2024-2025学年云南省红河州高二年级上册开学检测数学试卷+答案解析

2024-2025学年云南省红河州高二上学期开学检测数学试卷。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为（）

A.19B.23C.21D.18

2.已知2=（-2,5）焉=（2,1）.则了夹角的余弦值等于（）

A巫B.走C.gD._3_

-

1451452525

3.已知机,几为两条不同直线，必。为两个不同平面，且?n_La,n〃户，则下列命题为真命题的是（）

A.若aJ_0,则m_LnB.若〃1〃n，则a_L0

C.若m_L0,则打〃aD.若以〃。，贝!!%//Q

4.若函数/（，）=ln（l+a"）—z是偶函数，则a=（）

e

A.*2B.eC.y/eD.

e2

5.已知复数2=1+23则z13,在复平面内对应的点的坐标为（）

4z—1

A.（屋）B.（\，W）C.（一W）D-

'17'17y

6.若集合河={引sini:=cos22},N={j:|cosa;=sin2/},则（）

A.“nN=0B.MnN=MC.MUN=RD.MUN=M

7.如果棱台的两底面积分别是S,S'，中截面的面积是So,那么（）

A.2年=诟+四B.So=VW

C.2So=S+S'D.S,=2S'S

8.如图所示，在棱长为1的正方体ABC。—43GO1中，P,又分别

为线段8场上的动点，N为的中点，则的周长的最

小值为（）

A.

\/4+2^/2

B.

,4+通

D.

2

第1页，共15页

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知复数句芦2的共辗复数分别为药，为，则下列命题为真命题的有()

A.Z1+Z2=Zi+Z2B.\zi-切=|2i|•\z2\

C.若Z1—〉0，贝！121>3D.若2道2=0,则=0或22=0

10.已知样本数据3,电，3,24,立5(/1<0,22,3,24,25〉0)的方差为§2，平均数万>0,贝1K)

A.数据3叼—2,3x2-2,3磔一2,3必—2,33—2的方差为9s2

B.数据3d—2,3x2—2,3•一2,3x4-2,33一2的平均数大于0

劣4,工5的方差大于§2

C.数据工2,X3,

D.数据①2,X3,Xi,①5的平均数大于方

11.如图1,扇形48。的弧长为12万，半径为6，5，线段N3上有一动点M，弧上一点N是弧的三等分

点，现将该扇形卷成以/为顶点的圆锥，使得和ZC重合，则在图2的圆锥中()

B(O

图I图2

A.圆锥的体积为2167r

B.当M为48中点时，线段在底面的投影长为3-

C.存在M,使得

C…，3^30

D.MNmin――-—

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为5:2:3,现使用分层抽样的方

法从这些旅客中随机抽取〃人，若青年旅客抽到60人，则冗=

13.在△4BC中，AD是边BC上的高，若初=(1,3),舒=(6,3)，贝！J］彳=

r41

14.max{g,a；2,C3}表示三个数中的最大值，对任意的正实数x,乃则乖+记的最小值是

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第2页，共15页

15.(本小题12分)

某工厂对一批钢球产品质量进行了抽样检测.如图是根据随机抽样检测后的钢球直径(单位：mm)数据绘制

的频率分布直方图，其中钢球直径的范围是[98,103],样本数据分组为

[98,99),[99,100),[100,101),[101,102),[102,103].已知样本中钢球直径在[100,101)内的个数是20.

(1)求样本容量；

(2)若该批钢球产品共1000个，认定钢球直径在[99,102)的产品为合格产品，试根据样本估计这批产品的

不合格产品件数.

16.(本小题12分)

设。为坐标原点，向量OZ；、OZ；、◎演分别对应复数分、名2、？3,且为=川+仅—a)i,3=—1+(3—2a)，,

Z3=2—mi(a,mER),已知z[+z?是纯虚数.

(1)求实数。的值；

(2)若4,Z2,Z3三点共线，求实数m的值.

17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CBLBP,CDLDP,PA=2,点、E,F

分别为PR,PO的中点.

(1)求证：P4L平面48CD

(2)求点P到平面AEF的距离.

18.(本小题12分)

记△48。的内角4,3,。所对的边分别为a,b,c,已知a=2\/2c,sinA=cos(B-C).

第3页，共15页

⑴求以

⑵若。是边8c上一点，且40=。。="5，求△4BC的面积.

19.（本小题12分）

如图，A,2是单位圆上的相异两定点（0为圆心），且为锐角）.点C为单位圆上的动点，线

段/C交线段。8于点

（1）求瓦I.瓦欧结果用。表示）;

（2）若。=60。

①求无？.用的取值范围；

②设百/=1加（0＜力＜1）,记沁丝=/（力），求函数/⑴的值域.

