人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题1.2 集合间的基本关系-重难点题型精讲及检测（教师版）

第第页专题1.2集合间的基本关系-重难点题型精讲1．子集的概念2．真子集的概念3．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.4．空集的概念【题型1子集、真子集的概念】【方法点拨】①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．②不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．③在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.【例1】（2022•新疆模拟）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}，则A的子集共有（）A．3个 B．4个 C．8个 D．16个【解题思路】化简集合A，再求子集个数即可．【解答过程】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜3，x∈N}＝{0，1，2}，∴A的子集共有23＝8，故选：C．【变式1-1】（2022•新疆模拟）已知集合A＝{x|x2＜3，x∈N}，则A的真子集共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．7个【解题思路】可得出集合A＝{0，1}，然后可得出集合A的真子集个数．【解答过程】解：∵A＝{x|x2＜3，x∈N}＝{0，1}，∴A有22﹣1个真子集，即3个真子集．故选：C．【变式1-2】（2022春•兖州区期中）设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，则在集合A的子集中，有2个元素的子集个数为（）A．A62 B．C62 C．6【解题思路】有2个元素，相当于从6个数中随机抽取2个．【解答过程】解：从6个数中随机选取2个，即为C62，故选：【变式1-3】（2021秋•尚志市校级月考）已知集合A={x∈N|86−xA．5个 B．6个 C．7个 D．8个【解题思路】解出集合A，再由含有n个元素的集合，其真子集个数为2n﹣1个可得答案．【解答过程】解：已知集合A＝{x∈N|86−x∈N}＝{2，4，5}，则集合A真子集的个数为23﹣故选：C．【题型2集合的相等与空集】【方法点拨】①利用集合相等的定义和集合中的元素的性质去解题．②利用空集的定义去解题.【例2】（2021秋•新余期末）下列集合与集合A＝{2022，1}相等的是（）A．（1，2022） B．{（x，y）|x＝2022，y＝1} C．{x|x2﹣2023x+2022＝0} D．{（2022，1）}【解题思路】利用集合相等的定义直接判断．【解答过程】解：对于A，（1，2022）≠{2022，1}，故A错误；对于B，{（x，y）|x＝2022，y＝1}≠{2022，1}，故B错误；对于C，{x|x2﹣2023x+2022＝0}＝{2022，1}，故C正确；对于D，{（2022，1）}≠{2022，1}，故D错误．故选：C．【变式2-1】（2021秋•大姚县校级期中）下列四个集合中，是空集的是（）A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5} C．{x∈N|x2﹣1＝0} D．{x|x＞4}【解题思路】空集的定义：无任何元素的集合，即可得出结论．【解答过程】解：空集的定义：无任何元素的集合，选项B是空集．故选：B．【变式2-2】（2021秋•西宁期末）设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，则a﹣b＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【解题思路】由P＝Q，求出a，b的值，再计算a﹣b的值．【解答过程】解：∵P＝Q，∴a=−1−b=1，解得a=−1b=−1，∴a﹣b＝0，故选：【变式2-3】（2021秋•海安市期中）设a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，若P＝Q，则a+b＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【解题思路】由集合元素的互异性，可求出结果．【解答过程】解：∵集合P＝{0，1，a}，Q＝{﹣1，0，﹣b}，且P＝Q，∴﹣b＝1，a＝﹣1，∴a+b＝﹣2，故选：A．【题型3集合间关系的判断】【方法点拨】①列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．②元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．③图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．【例3】（2022春•麒麟区校级期中）已知集合M={y|y=2x+13，x∈Z}，N={y|y=A．M＝N B．M⊂N C．M⊃N D．M∩N＝ϕ【解题思路】通过分析两个集合中元素的关系，结合集合子集的定义分析求解即可．【解答过程】解：因为集合M＝{y|y=2x+13，x∈Z}，集合N＝{y|y=23x﹣1，x∈Z}＝{y|y=2x−33=2(x−2)+13，x【变式3-1】（2022•河南模拟）已知集合M={x|x=kπ4A．