2024-2025学年北师大版八年级数学上册专项复习：勾股定理 （九大题型）（解析版）

勾股定理（压轴专练）（九大题型）

题型1:折叠问题

1.如图，在RtZUBC中，ZC=90°,48=10,3C=8.点尸是/C上的点，且。F=2/尸，点。和点E分

别是BC边和AB边上的两点，连接DE.将ABDE沿DE折叠，使得点8恰好落在/C上的点尸处，与DE

交于点石，则。〃的长为.

【答案】亚

【分析】根据勾股定理，得出/C=6,再根据CF=2/尸，AF+CF=AC=6,得出CF=4,再根据勾股定

理，得出3尸=4石，再根据折叠的性质，得出BH=FH=gBF=2#,BD=FD,DE1BF,然后设

BD=FD=x,贝iJO=8-x,再根据勾股定理，得出不+（8-x）?=x?,解出即可得出8。=5,再根据勾股

定理，即可得出的长.

【解析】解：：NC=90°,43=10,BC=8,

AC=^AB2-BC2=V100-64=6，

VCF=2AF,AF+CF=AC=6,

：.AF+2AF=6,

：.AF=2,

：.CF=4,

在&M8CF中，

BF=ylBC2+CF2=V64+16=475，

1/ABDE沿DE折叠，使得点8恰好落在ZC上的点尸处，

BH=FH=-BF=275,BD=FD,DE1BF,

2

设BD=FD=x,贝IJCD=8-x,

在MACD厂中，

CF2+CD2=DF?,

42+(8-X)2=X2,

解得：x=5,

BD=5,

在RMBHD中,

DH=yjBD2-BH2=卜-(2对=布.

故答案为：V5

【点睛】本题考查了勾股定理、折叠的性质，解本题的关键在应用勾股定理列出方程解决问题.

2.如图，M,N分别为锐角边GM,03上的点，把沿MV折叠，点。落在所在平

面内的点C处.

(1)如图1,点C在/2。3的内部，若/CM4=20。，ZCNB=50°,求N/08的度数.

(2)如图2,若4408=45。，ON=亚，折叠后点C在直线08上方，CM与0B交于点、E,且MN=ME,

求折痕MN的长.

(3)如图3,若折叠后，直线MCL08,垂足为点E,且(W=5,ME=3,求此时CW的长.

【答案】(1)/。=35°

(2)MN=2

(3)ON=1•或10

【分析】(1)根据折叠知，^OMN=ZCMN=1(180°-ZCMA)=80°,/OMW=65。根据三角形内角和定理

即可求得答案；

(2)根据=由等边对等角可得=设NOMN=NCMN=x度,根据三角形内角和

为180。，建立一元一次方程解方程求解即可求得NO肱V=30。，过N作NHLOM于H,根据勾股定理求得

为月=1，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得的长；

(3)①当点C在03上方时，②当点C在CM下方时，设ON=x,则NE=0E-0N=4-x,勾股定理求解

即可；

【解析】(1)由折叠知，NOW=NCW=g(180°-NCMN)=80°,

同理得/ONM=65。，

ZAOB=180°-ZOMN-ZONM=35°.

NENM=AMEN,

设NOMN=NCMN=x度,

：408=45。，

/.ZENM=AMEN=(45+x)度,

2(45+x)+x=180,

解得x=30,即N(W?V=30。，

过N作M7_LOM于//,

ON=42,

：.NH=1,

图2

(3)当点C在08上方时，如图3-1

VOM=5,ME=3,直线MC1QB,

OE=4,

设ON=x,贝ijNE=OE-ON=4-x,

又由折叠知：CM=0M=5,CN=ON=x,

：.CE=CM-ME=5-3=2,

在RMCNE中,根据勾股定理，得（4-X『+22=X2

当点C在。4下方时，如图3-2

由折叠知：CM=OM,CN=ON,

CE=C〃+Affi=5+3=8,

设ON=x,则A®=ON-OE=x-4,

在RSCNE中,根据勾股定理，得（X-盯+82=V,

解得x=10,即ON=10.

【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，等边对等角求角度，勾股定理，分类讨论是解题的

关键.

3.如图1,在A/48C,N3=/C=10,8c=12.

⑴求3c边上的高线长.

⑵点E是8C边上的动点，点。在边4g上，且ND=4,连结DE.