第4页，共15页

答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查中位数的定义，属于基础题.

首先将样本数据从小到大排列，再计算中位数即可.

【解答】

解：将这10个数据从小到大排列为：

12,13,15,17,19,23,29,31,38,43,

1q93

所以这组数据的中位数是士（3=21.

故选：C.

2.【答案】A

【解析】【解析】

【分析】利用向量夹角公式直接求解即可.

/—下\区•了-2x2+5x1/145

【详解】Md"2+5”…f

故选：A.

3.【答案】B

【解析］【解析】

【分析】利用空间直线，平面的位置关系逐项判断可得每个选项的正确性.

【详解】对于/，可能相交，如图所示正方体中，若加为直线681，

a为平面43GB，。为平面若〃为CCi，则m〃n,故/错误;

对于3：由?n/加，n///3,可得或mU/3,

当mU又机_La，所以a_L。，

第5页，共15页

当m〃/3,则在0内存在又”_La，则/，a，又/U0,所以a，/L故3正确；

对于C：m邛,mA.a,则可得a〃。，又n//0,所以n〃a或ziua,故C错误；

对于。：m//(3,m±a,可得a_L/3,又隈〃0,可得九〃a或〃与。相交，故。错误.

故选：B.

4.【答案】A

【解析］【解析】

【分析】利用偶函数的定义，可得m(1+(1-，)+，=山(1+域)-/对定义域内的每一个数均成立，可求Q.

【详解】函数/(乃=ln(l+a3)—/的定义域为R,

因为函数/(2)=ln(l+ax)-c是偶函数，

所以/(—①)=f(x),所以ln(l+a-Z)+c=ln(l+a,)-x,

可得2a;=ln(l+a")-ln(l+，

可得2/=In=ln［］=Ina1=rlna对xGR均成立，

+a。~xjJ。外+)1

所以a=e2.

故选：A.

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解.

【解答】

即苗生5—1+351—2，-1+35z(-l-4i)41.

解：因为——=---------=7i_,A•</1TT—7^—二2，

4z—14z—1(―1+4z)(—1—4z)1717

故其在复平面内对应的点的坐标为(I,-')-

故选：B.

6.【答案】B

【解析】【解析】

【分析】解方程分别求得进而可判断结果.

【详解】由sin力=cos2/，可得sin2=1—2sin2x，可得2sin2x+sin①—1=0，

解得sin/==—1,

第6页，共15页

7F57riTT

所以M={x\x=—+2而或力=—+2而或力=—+2卜江,kEZ},

由cosrr=sin2力，可得cos/=2sin/cos/，解得cos/=0或sin/=：,

7T57r7T

所以N={引力=片+2时或力=---F2k7T或力=三十而/eZ},

662

所以MCN=M.

故选：B.

7.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查棱台的结构特征，以及棱台的底面积与中截面面积关系，属于中档题.

[(4)、包

因为是普通的棱台即可，不妨设为三棱台，由相似比的性质得4°+21化简整理得之间的关系.

,a2_5

、a+rSo

【解答】

解：不妨设棱台为三棱台，上下底面面积分别为S'，乱

设棱台的高为2%延长三条棱交于一点形成三棱锥如图,

设以上底面组成的棱锥的高为a,

[(123

I%+2r)S

根据相似比的性质可得:

」

[%L+Tr，So

a+2r_\/<S

a

可得:

a+r_y/So

a-W

消去r,a,可得2，瓦=，3+，皿

故选4

第7页，共15页

8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查棱柱的结构特征，平面展开图的应用，余弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题.

由题意构造三棱锥，求解展开图中三角形的边长，即可得出结论.

【解答】

解：如图,

连接BG，D1B1，则N为BC1的中点,

将三棱锥口-沿BQ展开成平面图形如下图,

\NN'\即为三角形周长的最小值,

•.•正方体43。。—的棱长为1,N为中点,

，其中BN=BN'=与ZCiBCj=135°,

11\/2y/2鼻—14+2方

•二=\BN^+\BN'^-2|BN||BN[cos135°=—I1-2X—XX—==-

222222

故本题选8.

9.【答案】ABD

【解析】【分析】

本题考查共辗复数，复数的加、减法运算及其几何意义，复数的乘法运算，属于中档题.

设句=a+瓦,勿=c+由，则西=a-瓦，为=c一由，逐项计算可判断每个选项的正确性.