N⊆M B．M⊆N C．M＝N D．M∩N＝∅【解题思路】将两集合中的元素满足的条件化归统一即可判断．【解答过程】解：∵M={x|x=N={x|x=(2k+1)π4，k∈Z}，当k∈Z时，2k+1是奇数，k+2是整数，∴N⊆【变式3-2】（2022•广西模拟）已知集合A＝{x|x≥﹣2}，B＝{x|﹣2≤x≤1}，则下列关系正确的是（）A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．A∩B＝∅【解题思路】根据集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，判断即可．【解答过程】解：∵A＝{x|x≥﹣2}，B＝{x|﹣2≤x≤1}，∴B⊆A，故选：C．【变式3-3】（2022•兴庆区校级三模）下面五个式子中：①a⊆{a}；②∅⊆{a}；③{a}∈{a，b}；④{a}⊆{a}；⑤a∈{b，c，a}．正确的有（）A．②④⑤ B．②③④⑤ C．②④ D．①⑤【解题思路】根据“∈”用于元素与集合；“⊆”用于集合与集合间；∅是不含任何元素的集合且是任意集合的子集，可判断式子正误．【解答过程】解：①a是集合{a}中的元素，应表示为a∈{a}，故①错误，②∅是不含任何元素的集合且是任意集合的子集，所以∅⊆{a}，故②正确，③“∈”用于元素与集合，故③错误，④任意非空集合是其本身的真子集，所以{a}⊆{a}，故④正确，⑤元素a属于集合{b，c，a}，故⑤正确，故正确的有②④⑤．故选：A．【题型4有限集合子集、真子集的确定】【方法点拨】①确定所求集合，是子集还是真子集．②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．假设集合A中含有n个元素，则有：①A的子集的个数为2n个；②A的真子集的个数为2n－1个；③A的非空真子集的个数为2n－2个．【例4】（2021秋•兰山区校级期中）满足∅⫋M⊆{1，2，3}的集合M共有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．15个【解题思路】利用真子集、子集的定义，结合列举法能求出结果．【解答过程】解：满足∅⫋M⊆{1，2，3}的集合M有：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，[2，3}，{1，2，3}，共7个．故选：B．【变式4-1】（2021秋•渝中区校级月考）已知{1，3}⊆A⫋{1，2，3，4，5}，则满足条件的集合A的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解题思路】A是至少含有1和3这2个元素是本题的关键．【解答过程】解：A＝{1，3}或A＝{1，3，2}或A＝{1，3，4}或A＝{1，3，5}或A＝{1，3，2，4}或A＝{1，3，2，5}或A＝{1，3，4，5}．故选：C．【变式4-2】（2021秋•开福区校级期中）已知集合S＝{x|ax＝1}是集合T＝{x|x2﹣1＝0}的子集，则符合条件的实数a的值共（）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【解题思路】求解集合T＝{1，﹣1}，由S⊆T，分S＝∅和S≠∅两种情况，分别求解．【解答过程】解：集合T＝{x|x2﹣1＝0}＝{1，﹣1}，因为S⊆T，所以当S＝∅时，a＝0，符合题意；当S≠∅时，由ax＝1得x=1a，所以1a=1或1a所以符合条件的a有3个，故选：C．【变式4-3】（2021•青岛开学）已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1+a2+a3＝（）A．1 B．2 C．3 D．6【解题思路】由题意知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集可以分为二类，从而求和知3（a1+a2+a3）＝9，即可解得．【解答过程】解：集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集可以分为二类，集合A＝{a1，a2，a3}的子集中有且只有一个元素，分别为{a1}，{a2}，{a3}，集合A＝{a1，a2，a3}的子集中有且只有两个元素，分别为{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，则3（a1+a2+a3）＝9，故a1+a2+a3＝3，故选：C．【题型5利用集合间的关系求参数】【方法点拨】①当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．②当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．【例5】（2021•葫芦岛二模）已知集合A＝{﹣2，3，1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（）A．{1} B．{3} C．{1，﹣1} D．{3，−【解题思路】若B⊆A，则m2＝1，即可求解满足条件的m【解答过程】解：∵A＝{﹣2，3，1}，B＝{3，m2}，若B⊆A，则m2＝1∴m＝1或m＝﹣1实数m的取值集合为{1，﹣1}故选：C．【变式5-1】（2021秋•舒城县校级期中）已知集合A＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，B＝{x∈R|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（）A．