①如图2,当点E是2C中点时，求△2DE的面积.

②如图3,沿DE将折叠得到△尸。£,当。尸与A48C其中一边垂直时，求的长.

【答案】(1)8

⑵①14.4；鳄或2或8.4

【分析】(1)如图，过4作AT1于7,再求解BT=CT=6,再利用勾股定理求解高线长即可；

(2)①如图，连接4E,利用等腰三角形的三线合一证明2E1BC,BE=CE=6,求解4E=8,可得S》BE=|

AE-BE=24,证明产=!=*从而可得答案；②分三种情况讨论：当DF14B时，再利用等面积法与勾股

'△ADE4乙

定理结合可得答案；当DF1BC于K时，利用角平分线的性质及面积比可得答案；当DFL4C时，如图，则

乙FTM=90。，证明"EK=乙DEF=45。，再利用勾股定理可得答案.

【解析】(1)解：如图，过力作ariBC于T,

AB=AC=IO,8c=12,

BT=CT=6,AT=V102—62=8,

所以8c边上的高线长为8.

(2)解:①如图，连接4E,

■■AB=AC=10,BC=12,E为的中点,

•••AE1BC,BE=CE=6,

由（1）得：AE=8,

A

SAABE=^AE-BE=|X6X8=24,

■-AD=4,贝UBD=10-4=6,

.S&BDE_6_3^

SAADE42

3

•1'S^BDE—x24=14.4.

②当DF_L4B时，由对折可得：

乙BDE=4FDE=45°,

过2作AT1BC于T,连接“过。作DK18C于K,过E作EN1AB于N,

由①得：SABDT=14.4,BT=6,

EN1BD/BDE=45°,设DN=久，

则EN=DN=x,

11

由扣O-EN=^BE-DK,

•••BE=7%,

4

2

BN=J(1x)-X2=而BN=6-x,

也=6—x,解得：％=今,

当DF1BC于K时，贝。OK=4.8,

BK=V62—4.82=3.6,

过E作EN1BD于N,由对折可得4BOE=乙FDE,

・•.EN=EK,

.S4BDE_BE_BD

•'SWKE~~EK~~DK,

,BE_6_5

"'EK~^8~4r

BE=77^7x3.6=2,

5+4'

当DF1/C时，如图，贝！UFTM=90。，

由对折可得=Z.F,而48=AC=10,则=ZG

乙C=Z-F,ffuzFMT=Z.CME,

・•.Z.MEC=Z.MTE=90。，

结合对折可得：乙DEK=(DEF=45。，

过0作OK1BC于K,

同理可得：DK=EK=4.8,

BK=V62—4.82—3.6,

BE=3.6+4.8=8.4,

综上：当。/与其中一边垂直时，8E的长为手或2或8.4.

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，清晰的分类讨论，等面积法

是应用等都是解本题的关键.

4.如图①，在长方形/BCD中，已知NB=13,AD=5,动点尸从点。出发，以每秒1个单位的速度沿线段

0c向终点C运动，运动时间为/秒，连接4P,把A4DP沿着4P翻折得到A4EP(注：长方形的对边平

行且相等，四个角都是直角)

备用图1备用图2

(1)如图②，射线PE恰好经过点2,求出此时才的值；

(2)当射线PE与边N3交于点尸时，是否存在这样的/的值，使得FE=FB?若存在，请求出所有符合题意的

f的值；若不存在，请说明理由；

(3)在动点P从点D到点C的整个运动过程中，若点E到直线AB的距离等于3,则此时t=.

【答案】(1)1

⑵H或13

5一

(3)万或10

【分析】(1)由长方形性质得知NC=ND=90。，AB=CD=13,BC=AD=5,AB//CD,再证

ZBPA=ZPAB,则2P=4B=13,然后由勾股定理得CP=12,则。P=l,由此得出结论.

(2)分两种情况：E在矩形内部和外部两种情况，分别根据等量关系列出方程即可解答.

(3)分两种情况：E在上方和下方两种情况，由折叠性质与勾股定理即可解答.

【解析】(1)•••四边形N3CD是长方形，

ZC=Z£>=90°,AB=CD=13,BC=AD=5,AB//CD,

■■NDPA=NPAB,

由翻折性质可知：ZDPA=ZEPA,

NBPA=ZPAB

,-.BP=AB=13,

在R/X8C尸中，由勾股定理得：CP=y/BP2-BC2=A/132-52=12-

DP=CD-CP=13-12=1,

DP—t,t=1.

