九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳

初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结

1、勾股定理：直角三角形两直角边。、。的平方和等于斜边。的平方。az+b2=c2

2、如下图，在Rt^ABC中，zC为直角，贝1UA的锐角三角函数为（NA可换成NB）:

\定义表达式取值范围关系

正0<sinA<1

..ZA的对边

sinA=---——........si•nA4=—a

斜边csinA=cos5

弦(NA为锐角)

cosA=sinB

余0<cosA<1

.ZA的邻边“bsin2A+cos2A=1

cosA=----——------cosA=—

斜边c

弦(NA为锐角)

正tanA>0

4ZA的对边,a

tanA=-----一人tanA=—

/A的邻边b

切(NA为锐角)

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的IE玄值。

由/A+ZB=90。

qinA-ccsRsinA=cos(90°-A)

得

cosA=sinB/B=90°-/A,cosA=sin(90°-A)

邻边

4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

由N4+NB=90°

tanA=cotB____________)tanA=cot(90°-A)

得/B=90°-/A,

cotA=tanB

5、0\30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值（重要）

三角函数0°30°45°60°90°

y/3

sina0j_近1

22~2~

cosa1x/3V21_0

2

tana01-

—

6、正弦、余弦的增减性：

当（Twa《90°时，sina随a的增大而增大，cosa随a的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：

当0。<（1<90°时，tana随a的增大而增大，

8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）一所有未知的边和角。

依据：①边的关系：a2+W=C2；②角的关系：A+B=90。；③边角关系：三角函数的定义。（注意：尽量避

免使用中间数据和除法）

9、应用举例：

（1）仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

（2）坡面的铅直高度h和水平宽度I的比叫做坡度（坡比）。用字母，表示，即j。坡度一般写成1：m的形式，

如『=1：5等。把坡面与水平面的夹角记作观（叫做坡角）,那么j=2

tana

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3,OA、OB、OC.0D的方向角

分别是:45。、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。的水平角，叫做方向角。如图4,0A、OB、OC、0D的方

向角分别是：北偏东30°（东北方向）,南偏东45°（东南方向），

南偏西60。（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

要点一：锐角三角函数的基本概念

一、选择题

L三角形在方格纸中的位置如图所示,则tana的值是（)

Ac.i

-l4Pt

2在aABC中，NC=90°,tanA=1,贝(]sinB=(

)

3

A・噂BC.1

-t4DY

4.如图，在RtZXABC中，ZACB=RtZBC=1AB=2,则下列结论正确的是（）

A.sinA=B.tanA=—C.c°sB=叵D.tanB="

222

A

C

5.如图，在Rt^ABC中，是斜边AB上的中线，已知CD=2,AC=3，贝Usin3的值是（）

AB.2c.2

-I24-I

6.如图，在△ABC中，ZACB=90,CD'AB于Q，若AC=2=3/，则tanZBCD的值为()

（c）q（D）¥

(A)串（B）：r

二、填空题

3

7.在SBC中，zC=90°,BC=6cm,sinA=-，贝！IAB的长是cm.

8.如图，角a的顶点为。，它的一边在x轴的正半轴上，另一边0A上有一点P（3,4），则sina=

_3

9.如图，菱形ABCD的边长为10cm,DE_LAB,sinA=-,则这个菱形的面积=cm2.

三、解答题

10如图，在AABC中，AD是BC上的高，tan3=cosZDAC,

(1)求证：AC=BD;(2)若sinC=—,BC=12,求AD的长.

要点二、特殊角的三角函数值

一、选择题

1.sin30°的值为（）

A,更B.叵C.1D,史

2223

2..菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，ZAOC=45°，。。=0,则点B的坐标为（）

A.(0)B.(1，/)C.(0+1,1)D.(1，0+1)

3.某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°,否则就有危险，那么梯

子的长至少为（）

A.8米B.8JT米C.包米D.丝米

33

4.（宿迁中考）已知a为锐角，目sin（a-10。）=*,则a等于（）

A.50°B,60°C,70°D,80°

5.A（cos60°,-tan30°）关于原点对称的点A1的坐标是（）

A且〕B①巫）C.（1⑹D.（1⑺

I2'3）I2>3J「厂司「'NJ

6（襄樊中考）计算：cos245。+tan60、cos30。等于（）

（A）1（B）。（C）2（D）W

二、填空题

7.4cos30°sin600+（-2）-i-（^009-2OO8）o=.

8.如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与钢缆固定点C的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60°,

则这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是_米.（结果保留根号）

9.计算：（1）sin6（T・cos30。一1=10计算匣竺--tan45。的值是,

2---------------cos300-----------------

三、解答题

11.计算：3-i+(2n-l)o-直tan30°-tan45°

3

12.计算：2sin60°—3tan30°+H

+(-1)2009

13.计算：#sin60°-0cos45°+那

要点三、解直角三角形在实际问题中的运用

一、选择题

1.某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°,否则就有危险，那么梯

子的长至少为（）

A.8米

2.为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据（单位：米）,则该坡道倾斜角a的正切值是（）

A.1B.4C.J_D.

4加厉

3.如图，先锋村准备在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离

AB为（）

4.如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m.如果在坡度为0.75的山坡上种树，也

要求株距为4m,那么相邻两树间的坡面距离为（）

A.5mB.6mC.7mD.8m

5.如图，小明要测量河内小岛B到河边公路I的距离，在A点测得ZBAO=30°,在C点测得ZBCD=60°,又

测得AC=50米，则小岛B到公路I的距离为（）米.

100^/3

A.25cD.25+25?

二、填空题

6.如图，市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角NACB的正弦值为可，

则坡面AC的长度为m.

7.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米北匕时他与水平地面的垂直距离为2.米则这个坡面的坡度为.

8.如图，一艘海轮位于灯塔尸的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于

灯塔尸的南偏东30°方向上的3处，则海轮行驶的路程A3为海里（结果保留根号）.

9长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60。角，梯子的顶端沿墙面升高了米

10.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cosZBAC=二，则梯子长AB=米.

11.小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖

把挪动位置，使其的倾斜角为75°,如果拖把的总长为1.80m，则小明拓宽了行路通道.m.(结

果保留三个有效数字，参考数据：sinl5%26,cosl5噎0.97）

三、解答题

12如图（1）,一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定.如（2）是如图（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若

ZAOB=45°,NOAB=30°,OA=60cm,求点B到OA边的距离.（/心1.7，结果精确至ij整数）

图⑴图C2)

13.如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5米，测得仰角a为

30°,点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米？（取口=1.414,乖=1.732,

结果保留两位小数）