得图象在x

轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y=|lg(x-1)I的图象，如图②所示(实线部分).

解题技法

作函数图象的两种常用方法

(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，可根据这些函数的特征直接作出；

(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出.

提醒(1)画函数的图象时一定要注意定义域；

(2)利用图象变换法时要注意变换顺序.

0训练

作出下列函数的图象：

(2)y=21x1.

解：(l)y=竺二=2+工，故函数的图象可由y=工的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得

X-1X-1x

到，如图①所示.

(2)的图象是由y=2工在y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的，如图②所示.

函数图象的识别

考点二

(师生共研过关)

【例2】(1)(2022.全国甲卷5题)函数尸(3，-3-x)cosx在区间卜一日的图象大致为()

,、,、ax+b

(2)函数/(x)=•---------2的图象如图所示，则下列结论成立的是()

(X+C)

A.a>Q,b>0,c>0B.a<Q,b>Q,c<0

C.a<0,b>0,c>0D.a<0,Z?<0,c<0

答案：(1)A(2)B

解析：(1)法一(特值法)取x=l,则y=(3-0Icosl=|cos1>0；取x=-l,贝1>=@-3)Icos(1)=_

|cos1<0.结合选项知选A.

法二令y=f(x),贝I/(-无)=(33Dcos(-x)(3X-3-x)cosx=-f(%),所以函数y二(3X-3

-x)-cosx是奇函数，排除B、D；取x1,贝!Jy=(3-0cos1=|cos1>0,排除C.故选A.

(2)函数在点尸处无意义，由题图可知，点尸在y轴右边，所以-c>0,则c<0；/(0)=^>0,则>0；由/

(%)=0得czx+b=0,贝Ix=-2,根据题图得，-2>0,贝Ua<0.综上，a<0,b>0,c<0.故选B.

aa

G变式

(变条件)若本例(1)中的函数变为尸(2工-2-工)sinx,则其在区间［-兀,兀］的图象大致为()

解析：A记/(x)=(2X-2'x)sinx,(2-x-2r)sinxJ2-%)

sinx=f(x),则函数/(x)=(2*-2-x)sinx为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、C；又/'(兀)=0,排

除D,故选A.

解题技法

函数图象的辨识可从以下方面入手

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；

(2)从函数的值域，判断图象的上下位置；

(3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复；

(6)从函数的特殊点，排除不合要求的图象.

G训练

1.已知函数/(x)=xlnx的图象如图所示，贝!J函数〃1-X)的图象为()

解析：D易知函数了(无)的定义域为(0,+°°).由1-尤>0,得x<l,所以函数/(1-x)的定义域为(-8,

1),故排除A、C；又当尤=-1时，/(1-(-1))=/(2)=21n2>0,故排除B.故选D.

2.(2024.沈阳一模)如图是函数H(x)图象的一部分，设函数“X)=cosx,g(无)=IxI+1,则H(x)可以

表示为()

AJ(无)+g(x)

/(X)

C/(龙)-g(x)

g(%)

解析：D因为/(0)=g(0)=1,H(0)=1,所以H(x)不可能表示为/(x)+g(无)或/(x)-g(无)，

故排除选项A、B；因为/(2兀)g(2n)=2TT+1>1,所以排除选项C.故选D.

函数图象的应用

考点三

(定向精析突破)

考向7研究函数的性质

【例3】(多选)设函数是定义在R上的偶函数，且对任意的xGR恒有〃尤+1)=/(x-1)，已知当

xe[O,1]时J(x)=6)则下列结论正确的是()

A.2是函数的周期

B.函数/(无)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增

C.函数/(x)的最大值是1,最小值是0

D.当xG(3,4)时，〃x)=0*3

解析：ABD由已知条件得了(x+2)=/(无)，则/(X)是以2为周期的周期函数，A正确；画出函数y=/(尤)

的部分图象如图所示.由图象知B正确，C不正确；当3<x<4时,-l<x-4<0,f(x)=f(x-4)

因此D正确.故选A、B、D.

yi

-1O12345彳

解题技法

利用函数的图象研究函数的性质

对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究:

(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；

(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；

(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.