(2)存在，分两种情况：

如图③，当点£在长方形内部时：

作尸G_LCD于G,设BF=EF=x,则N尸=43-2尸=13-x

由翻折可知，AE=AD=5,PE=PD=t

在瓦△/斯中，由勾股定理可得：EF2+AE2=AF2.即无2+52=(13-》)2,

72727297

角毕得：'=二，即斯==，^F=13-x=13--=—

13131313

72

:.PF=PE+EF=t+—

13

ZFE=ZFPG

在ZxAEF与AFGP中：</AEF=NFGP

AE=FG

LAEF必FGP(AAS)

PF=AF

7297.25

=解nZ得H：F

图③

ZAFE=NPFB

如图④，当点尸运动至与点C重合时，在△/£/与△尸AF中：，NE=NB

EA=BP

/\AEF^PBF(AAS),EF=BF

：.t=PD=CD=13.

有EF=BF.

(3)过点E作MN〃Z。交AB于点W,交CO于点N.

如图⑤，点E在长方形内部：贝|EM=3,EN=AD-EM=2

在无中，由勾股定理得:

AM=yjAE1-EM1=A/52-32=4

:.PN=AM-DP=4-t

:.在RtLPNE中,由勾股定理得：

PE?=PN?+NE1,即〃=(4-疔+22

如图⑥，点E在长方形外部：则EN=3,EN=AD+EM=8

在及△/"£中，由勾股定理得：

AM=NAE2-EM?=A/52-32=4

:.PN=DP-AM=t-4

:.在RtAPNE中,由勾股定理得：PE2=PN2+NE2,即”=(/-4)2+82

解得：，二10

•••综上，若点E到直线的距离等于3,/=：或f=10.

【点睛】本题是几何综合题目，考查了轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，综合性强,

熟练掌握轴对称的性质及勾股定理，进行分类讨论解题是本题的解题关键.

题型2：勾股定理与全等三角形

5.如图，过边长为6的等边的顶点/作直线/〃BC,点。在直线/上(不与点/重合)，作射线

(1)如图1,点。在点力的左侧，点£在边/C上，求证：AB=AD+AE.

(2)如图2,点。在点/的右侧，点E在边/C的延长线上，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明:

若不成立，写出你的结论，再证明.

(3)如图3,点E在边/C的反向延长线上，若/23E=15。，请直接写出线段的长.

【答案】(1)见解析

(2)不成立，=+证明见解析

⑶2+26

【分析】(1)根据等边三角形的性质和平行线的性质，得出N2=NC=8C,

ZABC=ZACB=ABAC=60°,ADAB=ZECB,则NABD=NCBE,再得出则有

AD=CE,由40+/后=。£+/£,即可得证；

(2)根据等边三角形的性质和平行线的性质，得出"AC=NACB=60。,NBCE=NBAD,由旋转的性质

NABD=NCBE,从而证明0ACBE,得出4D=CE,AE-AD=AE-CE,即可得证；

(3)过3作8尸，/C于尸，根据等边三角形的性质和平行线的性质，得出/BAD=/BCE,再根据

BA=BC,ZABD=ZCBE,从而证明AABOGACBE,得出AD=CE,由=8C=/C=4,8/J.4C,得出

C尸=2,N4B尸=30。，根据勾股定理求得台斤，再算得/防尸=45。，得人2斯为等腰直角三角形，则斯=3尸,

即可求出4D的值.