【解答】

第8页，共15页

解:设力=Q+bi/2=c+di且期b,c)d6R,则为=Q-%为=c—成，

zi+Z2=a+bi+c+di=a+c+(b+d)i9%+%=a+c-(b+d)，,

所以Z1+0=a+c—(b+d)K所以句+22=四+为，故Z正确；

zi•3=(Q+bi)(c+di)=(QC-bd)+(6c+ad)i

\zi-z^\=q(ac-bd¥+(be+ad)2=\Ja2c2+62d2+62c2+a2d2

=\/a2+b2•y/c2+cP=\zi\•|匐，故5正确；

当21=1+=2,时，满足力一勿=1〉0，但不能得出次〉为，故C错误;

因为213=(QC—bd)+(be+ad)i=0，

ac—bd=0

故。正确.

bc-\-ad=0

故选：ABD.

10.【答案】AD

【解析】【分析】

本题考查样本的数字特征，是中档题.

根据方差和平均数性质逐一判定即可.

【解答】

解：对于4,数据3g—2,3电—2,3g—2,3^-2,3磔—2的方差为9s2,故4正确;

对于5,3g—2,3政—2,3磔-2,3^-2,3磔—2的平均数为肠—2,

当于〉0时，3元一2不一定大于0,故8错误；

对于C,去掉一个极端数据，剩下的数据的方差有可能更小，故C错误；

力1+12+/3+3+

对于。，因为了

数据也如%,3的平均数为电+3+血+&=:亍_?,①]<0,

444

所以数据/2,磔，立4,3的平均数大于亍，故。正确.

故选AD.

11.【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查立体几何的综合应用，圆锥的体积问题，解三角形问题，属中档题.

根据圆锥的体积公式，解三角形，等面积法，即可分别求解.

第9页，共15页

【解答】

解：根据题意可得圆锥母线长为6及，圆锥的底面半径为12手7r=6,

27r

所以圆锥的高为J(6，^)2—62=6，

对4选项，圆锥的体积为：x»义6?义6=72开，故4选项错误；

对2选项，M为中点时，设圆锥的底面圆心为O,

易知线段MN在底面的投影为图中的其中〃为8。中点，

又易知图1中前=粤=4万，

O

47r2TT

所以上图圆。中NBON=H=k，又B0=N0=6,所以HO=3,

63

由余弦定理可得HN=/32+62—2x3x6x(―；)=，故B选项正确;

对C,。选项，由2选项图中，易知BN=6v^，又AB=4N=6v^，

由余弦定理易知△ABN的三个角都为锐角，所以存在M,使得

即过N作于点"，且此时最小，

根据等面积法可知gx6A/3x(6\/2)2—(3\/3)2=g*6\/2xMN,

解得“N=打纹，故C，。选项正确.

2

故选：BCD.

12.【答案】200

【解析】【分析】

第10页，共15页

本题考查分层随机抽样，属于基础题.

根据分层抽样得到老、中年旅客的人数，相加后得到答案.

【解答】

解：青年旅客抽到60人，根据分层抽样可得，

抽到的老、中、青年旅客的比例也为5:2:3,

则抽到的老年旅客的人数为《x5=100(人),

抽到的中年旅客的人数为日x2=40(人).

O

故n=60+100+40=200.

故答案为：200.

13.【答案】75

【解析］【解析】

【分析】设BB=mB(i=(6m,3m)，表达出五3=(6m+1,3m+3),根据垂直关系得到方程,求出

m=-g,进而得到答案.

【详解】设箴=m^=(6m,3m)，

则A3=+Bf)=(1,3)+(6m,3m)=(6m+1,3m+3)，

由4。•=0得了4•B©=6(6772+1)+3(3m+3)=36m+6+9+9m=0,

解得m=—故前=(1—2,3—1)=(—1,2)，所以|前|=J(-1y+22=瓜

故答案为：V行.

14.【答案】2

【解析】【解析】

【分析】设N=max{o:,2%因7＞0,沙＞0,可得23/(/+.M5,借助于基本不等式可

41

得N328,验证等号成立的条件7=2沙=0+短=2,即得Nmin.

力y

「41141

［详解】设N=max＜力,2g,后+方＞，则1(N,2y&N,忘+F(N,

［x2y2)xzyz

因力〉0,g〉0,则得21gH—.又因2xy.H—n/22xy，—=8,所以N，28,

\xzyzJ\xzy初xy

41(411

当且仅当比=2g=或+/=2,即”=2,沙=1时等号成立，故max11,2g,^+/j的最小值为2.

第11页，共15页

故答案为：2.

【点睛】思路点睛：本题解题的思路在于，先根据max®,/2,/?}的含义，设出N=max「,2%白+"},

即得2阴/㈡+与卜科将问题转化为求2费㈡+与的最小值，而这可以利用基本不等式求得，同时

\xzy1J\xzyJ

需验证等号成立的条件.

