2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）含答案

2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的.

1.集合/={1,2,3,4,5,9},B={x\x+\^A\,贝以0|2=()

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{1,2,9)

2.设z=V2z,贝！JzN=()

A.-zB.1C.-1D.2

4x-3y-320,

3.若实数x,y满足约束条件＜x-2y-2^0,贝（Jz=x-5y的最小值为（）

2x+6y-9(0,

A.5B.-C.-2D.二

22

4.等差数列｛%｝的刖〃项和为S“，右品-1，4+%-（）

A.-2B.ZC.1D.-

39

5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）

1112

A.-B.-C.-D.-

4323

6.已知双曲线的两个焦点分别为片（0,4）、K（0,-4）,且经过点尸（-6,4）,则双曲线C的离心率是（)

A.4B.3C.2D.V2

7.曲线/3）=炉+3工-1在（0,-1）处的切线与坐标轴围成的面积为（）

10.已知直线ax+y+2-a=0与圆C:x2+y2+4y-1-0交于A,2两点，贝！J|481的最小值为（

A.2B.3C.4D.6

11.已知方是两个平面，〃?、〃是两条直线，a^\/3=m.下列四个命题:

①若乃//〃,则”//a或〃//£

②若mLn,贝[]〃J_tz,n10

③若nlla,且〃//£,则〃?//〃

④若“与a和〃所成的角相等，则m±n

其中，所有真命题的编号是（）

A.①③B.②③C.①②③D.①③④

jrQ

12.在A42C中，内角/,B,C所对边分别为a,b,c,若8=之,b2=-ac,则sin/+sinC=(

)

A.-B.V2C.—D.—

222

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数/(x)=sinx-Gcosx在［0,7］上的最大值是

14.已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为々和外，母线长分别为2(4-2)和3(外-々)，则两个圆台的

体积之比｝=—.

V乙

15.已矢口a>1,-----------=,贝！|a=____.

log8abg“42

16.曲线y=x3-3x与y=-(x-l)2+a在(0,+s)上有两个不同的交点，贝!的取值范围为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个

考题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.(12分)已知等比数列。｝的前〃项和为5“，且2s“=3%+—3.

(1)求缶“｝的通项公式；

(2)求数列｛'｝的通项公式.

18.(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽

取150件进行检验，数据如下：

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

(1)填写如下列联表:

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产

品的估级品率存在差异？

(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0=0.5.设万为升级改造后抽取的〃件产品的优级品率.如

果万〉p+1.65出?，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认

为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(而5712.247)

*n(ad-bcY

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K'k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19.(12分)如图，在以N,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形45cA与四边形C£>斯均

为等腰梯形，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,CD=4,AD=BC=M,AE=243,

M为。)的中点.

(1)证明：⑻///平面5。/；

(2)求点M到的距离.

20.(12分)已知函数/(x)=a(x-l)-/"x+l.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若或2时,证明:当x>l时，〃x)<eT恒成立.

v221

21.(12分)已知椭圆C:=+=v=l(a>6>0)的右焦点为尸，点加\1,—)在椭圆C上，且轴.

ab2

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点P(4,0)的直线与椭圆C交于4,8两点，N为线段F尸的中点，直线NB与MF交于Q,证明:

40U轴.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、

错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.［选修4-4：坐标系与参数方程|

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

C的极坐标方程为0=Pcos。+1.

(I)写出C的直角坐标方程；

(2)直线/："='。为参数)，若C与/交于/、2两点,"|=2,求。的值.

［y=t+a

［选修4-5：不等式选讲］

23.实数a,b满足a+b23.

(1)证明：2a2+2b2>a+b；

(2)证明：|Q-2〃|+|b-2〃2］26.

2024年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的.

1.集合/={1,2,3,4,5,9},8={x[x+leN},贝以「|8=()

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{3,4}D.{1,2,9}

【解析】：A={1,2,3,4,5,9},3={X|X+1G^}={0,1,2,3,4,8},

贝必「|8=11，2,3,4}.故选：A.

