人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题5.6 函数y=Asin(ωx+φ) 重难点题型精讲及检测（原卷版）

第第页专题5.6函数SKIPIF1<0（重难点题型精讲）1．匀速圆周运动的数学模型筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-2).明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2).假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.2．SKIPIF1<0,A对函数SKIPIF1<0的图象的影响(1)SKIPIF1<0对SKIPIF1<0的图象的影响函数SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）的图象，可以看作是把正弦曲线SKIPIF1<0上所有的点向左(当SKIPIF1<0>0时)或向右(当SKIPIF1<0<0时)平移|SKIPIF1<0|个单位长度而得到(可简记为“左加右减”).(2)SKIPIF1<0对SKIPIF1<0的图象的影响

函数SKIPIF1<0的图象，可以看作是把SKIPIF1<0的图象上所有点的横坐标缩短(当SKIPIF1<0>1时)或伸长(当0<SKIPIF1<0<1时)到原来的SKIPIF1<0倍(纵坐标不变)而得到.(3)SKIPIF1<0对SKIPIF1<0的图象的影响

函数SKIPIF1<0的图象，可以看作是把SKIPIF1<0图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.(4)由函数SKIPIF1<0的图象得到函数SKIPIF1<0的图象以上两种方法的图示如下：3．函数SKIPIF1<0的图象类似于正弦型函数，余弦型函数SKIPIF1<0的图象的画法有以下两种.

(1)“五点法”，令SKIPIF1<0，求出相应的x值及y值，利用这五个点，可以得到SKIPIF1<0在一个周期内的图象，然后再把这一段上的图象向左向右延伸，即得SKIPIF1<0的图象.

(2)“变换作图法”的途径有两种.

一是类似于正弦型函数的变换作图法，可由SKIPIF1<0的图象通过变换作图法得到SKIPIF1<0(SKIPIF1<0>0,A>0)的图象，即：二是由诱导公式将余弦型函数SKIPIF1<0转化为正弦型函数，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0的图象通过变换作图法得到SKIPIF1<0的图象即可.【题型1“五点法”作函数SKIPIF1<0的图象】【方法点拨】用“五点法”画函数SKIPIF1<0(x∈R)的简图，先作变量代换，令X=SKIPIF1<0，再用方程思想由X取SKIPIF1<0来确定对应的x值，最后根据x,y的值描点、连线、扩展，画出函数的图象.【例1】用五点法作函数y=Asinxπ2πωx+φ0ππ3π2πy040-40则A，ω，φ的值分别为（

）A．4，2，−π3 B．4，12，π3 C．4，2，π6【变式1-1】用“五点法”作y=2cosx−1在[0,2π]的图象时，应取的五点为（A．(0,1),π2,0C．(0,1),(π,−3),(2π,1),(3π,−3),(4π,1) D．(0,1),【变式1-2】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asinωx+φ0ππ3π2πxππ5π7π3πy020−20则f(x)的解析式为（

）A．f(x)=2sin(x−πC．f(x)=sin(2x−π【变式1-3】小明用“五点法”画函数f(x)=Asinωx+φ0ππ2πxπ7πy=A020−20请你根据已有信息推算A，ω,φ的值依次为（