15.【答案】【小问1详解】

因为样本中钢球直径在［100,101）内的个数是20,其频率为0.40，

所以样本容量为冗=2（1=50.

0.4

【小问2详解】

样本中这批产品的不合格产品件数为（0.08+0.08）x50=8,

由样本估计总体，可知这批产品的不合格产品件数为1x1000=160.

【解析］【解析】

【分析】（1）用频数除以频率即可求解；

（2）首先求出样本中不合格产品的占比，由此乘以该批钢球总数即可得解.

16.【答案】【小问1详解】

由题意可得%+%2=Q?—1+（1—Q）。，

由于复数万+Z2是纯虚数，则|《一口°，解得a=—1；

I1-好0

【小问2详解】

由（1）可得21=1+3。z2=-l+5i,则点Z1（1,3）,Z2（T,5）,点23（2,-m）

所以，为力=（—2,2）,将=（1,—m—3）

因Z1,Z2,Z3三点共线，所以友〃书，所以（一2）x（—加—3）=1x2,

所以m=-2

【解析】【解析】

【分析】（1）根据药+Z2是纯虚数，结合共轨复数、纯虚数的定义求解即可;

第12页，共15页

(2)根据匹可〃2溶求解即可.

17.【答案】【小问1详解】

由底面4BCD为正方形，得CBL4B,XCB1BP,ABClBP=B,AB,BPC^^ABP,

于是CBJ_平面/AP，而PAu平面NBP，则CBLP4，同理C7MP4，

又CBCCD=C,CB,CDC平面ABCD,

所以PAL平面4BCD

【小问2详解】

由(1)得P4LAB，点£为形的中点，在RtZSPAB中，人七=四，点歹为尸。的中点，同理人?二方,

在△PB。中,EF=g]3D=/,因此SAAEF=gx四义四x噂=

在直角△PAB中，SAAPE=|X|X2X2=1,

由⑴知CBL平面ABP,则4D,平面ABP,于是点尸到平面APE的距离为:A。=1

设点尸到平面/斯的距离为/?,由&YEF=VFTEP,得工xYIx%=』xlxl，解得力=与目，

3233

所以点P到平面AEF的距离为空!

3

【解析】【解析】

【分析】(1)根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得.

(2)利用等体积法求出点到平面的距离.

18.【答案】解：(1)因为sinA=cos(B—。)，则sin(B+。)=cos(B—。)，

可得sin_BcosC+cosBsinC=cosBcosC+sinBsinC,

则(sinB-cosB)(sinC-cosC)=0,

，、c7T

若sin_B—cos_B=0,则tan_B=l,且•Be(0,7r),所以8=下

若sinB-cos_B#0,则cosC=sinC,即tan。=1,

7T

且Ce(0,7r),所以。=储

但a=2v^c，由正弦定理可得sinA=2，^sin。=2>1，不合题意；

7T

综上所述：B=了

⑵因为4。=。。=函，则8。=26c—西，

第13页，共15页

A

在△48。中，由余弦定理可得=AB2+BD2_2AB.BDcosB,

即10=+(2V2C-\/10)2-2C(2\/2C-\/10)x?，

整理可得5c2—6海c=0,解得c=5任或c=0(舍去)，

5

则。=2V2c="要，所以△ABC的面积s》B。=jacsinB=jx"?x萼x#=g.

【解析】本题考查正、余弦定理的综合应用，三角形面积公式，三角恒等变换的综合应用，属于中档题.

⑴根据题意结合三角恒等变换可得(sinB-cos0(sin。一cos。)=0,进而可得结果；

(2)根据题意利用余弦定理解得°=5至，再结合面积公式运算求解.

5

19.【答案】解：⑴U2.Xg=|Ul||Xg|cos(7r—/OAB)=—|X^cos/O43=cos0—l;

(2)当9=60。时，01-0^=1

27r

设/_BOC=a,由条件知，a6[0,—],

o

Kt3,7r31\/3.

GA•CB=--cos(—+Q)—cosa=---COSQ+--sma—cosa

/j//Zi

_33通._3/-V31..3Q7r

————cosaH———sina———V3(cosa——,sina)———v3cos(a+-).

2222v2272<6,

「r27T,7T「通A/3,

・•,aCnpF，,\cos(a+-)e

。OZ2

.-.c2.c5e[0,3]；

②设疝=AA^(O<A<i),则如=+=+XA5=(I-A)O2+xod=to^,

..灰=洒——办

AA

由前=1可得，无—一瓦?1=1,

AA

即针+(中)2—2x[x『x整理得x=停一1+1

AA