13或−12 B．−13或12【解题思路】先求出A＝{﹣3，2}，根据B⊆A即可得出﹣3∈B，或2∈B，或B＝∅，从而得出﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0，解出a的值即可．【解答过程】解：A＝{﹣3，2}；∵B⊆A；∴﹣3∈B，或2∈B，或B＝∅；∴﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0；∴a=−13或12【变式5-2】（2021•佛山模拟）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|x﹣a＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞） B．[3，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，1]【解题思路】由一元一次不等式和一元二次不等式解出集合A，B，根据B⊆A，可得参数a的取值范围．【解答过程】解：集合A＝{x|x＞3或x＜1}，集合B＝{x|x＜a}，由B⊆A，可得a≤1，故选：D．【变式5-3】（2021秋•眉山期末）设集合A＝{x|0＜x＜2019}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A．{a|a≤0} B．{a|0＜a≤2019} C．{a|a≥2019} D．{a|0＜a＜2019}【解题思路】根据A与B的子集关系，借助数轴求得a的范围．【解答过程】集合A＝{x|0＜x＜2019}，B＝{x|x＜a}，因为A⊆B，所以a≥2019；故选：C．【题型6集合间关系中的新定义问题】【方法点拨】根据题目所给的有关集合的新定义问题，结合集合间的关系，进行转化求解即可.【例6】（2021•衡水模拟）定义集合A★B＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，设A＝{2，3}，B＝{1，2}，则集合A★B的非空真子集的个数为（）A．12 B．14 C．15 D．16【解题思路】先求出集合A★B，由此能求出集合A★B的非空真子集的个数．【解答过程】解：∵A★B＝{2，3，4，6}，∴集合A★B的非空真子集的个数为24﹣2＝14．故选：B．【变式6-1】（2021秋•和平区校级月考）集合P＝{3，4，5}，Q＝{6，7}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的真子集个数为（）A．31 B．63 C．32 D．64【解题思路】根据条件即可求出集合P*Q的元素个数，从而可得出集合P*Q的真子集个数．【解答过程】解：根据题意得，P*Q的元素个数为C31⋅C21=6个，∴P*【变式6-2】（2021秋•西乡塘区校级月考）定义集合中的一种运算“*”，A*B＝{ω|ω＝xy（x+y），x∈A，y∈B}，若集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则A*B的非空子集个数是（）A．7 B．8 C．15 D．16【解题思路】先根据定义求出集合A*B，再利用集合的非空子集个数公式2n﹣1，即可求出结果．【解答过程】解：若x＝0，不论y取何值，则ω＝0，若x＝1，y＝2，则ω＝1×2（1+2）＝6，若x＝1，y＝3，则ω＝1×3（1+3）＝12，所以A*B＝{0，6，12}，所以A*B的非空子集个数是23﹣1＝7，故选：A．【变式6-3】（2021秋•同安区校级月考）对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※n＝m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的个数是（）A．27﹣1 B．211﹣1 C．213﹣1 D．214﹣1【解题思路】由所给的定义，对a※b＝16，a∈N*，b∈N*进行分类讨论，分两个数都是正奇数，与两个数不全为正奇数，两类进行讨论，确定出元素的个数即可求出集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的个数．【解答过程】解：由题意，当m，n都是正奇数时，m※n＝m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n＝mn；若a，b都是正奇数，则由a※b＝16，可得a+b＝16，此时符合条件的数对为（1，15），（3，13），…（15，1）满足条件的共8个；若m，n不全为正奇数时，m※n＝mn，由a※b＝16，可得ab＝16，则符合条件的数对分别为（1，16），（2，8），（4，4），（8，2），（16，1）共5个；故集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是13，所以集合M＝{（a，b）|a※b＝16，a∈N*，b∈N*}的真子集的个数是213﹣1．故选：C．专题1.2集合间的基本关系-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021秋•凉州区校级月考）下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅⫋A，则A≠∅．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】∅是任何一个非空集合的真子集，∅只有一个子集，是它本身．