2024-2025学年江苏省南通市某中学高三（上）期初数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市如皋中学高三（上）期初数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合U=R,集合4={%|-3<x<1],B={%|0<%<2],则图中阴影部分表示的集合为（）

A.（—3,0）B.（—1,0）

C.（0,1）D,（2,3）

2.已知圆锥的底面半径为"，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为

（）

A.&B.当瓦rC.生回rD.返n

3333

3.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是（）

A.x2=±3yB.y2=±6xC.x2=±12yD.x2=±6y

4.方程10g3X=log6X♦log/的实数解有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

5.已知直线久-4y+9=0与椭圆+5=l（0<6<4）相交于4B两点，椭圆的两个焦点是F2,线段

4B的中点为C（-l,2）,则△CF1F2的面积为（）

A.2避B.4^/2C.24D.44

6.已知圆C的方程为/+（y-2）2=a,贝U"a>2”是“函数y=因的图象与圆C有四个公共点”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知双曲线C：\=l（a>0力>0）的左、右焦点分别为Fi，&，点M是双曲线C右支上一点，直线

FiM交双曲线C的左支于N点.若|%N|=2,尸2Ml=3,\MN\=4,且△的外接圆交双曲线C的一条

渐近线于点P0o，yo）,则|yo|的值为（）

A.邓B考C.邛D.3

8.%,尸2分别是椭圆今+f|=l（a>b〉0）的左、右焦点，过&作直线交椭圆于4B两点，已知g1B

Fi，AABFr=30°,则椭圆的离心率为（）

A.书在B.普芷C.V6-V2D.76-V3

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

第1页，共8页

9.已知曲线C：mx2+ny2=1,下列结论中正确的有()

A.若zn>0,则C是椭圆，其焦点在久轴上

B.若租=几>0,贝UC是圆，其半径为/

C.若则C是双曲线，其渐近线方程为y=±

D.若zn=0,n>0,则C是两条直线

10.如图，正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为4,点M是其侧面4)。遇1上的一个动点(含边界)，点P是线段C

上的动点，则下列结论正确的是()

C15----71G

A.存在点P,M,使得二面角M-DC—P大小为?pip

B.存在点P,M,使得平面BiDiM与平面P8D平行.....IL

C.当P为棱CCi的中点且PM=2#时，则点M的轨迹长度为馅兀A^~----------%

D.当M为的中点时，四棱锥M—2BCD外接球的表面积为等

11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)上存在一点E(2,t)到其焦点的距离为3,点P为直线久=-2上一点，过点

P作抛物线C的两条切线，切点分别为4B,。为坐标原点.则()

A.抛物线的方程为产=4xB.直线48一定过抛物线的焦点

C.线段长的最小值为4避D.OP1AB

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.过点(2,3)的等轴双曲线方程为.

13.过点P(l,2)的直线I与曲线y=产千有且仅有两个不同的交点，则/斜率的取值范围为.

14.已知过点(0,a)可作三条直线与曲线/(X)=苧-久2+1相切，则实数a的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数/(%)=2ex(x+1).

(1)求函数/(%)的极值；

(2)求函数/(久)在区间[t,t+l](t>一3)上的最小值g(t).

16.(本小题16分)

设椭圆总+哙=l(a>6>0)的左焦点为F，右顶点为力，离心率为I，已知力是抛物线y2=2px(p>0)的焦

点，F到抛物线的准线I的距离为今

①求椭圆的方程和抛物线的方程;

第2页，共8页

(II)设I上两点P,Q关于久轴对称，直线力P与椭圆相交于点BCB异于点4),直线8Q与x轴相交于点D,若

△APD

的面积为坐，求直线4P的方程.

17.(本小题16分)

如图，直三棱柱ABC-公场的的体积为1,AB1BC,AB=2,BC=1.

(1)求证：BC1J.&C；

(2)求二面角Bi-AiC-B的余弦值.

18.(本小题16分)

设双曲线C的方程为*2=l(a>0,b>0),直线I过抛物线y2=8x的焦点和点(0,6).己知C的焦距为6且一

条渐近线与/平行.

(1)求双曲线C的方程；

(2)已知直线机过双曲线C上的右焦点，若机与C交于点4B(其中点4在第一象限)，与直线》=方交于点7,

过T作平行于。力的直线分别交直线。B,x轴于点P,Q,求售.

19.(本小题16分)

已知函数/(久)=电署，其中e为自然对数的底数.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若方程/(%)=1有两个不同的根%1，x2.

(i)求。的取值范围；

(工)证明：%i+%2>2.

第3页，共8页

参考答案

1.A

2.B

3.C

4.C

5.B

6.B

7.0

8.A

9.CD

10.BC

ll.ACD

12*3=1

13.［-2,-1)u(0,|］

14.(1,1)

15.解:(l)f'(x)=2ex(x+2),

由/''(x)>0,得x>-2；由/''(久)<0,得久<-2,

/(X)在(-2,+8)上单调递增，在(一8,-2)上单调递减，

f(x)的极小值为-2e-2,无极大值.