考向2探究不等式问题

【例4】设函数y=/（尤+1）是定义在（-8,o）u（0,+8）上的偶函数，在区间（-8,0）上单调递

减，且图象过点（1,0）,则不等式（x-1）〃x）W0的解集为》|后0或1<忘不.

久>1%V1

解析：画出f（X）的大致图象如图所示.不等式（X-1）/（x）W0,可化为<'或<'由图可知符

/（^）<0[/（X）>0.

合条件的解集为{xIxWO或1<xW2}.

解题技法

利用函数图象研究不等式问题的方法

当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象（图象易得）的

上、下关系问题，利用图象法求解.若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解.

考向3求参数的范围

【例5】若关于x的不等式4Qi<3x-4（a>0,且21）对于任意的x>2恒成立，则。的取值范围为」

解析：不等式4/-1<3x-4等价于〃-1<%-1.令/（冗）=ax'ig（x）=-x-1,当〃>1时，在同一坐标系中作

4"904

出两个函数的图象如图①所示，由图知不满足条件；当0<。<1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图②

所示，由题意知，/（2）Wg（2）,即a2Jw：X2-1,解得aW；,所以。的取值范围是（0,.

422

图①图②

解题技法

利用函数图象解决参数的取值范围问题时，一般先准确地作出函数图象，再利用函数图象的直观性，结合其

性质，求解参数的取值范围.

0训练

1.（多选）关于函数/（X）=工，下列结论正确的是（）

X-1

A.7（无）的图象过原点

B“尤）是奇函数

C”无）在区间（1,+8）上单调递减

D/（x）是定义域上的增函数

解析：AC/（x）=—,将>=工的图象向右平移1个单位长度，然后再向上平移1个单位长

X-1X-1X-1x

度，即可得到/（x）的图象，如图所示.由图可得A、C正确，故选A、C.

X-1

2.若函数/（x）="-尤-°（（1>0,且“#1）有两个零点，贝!J实数a的取值范围是（1,+8）

解析：函数/(x)的零点的个数就是函数(4>0,且〃W1)与函数y=x+”的图象的交点的个数，如图，当

时，两函数图象有两个交点；当0<〃<1时，两函数图象有一个交点.故〃>1.

L课时•跟踪检测口——关键能力分层施练素养重提升--T课后练习

I____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

A级•基础达标

1.下列函数中，其图象与函数/(x)=lnx的图象关于直线x=l对称的是()

A.y=ln(1-x)B.y=ln(2-x)

C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)

解析：B法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=l的对称点的坐标为(2-x,

y),由对称性知点(2y)在函数/(x)=lnx的图象上，所以y=ln(2-x).

法二由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y=lnx的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数解

析式逐一检验，排除A、C、D,故选B.

2.(2024・广州一模)函数〃无)=尤-要在［-无，扪上的图象大致为()

(x),且/(-x)中-于(x),所以函数/(x)既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项

C,D；当X=7I时，f(x)=f(7T)=71,排除选项A,故选B.

dx+b%v-1

3.(2024.沈阳质检)若函数/(x)={''的图象如图所示，则〃-3)=()

In(%+d),x>-1

C.-1D.-2

解析：C•:f(-1)=0,Ain-l+〃)=0,-l+a=l,/.4Z=2,又过点(-1,3)A2X(-

1)+。=3,:.b=5、:・f(-3)=-3a+b—-6+5=-1.

4.把函数/(x)=lnIx-〃I的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0,+8)上单调递增，则a的最大值

为()

A.lB.2

C.3D.4

解析：B把函数/(无)=ln\x-a\的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)=lnI尤+2-aI的图象，则

函数g(无)在(a-2,+8)上单调递增，又因为所得函数在(0,+8)上单调递增，所以“-2W0,即aW2.

所以a的最大值为2.