）A．2，2，−π3 B．2，2，π6 C．2，π，−【题型2三角函数间图象的变换】【方法点拨】可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.【例2】为了得到函数y=cosx的图象，只需将函数y=sinA．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移π6B．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移π3C．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移πD．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移π【变式2-1】将函数fx=sin2x的图象先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数gA．12 B．−32 C．−【变式2-2】把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π6个长度单位，得到函数y=sin2x−A．f(x)=sin4x+πC．f(x)=sinx2【变式2-3】已知函数fx=cos2x−3π4，先将fx的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移πA．gx=sinxB．gx=−【题型3与三角恒等变换有关的图象变换问题】【方法点拨】根据三角恒等变换的相关知识对所给解析式进行化简，利用图象变换规律进行变换即可.【例3】已知函数fx=sin2ωx-cos2ωx+1(0<ω<1)，将fx的图像先向右平移π4个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数A．14 B．12 C．23【变式3-1】已知函数f(x)=sin2x+πA．函数f(x)的最小正周期为2B．函数f(x)在−πC．将函数f(x)的图像向左平移π6个单位长度，所得图像对应的函数解析式为D．将函数f(x)的图像向左平移π12个单位长度，所得图像对应的函数解析式为【变式3-2】将函数f(x)=3sinxcosx+cos2x−1的图象向右平移π6A．−π12+C．−π3+2k【变式3-3】已知函数fx=cosA．函数fx的最小正周期为B．函数fxC．函数fx在−D．将函数fx的图象向右平移π12【题型4由部分图象求函数的解析式】【方法点拨】根据部分图象求出解析式中的A，SKIPIF1<0，即可得解.【例4】函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2A．f(x)=2sinx−C．f(x)=2sinx−【变式4-1】已知函数fx=Asinωx+φ的图象如图所示，则A．fx=2cosC．fx=sin【变式4-2】已知函数fx=AsinA．直线x=π是函数fxB．函数fx的图象的对称中心为−πC．函数fx在3πD．将函数fx的图象向左平移π【变式4-3】函数fx=AsinA．函数fx的解析式为B．函数fx的单调递增区间为C．为了得到函数fx的图象，只需将函数gx=2D．函数fx的图象关于点k【题型5三角函数模型在匀速圆周运动中的应用】【方法点拨】利用三角函数模型解决实际问题时，首先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切型函数模型；其次是寻找数据，建立函数解析式并解题；最后将所得结果“翻译”成实际答案，要注意根据实际作答.【例5】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；（2）求游客甲在开始转动5min后距离地面的高度；（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.【变式5-1】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用，明朝科学家徐光启所著《农政全书》中描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向转一周的时长为2min，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5m，筒车上均匀分布了12个盛水筒，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为y（单位：m）（在水面下则y为负数），若以盛水筒P装刚浮出水面时开始计算时间，则y与时间t（单位：min）之间的关系为y=Asin(1)求A，m，φ，b的值；(2)盛水简出水后至少经过多长时间就可以到达最高点？【变式5-2】已知电流随时间t变化的关系式是i=5sin(1)求电流i的周期､频率､振幅和初相;(2)分别求t=0,1【变式5-3】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）（在水面下则h为负数）.(1)求点P距离水面的高度为h关于时间为t的函数解析式；(2)求点P第一次到达最高点需要的时间（单位：s）.【题型6函数SKIPIF1<0与三角恒等变换的综合应用】【方法点拨】对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化.【例6】已知函数fx(1)求函数fx(2)将函数fx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π6个单位，得到函数gx的图象，当x∈【变式6-1】已知函数fx(1)求函数fx在区间−(2)将函数fx图像向右移动π6个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的a0<a<1倍得到y=gx的图像，若y=gx【变式6-2】已知函数f(x)=23(1)若f(x)=0,x∈−π2(2)将函数f(x)的图象向左平移π3个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在π【变式6-3】记函数f(x)=sin2ωx+3sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期为(1)求ω的值；(2)将函数y=fx的图象向左平移π4个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=gx的图象，求g专题5.6函数SKIPIF1<0（重难点题型检测）一．选择题1．某同学用“五点法”画函数fxωx+φ0ππ3π2xπ5πA05−50根据表格中的数据，函数fx的解析式可以是（

A．fx=5sinC．fx=5sin2．为了得到函数y=cosx的图象，只需将函数y=sinA．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π3B．先横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移2π3C．先横坐标缩短到原来的12倍，再向左平移πD．先横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移2π3．将函数fx=sinπ3A．x=π12 B．x=π4 C．4．已知函数fx=sinωx+φω>0,φ<π2与函数y=gx的部分图象如图所示，且函数A．12 B．1 C．32 5．函数fx=3sinωx+φ（ω>0且0<φ<π）在一个周期内的图像如图所示，将函数y=fx图像上的点的横坐标伸长为原来的3倍，再向左平移πA．gx=3sinC．gx=−3sin6．已知：函数fx=3A．将fx的图像向右平移π6个单位长度得B．fx在π4C．若fx1=fxD．fx的图像关于点π7．如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为332m，设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为d=Asinωt+φ+kA>0,ω>0,−π2<φ<πA．332，π15，3，π6 B．332C．3，π15，332，−π6 D．3，8．已知函数f(x)=3①函数f(x)的最小正周期为π；②π12,−1③x=π3是函数④将函数f(x)的图像向左平移π12个单位长度，即可得到函数y=其中所有正确的结论的序号是（

）A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①③二．多选题9．下列四种变换方式中能将函数y=cosx的图象变为函数y=cosA．向右平移π4个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的B．向左平移π8C．每个点的横坐标缩短为原来的12，再向右平移πD．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π410．函数fx=3sinA．fB．fx图象的一条对称轴方程是C．fx图象的对称中心是kπD．函数y=fx+11．已知函数fx=23sinωxcosωx+2cos2ωx(ω>0)，且fxA．ω的值为1B．fx的单调递增区间为C．x∈0,π2D．x∈0,π2时，12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．一半径为2米的筒车水轮如图3所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计时，则（

A．点P再次进入水中时用时30秒B．当水轮转动50秒时，点P处于最低点C．当水轮转动150秒时，点P距离水面2米D．点P第二次到达距水面1+3三．填空题13．将函数y=3sinx+cosx,x∈R图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图像向左平行移动π14．如图为函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图）．假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M距离水面的高度H（单位：米）与转动时间t（单位：秒）满足函数关系式H=2sinπ60t+φ+54，φ∈0,π2，且16．把y=sinx的图象向右平移φ0<φ<π2个单位，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍．得到函数①f(x)的一个单调递减区间为π3②f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位得到的函数是一个偶函数，则m的最小值为π3③f(x)的对称中心为kπ④若关于x的方程2[f(x)]2+nf(x)+1=0在区间π2,其中，判断正确的序号是．四．解答题17．将函数y=sin2x向右平移π（I）求y=fx（II）用“五点法”做出函数y=fx