2.设z=,贝！]z•彳=()

A.-iB.1C.-1D.2

解法一：z=5,彳=一亚，贝UzN=V^・(-V^)=2.故选：D.

解法二：彳=|z「=2

4x-3y-320,

3.若实数x,歹满足约束条件—2y—2（0,贝”=x—5y的最小值为（）

2x+6j-9^0,

17

A.5B.-C.-2D.——

22

4x-3y-320,

【解析】：作出不等式组x-2y-240,所表示的平面区域，如图所示：

2x+6歹一9（0,

31

将约束条件两两联立可得3个交点：C（0-1）zZ（5，l），5（3,/）,

由2=%—5丁得y=贝!]一，可看作直线歹=卜一，在歹轴上的截距，

经检验可知，当直线经过点1）时，Z最小，代入目标函数可得：z.=-g.

故选：D.

4.等差数列｛氏｝的前〃项和为S“，若其=1，/+为=（）

72

A.-2B.-C.1D.-

39

解法一：S9=l,则玉=9(%;%)=9(%；%)=1,解得/+%=|.故选：D.

解法二：

利用等差数列的基本量由风=1,根据等差数列的求和公式，S°=网+史等=1,...%+36d=1,

22

%+%=+2d+4+6d=2%+Sd=—(9a1+36<7)=—.

解法三：特殊值法

12

SQ=1=9a,=Q[=—4+&=2Q1二—

不妨取等差数列公差"=。，则9,则9.故选：D

是首项为公差珥的等差数列，

解法四：【构造法】：设｛%｝的公差为d,利用结论q'

n

邑

9=%+8—=%+4d—2（2。]+8d）,/+%=%+2d+q+6d—2%+8d,

邑

9=Q]+8——+4d——（2%+8d）=—（q+%）=—,%+Q7——.古攵:D

S

解法五：根据题目a3+tz7=2a5=~9=~/故选：D

5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是()

A.-B.-C.-D.-

4323

【解析】：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有团=24种可能，

丙不在排头，且甲或乙在排尾的情况有C；C；m=8种可能，故P=5=j故选：B.

6.已知双曲线的两个焦点分别为4(0,4)、7^(0,-4),且经过点P(-6,4),则双曲线C的离心率是(

A.4B.3C.2D.V2

解法一：因为双曲线的两个焦点分别为£(0,4)、7^(0,-4),且经过点尸(-6,4),

所以|月乙|=8,\PFX\=6,|P£|=j36+(4+4)2=10,

则双曲线C的离心率e=^=-^=2.故选：C.

2a10-6

IPF\=—=6

解法二：点尸、月纵坐标相同，所以口号是通径的一半即1。

则16-/=6。即a=2,则双曲线C的离心率e=9=3=2.故选：C.

a2

解法三：双曲线C的离心率e=1=上=2

|^|-KI10-6

1636।

/一U

片一片=1

22

2a+b-16

解法四：根据焦点坐标可知。=4,根据焦点在y轴上设双曲线方程为片b,则

a=2

t._)瓜e=—=2

则〔"—3,所以。

7.曲线/(x)=/+3x-1在(0,-1)处的切线与坐标轴围成的面积为()

n6

AD.--------C

-I242

【解析】：因为八x)=f+3x,所以广(幻=6/+3,曲线在(0,-1)处的切线斜率左=3,

故曲线在(0,-1)处的切线方程为y+l=3x,BPy=3x-l,

则其与坐标轴围成的面积S=L1xL'故选：A.

236

则/(-x)=-(-尤)2+(e^x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e~x)sinx=f(x),故/(x)为偶函数，故/C错误;

f(1)=-l+(e'-e^sin^-l+(e--)sin-=--l>0,故。错误，5正确.

e622e42e

故选：B.

解法二：函数为偶函数。且当xf0+时，/(x)―0+,因此只有选项8符合题意

9.已知———=V3,则tan(a+%)=()

cosa-sma4

h

A.2V3+1B.2V3-1C.—D.1-V3

2

解)去一：——竺之——=73,贝！J——-——=6,所以tana=l-g,故tan(a+工)=tana+1=2M―］

cosa-sina1-tana341-tana

故选：B.