【解答过程】解：在①中，空集的子集是空集，故①错误；在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误；在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误；在④中，若∅⫋A，则A≠∅，故④正确．故选：B．2．（3分）（2021秋•伊州区校级期末）下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1} C．M＝{4，5}，N＝{5，4} D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}【解题思路】分别对A，B，C，D进行分析，从而得出答案．【解答过程】解：对于A：（3，2），（2，3）不是同一个点，对于B：M是点集，N是数集，对于C：M，N是同一个集合，对于D：M是数集，N是点集，故选：C．3．（3分）（2022春•大兴区期中）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，则A的含有2个元素的子集的个数是（）A．3 B．5 C．10 D．20【解题思路】根据集合的子集的定义判断即可．【解答过程】解：∵A＝{1，2，3，4，5}，从5个数中取2个数，有C5则A的含有2个元素的子集的个数是10个，故选：C．4．（3分）（2021秋•道里区校级月考）已知集合A＝{1，a，b}，B＝{﹣1，a2，b2}，若A＝B，则a+b＝（）A．1 B．0 C．﹣1 D．无法确定【解题思路】由A＝B，可知a＝﹣1或b＝﹣1，分情况分别求出b的值，再结合元素的互异性，即可求出结果．【解答过程】解：①当a＝﹣1时，a2＝1，∴b＝b2，∴b＝0或1，由元素的互异性可知，b≠1，∴b＝0，此时A＝B＝{1，﹣1，0}，符合题意．②当b＝﹣1时，b2＝1，∴a2＝a，∴a＝0或1，由元素的互异性可知，a≠1，∴a＝0，此时A＝B＝{1，﹣1，0}，符合题意．综上所述，a+b＝﹣1，故选：C．5．（3分）（2022•南平模拟）设集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则a的取值范围为（）A．a≥3 B．﹣1≤a≤3 C．a≥﹣1 D．a≤﹣1【解题思路】由包含关系建立不等式得解．【解答过程】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B＝{x|x≥a}，且A⊆B，∴a≤﹣1，故选：D．6．（3分）（2022•江苏模拟）已知集合M＝{1，4，x}，N＝{1，x2}，若N⊆M，则实数x组成的集合为（）A．{0} B．{﹣2，2} C．{﹣2，0，2} D．{﹣2，0，1，2}【解题思路】由N⊆M，分x2＝4或x2＝x两类讨论，再结合集合中元互异性即可求解．【解答过程】解：∵若N⊆M，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝±2或x＝0或x＝1，又集合中元素具有互异性，∴x＝±2或x＝0，∴实数x组成的集合为{﹣2，0，2}故选：C．7．（3分）（2021秋•舒城县校级期中）已知集合A＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，B＝{x∈R|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（）A．13或−12 B．−13或12【解题思路】先求出A＝{﹣3，2}，根据B⊆A即可得出﹣3∈B，或2∈B，或B＝∅，从而得出﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0，解出a的值即可．【解答过程】解：A＝{﹣3，2}；∵B⊆A；∴﹣3∈B，或2∈B，或B＝∅；∴﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0；∴a=−13或128．（3分）（2021秋•全州县校级期中）定义A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合中真子集的个数是（）A．14 B．15 C．16 D．17【解题思路】先求出集合A*B＝{2，3，4}，由此能求出集合A*B的真子集的个数．【解答过程】解：∵A＝{0，1}，B＝{1，2，3}，∴A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}＝{1，2，3，4}，则A*B集合中真子集的个数是24﹣1＝15个，故选：B．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021秋•河北月考）下列集合中，与{1，2}相等的是（）A．{4，(−2)0} B．{x∈N||C．{x|x2﹣3x+2＝0} D．{【解题思路】利用集合相等的定义直接判断．【解答过程】解：对于A，{4，(−2)0对于B，{x∈N||x|≤2}＝{0，1，2}，故B错误；对于C，{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，故C正确；对于D，{（x，y）|y=2xy=3−x}＝{（1，2）}≠{1，2}，故D错误．故选：AC10．（4分）给出下列四个集合，其中为空集的是（）A．{∅} B．{x∈R|x2+x+1＝0} C．{（x，y）|y=−1xy=x，x，y∈R} D．{x∈R【解题思路】利用空集的定义、一元二次方程、方程组、不等式的性质直接求解．