【解析】(1)证明：等边三角形N3C,

AB=AC=BC,/ABC=NACB=NBAC=60°,

•.•直线l\\BC,

ZDAB=ZABC=60°=NECB,

ZABD=ZDBE-NABE=60°-/ABE=/ABC-NABE=NCBE,

ADAB=NECB

在AABD和ACBE中,<AB=BC,

NABD=ZCBE

:.AABDACBE(ASA),

：.AD=CE,

AD+AE=CE+AE=AC=AB；

(2)不成立，=+理由如下：

•.•直线

ZDAC=NACB=60°,

/./BAD=ABAC+ADAC=60°+60°=120°,NBCE=180°—//C5=180°—60°=120°=ABAD

又NABD=/ABC-NABD=60°-ZCBD=ZDBE-ZCBD=NCBE

ABAD=ZBCE

在和AC5E中,，AB=BC,

NABD=ZCBE

:△ABD知CBE(ASA),

：.AD=CE,

AE-AD=AE-CE=AC=AB；

(3)如图所示，过5作8/，/。=于歹,

/BAD=ZABC=60°=NBCE,

又BA=BC,ZABD=/DBE+NABE=60。+ZABE=/ABC+/ABE=/CBE,

ABAD=NBCE

在A/AD和ACBE中,，AB=BC,

AABD=NCBE

:△ABD咨CBE(ASA),

：.AD=CE,

AB=BC=AC=4,BF±AC,

:.CF=-AC=2,ZABF=-ZABC=30°,

22

22，

BF=^BC-CF="2_22=2A/3/EBF=NABE+NABF=15°+30°=45°,

...△8跖为等腰直角三角形，

EF=BF=2y/3,

AD=CE=CF+EF=2+1y[3.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，解题关

键是熟练运用以上性质进行求证.

6.如图1,AA8C中，NBAC=90o,AB=AC,D,£是直线8c上两动点，且/ZME=45。.探究线段AD、

DE、EC三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2,将△23。沿折叠，得A4DF,连接EF,

看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题：

(1)猜想B。、DE、EC三条线段之间的数量关系，并证明；

(2)如图3,当动点£在线段8c上，动点。运动在线段C2延长线上时，其它条件不变，(1)中探究的结论

是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.

【答案】(1)。£2=3£)2+%2

(2)不变，DE2=BD1+EC1,证明见详解

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键.

(1)通过SAS证明4形5均4EC,得到/D自£=45+45=90。，在Rt△。厂E中，^DF2+FE2=DE2，即

DE2=BD2+EC2;

(2)作NE4D=NB4D,且截取//=48,连接。尸，连接EE,先证明△/££)哈△/5D,再证明

“AFE知ACE,则NDFE=ZAFD-ZAFE=135°-45°=90°,在RtADFE中,DF2+FE2=DE2，即

DE2=BD2+EC2.

【解析】(1)解：DE2=BD2+EC2,

图2

•••△Z5C中，ZBAC=9009AB=AC,

：./B=/C=45。,

将沿折叠，得△4。尸，连接E9

.・.Zl=Z.2.AB=AF,ZB=ZAFD=45。,BD=DF,

AF=AC,

・・・/D/E=/2+N3=45。，

Z3=45°-Z2,

•/NB4c=90。,

・•・/I+24=90。—45。=45。，

・・・Z4=45°-Z1,

・•・N3=/4,

AE=AE,

A4E*"£C(SAS),

/.ZC=NAFE=45°,CE=FE,

：.ZDFE=45+45=90°,

在Rt/XDFE中，有DF2+FE2=DE2，即DE2=BD2+EC2.

(2)解:结论不变，DE2=BD2+EC2

作NFAD=/BAD,且截取4尸=48,连接。尸，连接尸£,

A

;AD=AD

:.^AFD^ABD,

：.FD=DB,ZAFD=ZABD,

又;AB=AC,

AF=AC,

AFAE=ZFAD+/DAE=ZFAD+45°,

ZEAC=ABAC-/BAE=90°-(/DAE-/DAB)=45。+ZDAB,

/.ZFAE=/EAC,

又•；AE=AE,

：AAFE均^ACE,

：,FE=EC,ZAFE=ZACE=45°,

ZAFD=AABD=180°-ZABC=135°,

ZDFE=ZAFD-ZAFE=135°-45°=90°,

...在RtZiDFE中，DF2+FE2=DE2>即=BD?+比2.

7.如图，用一副三角板摆放三种不同图形.在。3c中，NABC=90°,AB=CB；S跖中,

NDEF=9Q°,ZEDF=30°.