解法二：设tan(a+&)=x,贝［|色吧里=》，gPtana=—,因此由一侬”=百得—1—=百,

41-tanax+1cosa-sina1-tana

即一)-=V3,故X=2G-1,即tan(e+马=2百-1,故选：B.

1X-14

1-----------

x+1

10.已知直线办+>+2-。=0与圆+/+4)一1=0交于/,5两点，贝！］［451的最小值为()

A.2B.3C.4D.6

【解析】:直线QX+y+2-Q=0,BPa(x—l)+jv+2=0,所以直线怛过点2),

圆C:%2+/+4>—1=0,即％2+3+2)2=5,圆心为(0,_2),半径升=石，

当最小时，点(0,-2)到直线的距离应最大，即时，最小，此时

|AB|=2Vr2-l2=4.故选：C.

11.已知尸是两个平面，m、〃是两条直线，=m.下列四个命题：

①若加//〃，则〃//a或〃///?

②若mLn,贝！］〃_La,nV/3

③若〃//a,且〃//尸，则冽//〃

④若〃与仪和分所成的角相等，则加_L〃

其中，所有真命题的编号是()

A.①③B.②③C.①②③D.①③④

【解析】：①若〃ua,因为加//”，mu°,则〃//4，

若〃u尸，因为mIIntmuai则〃//a,

若〃不在i也不在/?内，因为mlIn,mua：mu0：

所以nlla且rdIB,故①正确；

②若加，几，贝卜与。，尸不一定垂直，也有可能相交，故②错误；

③过直线〃分别作平面，与a,尸分别相交于直线%直线6,

因为〃//a,过直线〃的平面与平面a相交于直线a,所以〃//a,

同理可得几//6,所以4//6,

因为aui,buB［则。//夕，因为aua,a「］/7=加，则a//冽，

又因为〃//〃，则冽//〃，故③正确；

④〃与。和耳所成的角相等，则加和〃不一定垂直，故④错误；

综上只有①③正确.故选：A.

-JTQ

12.在AABC中，内角/,B,C所对边分别为a,b,c,若2=］，b2=~ac,贝！］sin/+sinC=(

)

A.-B.V2C.—D.—

222

TTQ41

解法一：因为2=(,b2=^ac,所以由正弦定理可得，sinAsinC=—sin2B=—,

913

由余弦定理可得：b2=a2+c2-lac-cos5=a2+c2-ac=—ac,即/+c2=一ac,

44

1313

sin27A+sin72C=一sin4sinC=—，

412

7

所以(sin4+sinC)2=sin24+sii?C+2sin/sinC=—，因为4c为三角形内角，则(贺雷颖添加)

4

sinA+sinC=——.故选：C.

2

解法二：不妨设6=1,根据题意得数=［,根据余弦定理，由3=导cos8=g,即

22222

a+c-b=£所以/+片=?由正弦定理有(包包型2］=(甘£］=(.+°)2-2碇=:，则

2ac291smBJ\bJy73

sm^4+smC=、一sm5=----

V32

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数/(x)=sinx-百cosx在[0,»]上的最大值是

【解析】：f(%)=sinx-V3cosx=2sin(x-y),

xe[0,R,x-ge[-W，4],所以当x-g=W，x=多时，取得最大值,

333326

〃x)s=/(?)=2.故答案为：2.

o

14.已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为々和八，母线长分别为2亿-5）和35-弓），则两个圆台的

体积之比?=_乎_.

吃4

【解析】：因为甲、乙两个圆台上下底面的半径均为々和、母线长分别为2（6-々）和3（八一2），

则两个圆台的体积之比孑:/邑十同"二卜性w士丁省（rT邛,

h

y乙乙；6+邑+心梗）;乙出G-々）f-化-々）22五（「，）4

故答案为：手.