5.(2024.信阳一模)函数y=/(无)的图象如图①所示，则图②对应的解析式可以表示为()

A.y=f(Ixl)Bj

C.y=/(-IxI)D.y=-f(II)

解析：C对于A,将y=/(x)的图象在y轴左侧的部分“去除”，将y轴右侧的部分关于y轴作对称，y轴右侧

的部分保持不变，可得)的图象，A错误；对于B,将y=/(x)的图象在x轴以上的部分保留，x轴

以下部分翻折到x轴上方，可得y=l/(x)I的图象，B错误；对于C,将y=/(x)的图象在y轴右侧的部分

“去除”，将y轴左侧的部分关于y轴作对称，y轴左侧的部分保持不变，可得y=f(-Ixl)的图象，C正确；

对于D,将y=/()的图象关于x轴作对称，即可得y=-/(IxI)的图象，D错误.故选C.

6.(多选)对于函数〃x)=lg(Ix-2I+1)，下列说法正确的是()

A〃x+2)是偶函数

B〃尤+2)是奇函数

C〃无)在区间(-8,2)上单调递减，在区间(2,+8)上单调递增

D/(x)没有最小值

解析：AC/(x+2)=lg(IxI+1)为偶函数，A正确，B错误；作出/G)的图象如图所示，可知f(x)在

(-8,2)上单调递减，在(2,+°°D错误.

7.已知函数〃x)的图象如图所示，则函数g(x)=log忖(x)的定义域是(2,8].

解析：当f(x)>0时，函数g(尤)=log#'(x)有意义，由函数/(x)的图象知满足了(x)>0时，xd(2,8].

8.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，且当后0时，/(x)=r-x.若〃“)<4+/(-a),则实数a的取值

范围是(-8,2).

解析：因为f(x)为奇函数，所以/(-x)=-/(x),所以f(a)<4+/(-a)可转化为/(a)<2,作出了

(x)的图象，如图.由图易知a<2.

a,a<b,

设函数/(尤)=-x+3,g(X)=log2X,贝11函数/?(X)

(b,a>b.

=min{/(x),g(x)}的最大值是1.

解析：法一在同一坐标系中，作出函数/(x),g(x)的图象，依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分.

易知点A(2,1)为图象的最高点，因此"(九)的最大值为〃(2)=1.

牛

'、、X―

0(2x

(

logx,0<x<2

法二依题意，h(x)=，2t当0<xW2时，h(x)=log2%单调递增,当龙>2时，h(x)=3-x

-x4-3zx>2.

单调递减，因此"(x)在x=2时取得最大值4(2)=1.

丫2-L9Xyf)

。已知〃无)=''是定义在R上的奇函数.

-x2+2x,x>0

(1)请画出〃尤)的大致图象并在图象上标注零点；

(2)已知a>1,若函数〃x)在区间［-1,a-2］上单调递增，求实数a的取值范围.

解：(1)根据题意，列表如下，

X-2-1012

了(无)0-1010

f(x)的大致图象如图所示，其中有-2,0,2三个零点.

(2)由(1)的函数图象可知，要使/(X)在［-1,a-2］上单调递增，则-l<a-2Wl,即l<aW3,故a的取

值范围为(1,3］,

B级•综合应用

11.若直角坐标平面内4B两点满足①点48都在函数/(X)的图象上；②点48关于原点对称，则点对

(A,8)是函数〃x)的一个“姊妹点对”.点对(A,8)与(8,A)可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数了

(X)=4,'则〃X)的“姊妹点对”有()

(I(^>。)，

A.0个B.1个

C.2个D.3个

解析：C根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称.可作出函数y=r+2x

(x<0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数>=三(x20)的图象的交点个数即可.如图所示，当尤=1时，0

ex

<^<1,观察图象可得，它们有2个交点.故选C.

12.(多选)某同学在研究函数〃，)=不(xdR)时，给出了下面几个结论,其中正确的是()

A/(x)的图象关于点(-1,1)对称

B〃x)是单调函数

C〃x)的值域为(7,1)

D.函数g(x)=/(x)-x有且只有一个零点

解析：BCD作出y=/(无)的图象，如图所示，对于A,/(x)的图象关于点(0,0)对称，不关于点(-1,

1)对称，故A错误；对于B,f(x)是R上的增函数，故B正确；对于C,由图知，/(x)的值域为(-1,

1),故C正确；对于D,令g(x)=f(x)-x=0,得-------1)=0,解得x=0,所以函数g(x)=/(尤)

V+Ix|)

-X有且只有一个零点，故D正确.

/

=42=az=2