图1图2图3

(1)如图1,当顶点B摆放在线段。尸上时，过点A作/尸，垂足为点”，过点C作CN1。尸，垂足

为点N,请在图1中找出一对全等三角形，并说明理由；

(2)如图2,当顶点B在线段上且顶点A在线段跖上时，过点C作CP1OE,垂足为点P,猜想线段

AE、PE、CP的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,当顶点A在线段。E上且顶点8在线段E尸上时，若4E=5,BE=1,连接CE,则的面

积为

【答案】Q)AABM知BCN,见解析

Q)PE=CP-AE,见解析

(3)10

【分析】(1)利用、NMBA互余,NMBA、NNBC互余可推得NMAB=NNBC,再根据“角角边”即

可证明AABM知BCN；

(2)由/PCB、NPBC互余,NEBA、/P8C互余推得/PC3=AEBA,再根据“角角边”即可证明ACPB咨ABEA,

再根据全等三角形的性质即可推得/石、PE、CP的数量关系；

(3)作CPLBE延长线交于点P,同理证明尸后，求得BE垂线CP的长度，根据

^AAEC=ABC-SaABE~ABEC即可得解.

【解析】(1)解：尸，CN1DF,

:"AMB=/BNC=90。,

:.ZMAB+ZMBA=90°9

又/ABC=9。。,

:.ZMBA+ZNBC=90°,

/MAB=/NBC,

ZAMB=NBNC

v在“BM和^BCN中，\ZMAB=/NBC,

AB=BC

:AABM为BCN〈AAS).

(2)解：猜想依=CP—/£,证明如下：

CPLDE,

ZCPB=90°,

/./PCB+NPBC=90。,

•・•ZABC=90°,

ZEBA+ZPBC=90°f

/PCB=ZEBA,

・・・ZDEF=ZCPB=90°f

即/3£4=/。P8=90。，

ZCPB=/BEA

在和△BE/中，＜/PCB=/EBA,

CB=BA

；ACPB知BEA(AAS),

•.CP=BE,BP=AE,

,;PE=BE—BP,

:,PE=CP-AE.

(3)解：作CP!_BE延长线交于点尸，

图3

-CPIBP,

NCPB=/BEA=90°,

ZCBP+ZBCP=90°,

•••AABC=90°,

ZCBP+ZABE=90°,

ZABE=ZBCP,

ZBEA=ZCPB

在AABE和ABCP中,<N4BE=NBCP,

AB=BC

“ABE知BCP（A4S）

CP=BE=\,

-：AE=5,BE=\,

Rt^ABE中，AB=yjAE2+BE2=A/52+12=4^=CB，

,•S“EC=S3ABe-S«ABE~S〉BEC，

=-ABBC--BEAE--BECP,

222

=13----,

22

=10.

故答案为10.

【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质与判定、勾股定理，解题关键是熟练掌握一线三等角模型

的全等判定方法.

8.【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1,“8C中，若/B=12,AC=8,求

3C边上的中线40的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长/。到E,使4D=DE,连接BE.请根据小明的

方法思考:

E

图1图2

(1)由已知和作图能得到△/。。0△瓦加,

A.SSSB.ASAC.AASD.SAS

(2)由“三角形的三边关系”可求得4D的取值范围是.

解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证

的结论集合到同一个三角形中.

【初步运用】

(3)如图2,4D是“3C的中线，BE交AC于E,交,AD于F,且/£=跖.若EF=3,EC=2AE,求线

段8尸的长.

【灵活运用】

(4)如图3,在。中，乙4=90。，。为中点，DELDF,DE交AB丁点E,。尸交/C丁点尸，连

接EF,试猜想线段BE,CF,E尸三者之间的等量关系，并证明你的结论.

【答案】(1)D；(2)2<AD<\0-(3)BF=9；(4)线段郎、CF,屈F之间的等量关系为：

BE2+CF2=EF-

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判

定定理和性质定理是解题的关键.

(1)根据全等三角形的判定方法证明即可A/OC为皮>2(SAS)解答；

(2)根据全等三角形的性质结合三角形的三边关系计算即可；

(3)延长AD到使=,连接证明△4DC丝△KZM,根据全等三角形的性质解答：

(4)延长即到点G,使DG=ED,连结GRGC,证明AOBE0AOCG,得到B£=CG,根据勾股定理

解答.