15.已矢口a>\,-----------=,贝！J。=64

log8aloga42

=

解法一：因为---~T~~iT~----^-log24z=-1-z所以(log?Q+l)(log2〃-6)=0,而a>l,

log8a/。44log26z22

故log2Q=6,解得a=64.故答案为：64.

1_________1_____5

――J210g,2二-53二=t=-

解法二：根据题意有32，设/=1呜2〉0伍〉1）,则2t2,解得6,

log。2=/1°

所以6,所以力=2,所以a=64.

16.曲线歹=d—3x与V=-（％-1）2+Q在（0,+8）上有两个不同的交点，则。的取值范围为—（-2,1）—.

【解析】：令d_31=一（工一1）2+Q,贝一3%+（工一1）2,

令（p｛x）=x3-3x+（x-1）2,贝！］（p'（x）-3x2-3+2（x-1）=（x-1）（3%+5）,

因为x>0,故当x>1时，（p\x）>0,（p｛x）单调递增，当0<x<1时，"（X）<0,（p｛x）单调递减，

因为9（0）=1,（P（1）=-2,xf+8时，9（x）f+8,

若使得Q=d—3x+（x-厅有两个不同零点，贝心的范围为（-2,1）.故答案为：（-2,1）.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个

考题考生必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.

17.（12分）已知等比数列｛“〃｝的前几项和为S〃,且2S〃=3a〃+i—3.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）求数列｛S.｝的通项公式.

解法一：（1）因为2S〃=34+「3,所以2sm=3%+2-3,

两式相减可得：2%+i=3an+2-3a〃+i,即3q〃+2=5an+i,所以等比数列｛an｝的公比q=j

w-1

又因为2sl=3出-3=5%-3,所以％=1,an=（-1）；

（2）因为2S“

解法二：（1）

_5

所以2%=3«„+1-3%）2）即5%=3a用故等比数列的公比为”§

n-\

5

2a,=3a,—3=3a,x——3=5a,—3c-1%

故3，故「1,故

S.

(2)由等比数列求和公式得3

18.(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽

取150件进行检验，数据如下：

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

(1)填写如下列联表:

优级品非优级品

甲车间

乙车间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产

品的估级品率存在差异？

(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设万为升级改造后抽取的"件产品的优级品率.如

果万>p+1.65,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认

s150x(70x24-26x30)2

X=-------------------------------=4.6875>3.841,

96x54x50x100

有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；

零假设4：根据。=0.01的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异,

4.6875<6.635,没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.

96

(2)由题意得万=荷=0.64,72+1.65=0.5+1.65x«0.57,

所以万＞p+1.65,故有优化提升.

19.(12分)如图，在以N,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形4BCZ)与四边形CZ)E厂均

为等腰梯形，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=1,CD=4,AD=BC=屈,AE=26,

M为CD的中点.

(1)证明：EW//平面5CF；

(2)求点M到4DE的距离.

AK___________R

EF

【解答】：(1)证明：由题意得：EF//CM,EF=CM,

所以四边形斯CM为平行四边形，

所以EA///C尸,

而£以《平面8CF,CFu平面8CF,

所以EN//平面BCF.

(2)解：取。M的中点O,连结。4,OE.

EF

由已知得，NEMD是边长为2的等边三角形，MDM是以AD=AM=^Q为腰的等腰三角形,

2

贝！|_LDM,OA±DM,OA=3,OE=G,S^EM=-x2xsin60°=V3,

2

因为NE=2百，^XOA1+OE2=AE2,即。/_LOE,

又0"「|。£=0,所以O/_L平面。E",

因为DE=2,AD=sJ10,

AD2+DE2-AE21尔、।..,_a

cos/4DE——.—,所以sinNAnDcE—

2ADDE2V102V10，

SUDE•DE-sin/ADE=誓,

设点M到平面ADE的距离为h,因为VM_ADE=VA_MDE,

所以3.S^DE•,=；•S^EM,4。，

—q3,h=6V13

32313

6V13

故点M到平面ADE的距离为

13

20.(12分)已知函数/(》)=°(%-1)-勿工+1.