【解答过程】解：对于A，表示由空集构成的集合，故A不是空集；对于B，集合中的元素为方程x2+x+1＝0的实根，∵Δ＝12﹣4＝﹣1＜0，∴方程x2+x+1＝0无实根，故B为空集；对于C，方程x=−1x无实数解，故对于D，不等式|x|＜0的解集是空集，故D为空集．故选：BCD．11．（4分）（2022春•增城区期末）以下满足{0，2，4}⊆A⫋{0，1，2，3，4}，则A＝（）A．{0，2，4} B．{0，1，3，4} C．{0，1，2，4} D．{0，1，2，3，4}【解题思路】集合A一定要含有0，2，4三个元素，且至少要多一个元素，多的元素只能从1、3中选，根据要求写出集合即可．【解答过程】解：A可以为{0，1，2，4}，{0，2，3，4}，{0，2，4}．故选：AC．12．（4分）（2021秋•湖北月考）定义：若集合A非空，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的孙子集．下列集合是集合B＝{1，2，3}的孙子集的是（）A．∅ B．{1} C．{1，2} D．{1，2，3}【解题思路】由题意写出集合B的孙子集，再进行判断即可．【解答过程】解：由题意可知集合B＝{1，2，3}的孙子集有{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，故BC正确，故选：BC．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2021秋•临川区校级月考）若集合A＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0}＝∅，则实数a的取值范围是（﹣∞，0]．【解题思路】利用空集的定义，将问题转化为ax2﹣2ax+a﹣1＝0无解，分a＝0和a≠0两种情况，分别求解即可．【解答过程】解：因为集合A＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0}＝∅，所以ax2﹣2ax+a﹣1＝0无解，当a＝0时，方程无解，符合题意；当a≠0时，Δ＝（﹣2a）2﹣4a（a﹣1）＝4a＜0，解得a＜0．综上所述，a的取值范围为（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．14．（4分）（2022春•安徽期中）设集合A={x∈N|y=12x+3∈N}，则集合【解题思路】先求出集合A，再根据集合子集个数为2n个，求解即可．【解答过程】解：∵A={x∈N|y=12x+3∈N}={0，1，3，9}，∴集合故答案为：16．15．（4分）（2022春•尖山区校级期中）已知集合A＝{x∈R|2a≤x≤a+3}，B＝{x∈R|x＜﹣1或x＞4}．若A⊆B，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．【解题思路】对集合A＝∅，A≠∅两种情况讨论，根据集合的子集关系建立不等式，由此即可求解．【解答过程】解：当A＝∅时，满足A⊆B，此时2a＞a+3，解得a＞3，当A≠∅时，要满足A⊆B，只需满足2a≤a+32a＞4或2a≤a+3a+3＜−1，解得2＜a≤3或a＜综上，实数a的范围为（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．16．（4分）（2021秋•安康期中）定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}，设A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊗B的真子集的个数为7．【解题思路】先求出集合A⊗B＝{2，3，4}，由此能求出集合A⊗B的真子集的个数．【解答过程】解：∵A⊗B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}，A＝{0，1}，B＝{2，3}，∴集合A⊗B＝{2，3，4}，∴集合A⊗B的真子集的个数为7．故答案为：7．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2021秋•凉山州期末）已知集合A＝{x|x2+2x+m＝0}，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．【解题思路】由题意知集合A有且仅有一个元素，再转化为方程x2+2x+m＝0有两个相同的根，利用判别式Δ＝22﹣4m＝0求解．【解答过程】解：存在实数m满足条件，理由如下：若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，即方程x2+2x+m＝0有两个相同的根，∴Δ＝22﹣4m＝0，解得m＝1．∴所有的m的值组成的集合M＝{1}．18．（6分）已知集合A＝{x|x2+4ax﹣4a+3＝0}，B＝{x|x2+（a﹣1）x+a2＝0}，C＝{x|x2+2ax﹣2a＝0}，其中至少有一个集合不为空集，求实数a的取值范围．【解题思路】关于“至少“至多”“不存在”等问题可考虑反面，本题的反面是A、B、C都是空集，由此能求出a的取值范围．【解答过程】解：假设集合A、B、C都是空集，对于A，元素是x，A＝∅，表示不存在x使得式子x2+4ax﹣4a+3＝0，所以Δ＝16a2﹣4（﹣4a+3）＜0，解得−32＜a＜12；对于B，B＝∅，同理Δ＝（a﹣1）2﹣4a2＜0，解得a＞13或者a＜﹣1；对于集合C，C＝∅，同理Δ＝（2a）2三者交集为−32＜a＜﹣1．取反面即可得A、B、C三个集合至少有一个集合不为空集，∴a的取值范围是a≥﹣1或19．（8分）（2021秋•东莞市校级月