BD=CD

【解析】解：(1)在△ZOC和△瓦加中，<=,

DE=AD

：.AADC咨AEDB(SAS),故选D；

(2),/KADC^EDB,

：.EB=AC=8,

在AABE中，

AB-BE<AE<AB+BE,

AB-BE<2AD<AB+BE

：.2<AD<10-

(3)延长4D到M,使=连接BM,

A

M

•；AE=EF,EF=3,EC=2AE,

：.AC=9,

・・7。是力台。中线，

：.CD=BD,

BD=CD

在dADC和XMDB中，＜ZBDM=ZCDA,

DM=DA

：.AADC汜公MDB,

：.BM=AC=9,ACAD=AM,

AE=EF,

・•・/CAD=ZAFE,

ZAFE=ABFD,

・•・ZBFD=ZM,

・・・BF=BM=AC,

即AF=9；

(4)线段BE；CF、之间的等量关系为：BE2+CF2=EF2.

证明：如图，延长瓦)到点G,使DG=ED,连结GRGC,

「EDLDF,

：.EF=GF,

TO是5。的中点,

・•・BD=CD,

ED=GD

在ABDE和△COG中，＜/BDE=ZCDG,

BD=CD

・•・小BDE会小CDGQSAS),

：.BE=CG,

•・•ZA=90°f

：.ZB+ZACB=90°f

.；ABDE%CDG,EF=GF,

:・BE=CG,ZB=ZGCD,

・・・ZGCD+ZACB=90°,即ZGCF=90°,

・・・RtZ\bG中，CF2+GC2=GF2,

BE2+CF2=EF2.

题型3：勾股定理的实际应用

9.背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著

名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现了一个新的证法.

小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为。、b、c.显然，ZDAB=ZB=90°,

ACLDE.请用°、b、c分别表示出梯形/BCD、四边形/EC。、的面积，再探究这三个图形面积之

间的关系，可得到勾股定理:

则它们满足的关系式为,经化简，可得到勾股定理力+〃=02.

知识运用:

（1）如图2,铁路上/、5两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、。为两个村庄（看作两个点），

AD1AB,BCVAB,垂足分别为/、B,4D=25千米，BC=16千米，则两个村庄的距离为千米

（直接填空）；

（2）在（1）的背景下，若48=40千米，40=24千米，BC=16千米，要在N5上建造一个供应站尸，使

得PC=PD,求出NP的距离.

知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式#^+“6-+81的最小值（0<x<16）.

【答案】小试牛刀：；0（。+6）;；；°（。+6）=：6（。一6）+；

乙乙乙乙乙乙

知识运用：（1）41；

（2）4P=16（千米）；

知识迁移：20.

【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积；

知识运用：（1）连接CO,过点C作/。的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得

CD.

（2）作CO的垂直平分线，交AB于点、P,分别在RtA/P。和RMP8C中用勾股定理表示出C尸与尸。联立方

程求解即可.

知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可.

【解析】解：小试牛刀：

S梯孙Bo?=—a（a+b）,

S、EBC=56（。-6）,

D四边形4ECD―5c,

则它们满足的关系式为：—a（a+Z?）=-^（a—/>）+—c2.

知识运用：

（1）如图2①，连接CD,作CEL4D于点E,

D___

小----二二二二』C

B

图2①

•・•AB=EC=40,

AE=BC=16,

:.ED=9,

有勾股定理得到：DE2+CE2=CD2

:.CD=^DE2+CE2=41(千米)

两个村庄相距41千米.

(2)连接CO,作。。的垂直平分线交48于点P,

设NP=x千米，贝|3尸=（40-方）千米，

在Rt"DP中，DP2=AP2+AD2=x2+242,

在RtA8尸C中，CP2=BP2+BC2=（40-X）2+162,

VPC=PD,

/.X2+242=（40-X）2+162,

解得，无=16,

即4P=16千米.

知识迁移：

如图3,过48作点C的对称点C',连接。C交N8于点P,

图3

根据对称性：AE=BC'=BC=3,

设尸8=x,则4P=16-x,有勾股定理得,

PC=PC=&+9,

DP=^(16-X)2+81.

代数式疗仿+J(16-x『+81的最小值为:

DC'=DP+PC=y/DE2+EC'2=20.

【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应

用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目.

10.综合与实践

【问题情境】

数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2,A

和B是一个台阶两个相对的端点.

【探究实践】

老师让同学们探究：如图①，若/点处有一只蚂蚁要到3点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到8点

的最短路程是多少？

(1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20,宽为15

的长方形，连接经过计算得到长度为,就是最短路程.

【变式探究】

(2)如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30cm,高是8cm,若蚂蚁从点N出发沿着玻

璃杯的侧面到点2,则蚂蚁爬行的最短距离为.