(1)求/'(尤)的单调区间；

(2)若夜2时,证明：当x>l时,/(》)<产恒成立.

//Y—1

【解析】:(1)/(x)=a(x-l)-lnx+l,则解(%)=-----,%>0,

x

若%0,f(x)<0,/(x)的减区间为(0,+8),无增区间;

若。>0时，当0<x<，时，f\x)<0,当时，f\x)>0,

aa

所以/(X)的减区间为(0―),增区间为(士+8)；

aa

(2)证明：因为QW2,

所以当x>1时，ex~x-/(x)=ex~x-a(x-1)+Inx--2x+lnx+l,

令g(x)=eX1~2x+lnx+l,贝!]g'(x)=ex~'-2+—,

x

令〃(x)=g，(x),贝必'(幻=/7-4在(1,+0))上递增，h'(x)>h'(1)=0,

X

所以〃(x)=g(x)在(l,+oo)上递增，g'(x)>g'(1)=0,

故g(x)在(l,+oo)上递增,g(x)>g(1)=0,

所以当X>1时,/(x)<e，T恒成立.

21.(12分)已知椭圆C:=+与=l(a>6>0)的右焦点为尸，点加\1,—)在椭圆C上，且〃FU轴.

ab2

(I)求椭圆C的方程；

(2)过点P(4,0)的直线与椭圆C交于4,8两点，N为线段F尸的中点，直线NB与MF交于Q,证明:

40U轴.

【解析】：⑴设椭圆C的左焦点为片，点”(19在椭圆C上，且"FJ_x轴，贝

3

|〃F|二5，

由勾股定理可知，故2。=|9|+|〃？|=4,解得片=4,b2=a2-l=3,

22

故椭圆C的方程为［+J=1；

43

解法一：(2)直线N8的斜率必定存在，设北:广稔-4),"(再,弘)，'值,%),

3X2+4/=12

y=k(x-4)可彳曰(3+4左2卜2_32k%+64左2—12=0

由

故△=1024左4—4(3+4左2乂64左2-12)>0故-

32人264/一12

又占+%=而户科=^^

3

2%-3^

BN:y=一%x-|2

5

NX

22

而i°,故直线2故2

3y2必x(2x2-5)+3,2k(X1-4)x(2x-5)+3A：(x-4)

所以22

必-y。=必+

2X2-52X2-52%—5

2

64左2一12「32k。

---------、——5x-------+8

2x^2-5(x1+x2)+82x

—k—k3+4左23+4左-

2X2—52%—5

2

128左224—160k2+24+32k

=k3+4F=0

2%—5

故必=为，即NQ'y轴

解法二：⑵证明：设/（占，%），B（X2,%），AP=APB,

西+AX2_4

=4+44—x,

则1+7,即①,

弘+“2二0=-yi

、1+2—

3%；+4弁=12可得3.再+也.再一4+Ji+2y乂-私

又由/|2=12②,

222

3(2X2)+4(AJ；2)=122'1+21-21+21-2

结合①②可得，52-2相+3=0,

P(4,0),F(l,0),N(|,0),B(X2,

y2）,贝！I直线NB的方程为y-0=

X?—

22

MFLx轴，直线w与以交于0,贝h°=l,

3%3为2

故人==-4%=弘，故NQ_L>轴.

5—2%254—2.Ax2

解法三：⑵根据题意，有Ng,。），设，（西，耳）,

B(X2,y2),AP=APB,

司+AX24

1+2

再+AX=4+44

M+为2：02

%+4%=0

则'1+2即

五二］

・，/.勺+物勺-、/月为

4312力一加二1

(3)2,(力行_工241-A31U1-A-

又由<43~z

代入户点坐标可得

彳中=3+品毡必，7,必一」一+2—着

因此-2,设觎籁4则直线BQ'的横截距为渊》a

因此8S<命题得证.

(=)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、

错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.［选