人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题5.2 三角函数的概念-重难点题型精讲及检测（原卷版）

第第页专题5.2三角函数的概念-重难点题型精讲1．任意角的三角函数(1)利用单位圆定义任意角的三角函数设SKIPIF1<0是一个任意角，SKIPIF1<0∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).

①把点P的纵坐标y叫做SKIPIF1<0的正弦函数，记作SKIPIF1<0，即y=SKIPIF1<0；

②把点P的横坐标x叫做SKIPIF1<0的余弦函数，记作SKIPIF1<0，即x=SKIPIF1<0；

③把点P的纵坐标与横坐标的比值SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的正切，记作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(x≠0).我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数

如图，设SKIPIF1<0是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.2．三角函数的定义域和函数值的符号(1)三角函数的定义域(2)三角函数值在各象限的符号由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知

①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号；

②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；

③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负.

因此，正弦函数(SKIPIF1<0)、余弦函数(SKIPIF1<0)、正切函数(SKIPIF1<0)的值在各个象限内的符号如图所示.

3．诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等.

由此得到一组公式(公式一)：4．同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的基本关系(2)基本关系式的变形公式【题型1任意角的三角函数的定义及应用】【方法点拨】解决此类问题的关键是正确理解任意角的三角函数的定义.【例1】已知角α的终边经过点M1,2，则cosα=A．63 B．33 C．2 【变式1-1】设α是第二象限角，Px,8为其终边上的一点，且sinα=45，则A．−3 B．−4 C．−6 D．−10【变式1-2】已知角α的终边经过点P−4m,3mm≠0，则2sinA．−35 B．25 C．1或−25【变式1-3】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A−1,y是角θ终边上一点，且sinθ=−31010A．3 B．−3 C．1 D．−1【题型2三角函数值在各象限的符号】【方法点拨】对于确定角SKIPIF1<0是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据上述三角函数值的符号来确定角SKIPIF1<0是第几象限角，则它们的公共部分即所求；对于已知角SKIPIF1<0的终边所在的象限来判断角SKIPIF1<0的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来解决.【例2】已知α为第二象限角，则（

）A．sinα<0 B．tanα>0 C．cosα<0【变式2-1】已知α为第二象限的角，则1−cos2αA．sinα B．−sinα C．±【变式2-2】若sinθ<0且tanθ<0，则角θ所在的象限是（A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【变式2-3】设α是第一象限的角，且cosα2=cosαA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【题型3诱导公式一的应用】【方法点拨】1.诱导公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等.2.利用诱导公式一可将负角或大于等于2π的角的三角函数化为0~2π之间的角的同名三角函数，实现了“负化正，大化小”.【例3】求值：3cos【变式3-1】计算下列各式的值：(1)tan405°−sin450°+cos750°【变式3-2】化简下列各式：(1)sin760∘1−cos240∘【变式3-3】求下列各式的值：(1)cos25π3＋tan−(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.【题型4根据同角三角函数的基本关系求值】【方法点拨】第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；第二步：依据角的终边所在象限进行分类讨论；第三步：利用同角三角函数的基本关系式及其变形公式，求出其余三角函数值.【例4】已知tanα=−2，则sinα−3cosA．−7 B．−53 C．−【变式4-1】已知sinα−cosα=12A．−34 B．34 C．−【变式4-2】已知sinα+cosα=15，且α∈A．±75 B．−75 C．【变式4-3】已知tanθ=2,则cosθ−sinA．−13 B．13 C．−3【题型5三角函数式的化简】【方法点拨】1.化简原则：三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，使结果尽可能简单，也就是项数尽可能少，次数尽可能低，函数种类尽可能少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值.2.化简常用的方法：(1)对于含有根号的，常把被开方数(式)化成完全平方数(式)，然后去根号达到化简的目的；(2)化切为弦，从而减少函数种类，达到化简的目的；(3)对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造SKIPIF1<0，以降低次数，达到化简的目的.【例5】（1）已知cosα+2sinα=0（2）已知sinβ+cosβ=23【变式5-1】已知3sin(1)求tanα的值；(2)求sin【变式5-2】已知tanα=2(1)1sinαcosα；【变式5-3】已知3π4<α<π(1)求tanα(2)求sinα+(3)求2sin【题型6三角恒等式的证明】【方法点拨】三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异.【例6】求证：(1)(1−cosαsinα+【变式6-1】求证：(1)1−2sinxcos【变式6-2】求证：sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α【变式6-3】求证：(1)sinα−cosα+1sinα+cos专题5.2三角函数的概念-重难点题型检测一．选择题1．cos−23πA．−12 B．12 C．−2．已知P−2,y是角θ终边上一点，且sinθ=225A．−225 B．225 3．已知tanα=2，则sinαcosA．−25 B．−52 C．4．已知角α的终边经过点P1,3，则sinα+cosA．43 B．53 C．2 5．已知cosα−3sinα=0A．−54 B．−45 C．6．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合．若角α终边上一点P的坐标为cos2π3,sinA．−32 B．−32 C．7．如果θ是第二象限角，且满足cosθ2−sinθA．是第一象限角 B．是第三象限角C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角 D．是第二象限角8．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，若S1S2A．355 B．255 C．二．多选题9．给出下列各三角函数值：①sin−100∘；②cos−220∘；③tanA．① B．② C．③ D．④10．已知θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=A．sinθcosθ<0 B．sinθ−cosθ=11．阅读下列命题：其中正确的命题为（

）A．终边落在x轴上的角的集合αB．同时满足sinα=12C．设tanα=12且D．1−12．下列四个选项，正确的有（

）A．Ptanα,cosB．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为1C．若角α的终边经过点a,2aa≠0，则D．sin三．填空题13．若角α的终边过点P(m,−1)，且cosα=−255，则m=14．比较大小：cos−174π15．若A∈0,π，且sinA+cosA=716．若α，β∈0,π2，且1+sin2αsin四．解答题17．已知顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合的角α的终边上有一点P−3,m，且sinα=24m18．确定下列各三角函数值的符号：(1)sin4π3；(2