(2)由(1)知/Q)在(―2,+8)上单调递增，在(—8,—2)上单调递减，

t>-3,t+1>—2.

①当—3<t<—2时,Qx)在［t,-2)上单调递减,在(—2/+1］上单调递增，g(t)=)(—2)=-2eR

②当t2-2时，f(x)在［t,t+1］上单调递增,g(t)=f(t)=2e\t+1).

_f—2e_2,—3<t<—2

g«)=［2N(t+l),t>-2-

16.解：(I)设尸的坐标为(-c,0),

£_工

a2

依题意可得।。,

a—c=-1

2

第4页，共8页

解得Q=1,C=-1,p=2,

于是拉=a2—c2=p

所以椭圆的方程为/+誓=1,抛物线的方程为y2=4%.

(II)直线/的方程为冗=一1,由题意，设直线ZP的方程为汽=my+1(血。0),

联立方程组K;蔡;+1,

77

解得点故Q(T,9,

'%=my+1

联立方程组%2+逐=i，

消去工,整理得(3m2+4)y2+6my=0,

解得y=0,或y=一而詈7，

.D(一3m2+4~6m.

•'以3m2+44而+小

直线BQ的方程为

(3―5)。+D-导*+"金=0,

令y=。，解得“修普故砥津，0)，

.Mni12-3?n26m2

"'AU'~=137n2+2=-3小2+2'

又•.公4PD的面积为乎，

.1*67n22_^/6

XX，

1123m2+2|m|-T

整理得37n2-2通|利+2=0,

解得=里，­­•m=土当,

二直线4P的方程为3*+my—3=0,或3x—my—3=0.

17.(1)证明：直三棱柱ABC-AiBiCi的体积为：V=^XAB-BC-AA^=^x2X1xAAr=1,

则A4i=1=BC,四边形BCQBi为正方形，

直棱柱力BC-&B1C1中，BBil平面4BC,又AB1BC,

以B为原点，BC,BA,BBi所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

第5页，共8页

则8(0,0,0),%(0,0,1),C(l,0,0),4式0,2,1),"1,0,1),

西=(1,0,1),A^C=(1-2-1)

BCi,A\C=1x1+0x(—2)+1x(—1)=0,

所以跖1碇，即8cliAC

(2)解：BC=(1,0,0),两=(0,2,1),

设平面8C4i的法向量：nJ=

则濡•两>=2yi+zi=0'取Vi=l，特%=(0，1，—2),

瓦？=(1,0,-1),瓦不=(020)，

设面B1CZ1的法向量厄=(%2)2/2)，

则慎舐口取比2=L得正=(1,。,1)，

设二面角Bi-AC-B的大小为氏

则1cos©=|cos<^2>|=K_gi=-^L=^0,

因为。为锐角，所以二面角Bi-AC-B余弦值为学.

18.解：(1)因为抛物线必=8式的焦点为(2,0),

所以直线1的斜率例=-，

因为双曲线C的一条渐近线与/平行，

所以2=号即。=2.

又因为双曲线C的焦距为2c=6,即c=3,

所以力2=c2—a2=5,

77

所以双曲线C的方程为［一卷=1.

45

(2)双曲线C的右焦点为(3,0),

第6页，共8页

由题意知直线血的斜率存在且不为0,

设直线m的方程为％=my+3(mW0),4(巧,力),久起必)，

空—乃二1

联立14_蒜+3，消去%得(5m2-4)丫2+30my+25=0,5m2—4W0,

且4=400(1+m2)>0,

所以丫八1+J丫"2=一5;7n艺2-4'y八/J24=51m2—4

将久=拊入久=my+3得yr=一亮，

所以T4一为.

337n

直线PQ方程为y=崇工-今一亲，与直线08：y=京联立，

而彳曰__4myiy2+5工1丫2_4nly/2+5(myi+3)y2_3znyiy2+5y2

E/P-3m(%2yi—%iy2)-3m[(my2+3)yi—(my1+3)372]—3m(yi—y2)'

因为yiy2=一高(yi+'2)，

所以yp=T(yi+y2)+5y2=-|(yi-y2)=—2.

3m(yi-y2)3m(yi-y2)67n

因为y<?=0,所以yp=

所以P为TQ的中点，即用=L

19.(1)解：由题意得f(x)=喀=匕譬，%e(0,+8),「(X)=一震，

由/'(%)=0,得久=1.

若a>0,则当0<%<1时，/'(%)>0,/(%)单调递增，当％>1时，/'(%)<0,/(%)单调递减;

若a<0,则当0V%<1时，/'(%)<0,/(%)单调递减，当久>1时，/'(%)>0,/(%)单调递增.

综上，当。>0时，/(%)在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,+8)内单调递减；

当。<0时，/(%)在区间(0,1)内单调递减，在区间(L+8)内单调递增.

(2)