A20

图①图②图③图④

【拓展应用】

(3)如图④，圆柱形玻璃杯的高9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点/处有一滴蜂蜜,

此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点2处，则蚂蚁从外壁8处到内壁4处所

爬行的最短路程是多少？(杯壁厚度不计)

【答案】(1)25；(2)17cm；(3)8处到内壁/处所爬行的最短路程是10cm

【分析】本题考查勾股定理最短路径问题:

(1)直接利用勾股定理进行求解即可；

(2)将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可；

(3)将玻璃杯侧面展开，作3关于E尸的对称点"，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利

用勾股定理求解即可得.

【解析】解：(1)由勾股定理，得：J5=A/202+152=25：

故答案为：25；

(2)将圆柱体展开，如图，由题意，得：

/C=——=15,8C=8,ZC=90°,

2

由勾股定理得：48=+15?=17；

故答案为：17cm.

(3)如图，将玻璃杯侧面展开，作5关于E尸的对称点"，作夕交/E延长线于点D,连接/夕,

由题意得：■D£=；B8'=lcm,N£=9-4=5（cm）,

二.AD=AE+DE-6cm,

:底面周长为16cm,

87）=gxl6=8（cm）

AB'=ylAD2+B'D2=10cm，

由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB'=10cm,

H.(1)【问题发现】①如图1,“3C中，AB=AC,。为8c边上的中点，连接AD.设△23。的面积

和周长分别为百和G，/CD的面积和周长分别为邑和。2,则岳_邑，C_Cz.(填”>"，或"=")

②如图2,A/5C中，D、£是3c边上的两点，若凡3E=；S./BC，则DE与3c的数量关系是

(2)【问题延伸】如图3,四边形/BCD中，ZBAD=ZBCD=90°,AB=AD,若/C的长度为6,求出四

边形/BCD的面积.

(3)【问题解决】国际港务区计划将一块四边形空地开发为小型公园，空地的示意图如图4所示.其中

48=/。，NBAD=NBCD=90°,ZADC=60°,5C=100m.现计划将点A处设置为公园的入口，在CD

边上设置一个出口并修建一条贯穿整个公园的小路根据规划，要求小路将整个公园分成两

块面积相同和周长相同的区域(即A/M)与四边形N8CM的周长和面积都相同)，施工队能否按照规划修建

出这条小路？若能，请求出CM的长度；若不能，请说明理由.(小路的宽度忽略不计)

图4备用图

【答案】(1)①=，=;②DE.BC；(2)18；(3)能，CM=15073+50(m)

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三

角形的性质，

(1)①根据等腰三角形的性质，即可求解；②根据三角形的面积公式，即可求解；

(2)延长CD至E，使得DE=CB,连接NE,证明A48C0"DE(SAS),进而得出AC=AE=6,NCAE=90°,

然后根据三角形的面积公式，即可求解；

(3)延长C0至E,使得。E=3C=100m,过点A作4F/8C交CB的延长线于点尸，同(2)可得

"3C会”DE(SAS),设FB=x,则N8=2x,FC=BC+FB=100+x,根据/尸=得出x=50且+50,

根据勾股定理求得/C,根据(2)的方法求得面积，根据题意在C。上取点使得+=，根

据将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域，得出=进而求得即可求解.

【解析】解：①：“台。中，AB=AC,。为3c边上的中点,

BD=DC,ADIBC

设A4BD的面积和周长分别为W和G,4CD的面积和周长分别为邑和Q,

E=；BDxAD,Sz=gcDxAD,Ct=AB+AD+BD,C2=AC+AD+DC

-S2,C1=C2,

故答案为：=,-.

②设边上的高为〃，

**S“DE=5SAABC=/DExh

S&ABD+S&AEC=_(BD+EC)X〃=_SAABC=SAADE

4AUDA/IJCC2'2AAHL4AD匕

：.DE=BD+EC

即=

(2)如图所示，延长。。至E,4更得DE=CB,连接

A

图3

・.,/BAD=/BCD=90°,

・•・AABC+ZADC=360°-90°-90°=180°

又ZADC+ZADE=180°

：.ZABC=ZADE

AB=AD

在中，\ZABC=ZADE

BC=DE

；."BC丝"DE(SAS)

：.AC=AE=6,/DAE=/BAC

：./CAE=/DAE+ZDAC=ZCAB+ADAC=/BAD=90°

••=^^AEC=—^4CXAE=—X6X6=18

(3)能，CM=150有+50(m)

如图所示，延长C。至E,使得DE=8C=100m,过点A作4F13C交CB的延长线于点B,

备用图

同(2)可得A48c丝”(SAS)

AC=AE,ZCAE=90°

AACE=45°

NACB=90°-NACE=45°,则是等腰直角三角形,

,AF=FC,

•：ABAD=NBCD=90°,ZADC=60°,

/./A8C=120°

ZABF=180°-NABC=60°,则NBAF=30°,

设尸2=x,则/5=2x,FC=BC+FB=100+x,

：.AF=瓜

又：AF=FC

y/3x=100+x

解得：x=50>/3+50

AC=y[2AF=V2xy/3x=y[6x

备用图

在CO上取点M,^CM+DE=MD,

,.・AB+BC+CM+AM=AC+MD+AM=AD+MD+AM,

S"MD=S^ACM+S&ADE=5s四边形为BCD

・・・将整个公园分成两块面积相同和周长相同的区域，贝即为所求,

由(2)可得;XM?XC/=；XS“EC

即:xMDxy/3x=gx3x2

解得：MD=Cx

/.CM==^»-56=^-100=15073+150-100=15073+50(m)

题型4：勾股定理的证明、与弦图有关的计算题

12.阅读材料：面积是几何图形中的重要度量之一，在几何证明中具有广泛应用.出入相补原理是中国古

代数学中一条用于推证几何图形面积的基本原理，它包含以下基本内容：一个几何图形，可以切割成任意

多块任何形状的小图形，总面积保持不变，总面积等于所有分割成的小图形的面积之和.基于以上原理,

回答问题:

图4

(1)把边长为8的正方形按图1方式分割，分割之后(填“能”或“不能”)把图形重新拼成图2中长为

13,宽为5的长方形；

(2)如图3,a,b,c分别表示直角三角形的三边，比较大小：a2+b2c2；Ca+b)22ab：

(3)观察图4,写出(ac+bd)2与(求+炉)(c2+t/2)的大小关系：.

【答案】⑴不能

(2)=;>

(3)(ac+6d)2<(/+〃)(c2+tZ2)

【分析】(1)分别计算正方形的面积和长方形的面积，比较两个图形的面积大小即可得解;

(2)如图3中，分别计算左边大正方形的面积和右边大正方形的面积，即可得/+〃=c2,再利用

(。+6)2=苏+2°6+〃变形得(a+方)？N2ab；

(3)如图4,先由完全平方公式和整式的乘法计算得(ac+bd)2=4202+2qbcd+b2d2,

(tz2+62)(c2+t/2)=a2c2+Q2d2+b2c2+b2d2,(ad-bc)2=a2d2-labcd+Z?2c2^0,进而可得

(ac+bdyw("+〃)(C2+(72).

【解析】(1)解：如图1,图2,

图2

长龙好5、13=65,

・・S正方S长方形,

故答案为：不能;

(2)解：如图3中,

图3

2222

左边大正方形的面积：S^^^=(a+b)=a+2ab+b,右边大正方形的面积：S大正方航〃+4乂:ab=c+2ab,

a2+2ab+b2=c2+2ab，

a2+b2=c2,

(a+b)2=a2+2ab+b2,

a2+b2=(a+b)2-2ab,

22

1.*a+b>09

(a+-2ab20,

(a+,

故答案为：=,>;

(3)解：如图4,

图4

(ac+bd)2=a2c2+2abcd+b2d2,(a2+Z>2)Cc2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,

(ad-bcY=a1d1-2abed+b1c220,

a2d2+b2c2>labcd,

*'•(ac+6dCa2~\~b2)(c2+<72)>

故答案为：(tzc+bd)2^：(a2+Z)2)(C2+(72).

【点睛】本题考查了完全平方公式及勾股定理，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.

13.阅读理解：

【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1,利用此图，可以验证勾股定理吗？

【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积.从

222

而得数学等式：(a+6f=c2+4x；a6,化简证得勾股定理：a+b=c.

图5图6

(1)【初步运用】如图1,若b=2a,则小正方形面积：大正方形面积=_；

(2)【初步运用】现