人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题5.2 三角函数的概念-重难点题型精讲及检测（教师版）

第第页专题5.2三角函数的概念-重难点题型精讲1．任意角的三角函数(1)利用单位圆定义任意角的三角函数设SKIPIF1<0是一个任意角，SKIPIF1<0∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).

①把点P的纵坐标y叫做SKIPIF1<0的正弦函数，记作SKIPIF1<0，即y=SKIPIF1<0；

②把点P的横坐标x叫做SKIPIF1<0的余弦函数，记作SKIPIF1<0，即x=SKIPIF1<0；

③把点P的纵坐标与横坐标的比值SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的正切，记作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(x≠0).我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数

如图，设SKIPIF1<0是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.2．三角函数的定义域和函数值的符号(1)三角函数的定义域(2)三角函数值在各象限的符号由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知

①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号；

②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；

③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负.

因此，正弦函数(SKIPIF1<0)、余弦函数(SKIPIF1<0)、正切函数(SKIPIF1<0)的值在各个象限内的符号如图所示.

3．诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等.

由此得到一组公式(公式一)：4．同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的基本关系(2)基本关系式的变形公式【题型1任意角的三角函数的定义及应用】【方法点拨】解决此类问题的关键是正确理解任意角的三角函数的定义.【例1】（2022·广东·高一开学考试）已知角α的终边经过点M1,2，则cosα=A．63 B．33 C．2 【解题思路】利用三角函数的定义可求得cosα【解答过程】由三角函数的定义可得cosα=【变式1-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））设α是第二象限角，Px,8为其终边上的一点，且sinα=45，则A．−3 B．−4 C．−6 D．−10【解题思路】由任意角的三角函数定义即可求解【解答过程】因为Px,8为其终边上的一点，且sinα=45，所以因为α是第二象限角，所以x=−6，故选：C.【变式1-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知角α的终边经过点P−4m,3mm≠0，则2sinA．−35 B．25 C．1或−25【解题思路】先求得点P与原点间的距离r=5m，再根据正弦函数和余弦函数的定义，分m>0，m<0【解答过程】由题意可得：点P与原点间的距离r=−4m∴sinα=3m5m,cosα=当m<0时，则sinα=−35【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A−1,y是角θ终边上一点，且sinθ=−31010A．3 B．−3 C．1 D．−1【解题思路】根据三角函数的定义得到方程，解得即可.【解答过程】解：因为sinθ=−31010<0，A由三角函数的定义，得yy2+1故选：B.【题型2三角函数值在各象限的符号】【方法点拨】对于确定角SKIPIF1<0是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据上述三角函数值的符号来确定角SKIPIF1<0是第几象限角，则它们的公共部分即所求；对于已知角SKIPIF1<0的终边所在的象限来判断角SKIPIF1<0的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来解决.【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知α为第二象限角，则（

）A．sinα<0 B．tanα>0 C．cosα<0【解题思路】根据三角函数在各象限的符号求解即可.【解答过程】因为α为第二象限角，所以sinα>0,【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）已知α为第二象限的角，则1−cos2αA．sinα B．−sinα C．±【解题思路】根据α所在的象限，可以定sinα【解答过程】因为α为第二象限角，所以sinα>0所以1−【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）若sinθ<0且tanθ<0，则角θ所在的象限是（A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解题思路】根据三角函数的正负，确定角θ所在的象限.【解答过程】sinθ<0，则角θ在第三，四象限，tanθ<0，则角所以满足sinθ<0且tanθ<0，角【变式2-3】（2022·北京高一期中）设α是第一象限的角，且cosα2=cosαA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】由α的范围进而得出α2的范围，结合cos【解答过程】因为α是第一象限的角，所以2kπ<α<π所以kπ<α2<π4+kπ,k∈Z，即α2【题型3诱导公式一的应用】【方法点拨】1.诱导公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等.2.利用诱导公式一可将负角或大于等于2π的角的三角函数化为0~2π之间的角的同名三角函数，实现了“负化正，大化小”.【例3】（2022·湖南·高一课时练习）求值：3cos【解题思路】利用诱导公式及特殊角的三角函数计算可得；【解答过程】解：3cos=3cos60°−【变式3-1】（2021·全国·高一课前预习）计算下列各式的值：(1)tan405°−sin450°+cos750°【解题思路】利用诱导公式化简，再根据特殊角的三角函数值计算可得；【解答过程】(1)解：tan==tan(2)解：sin25π3+tan【变式3-2】（2021·全国·高一课时练习）化简下列各式：(1)sin760∘1−cos240∘【解题思路】（1）利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系可求得结果；（2）利用同角三角函数的基本关系化简可得结果.【解答过程】(1)解：sin760(2)解：∵α为第二象限角，则sinα>0，cosα<0，则【变式3-3】（2021·全国·高一课前预习）求下列各式的值：(1)cos25π3＋tan−(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.【解题思路】三角函数诱导公式的一个很大作用是把一个角的三角函数值转化为某个相关锐角的三角函数值，以便于化简或求值.【解答过程】(1)cos25π3＋tan−15π4(2)sin810∘＋tan1125∘＋cos=sin【题型4根据同角三角函数的基本关系求值】【方法点拨】第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；第二步：依据角的终边所在象限进行分类讨论；第三步：利用同角三角函数的基本关系式及其变形公式，求出其余三角函数值.【例4】（2022·江西省高三阶段练习（理））已知tanα=−2，则sinα−3cosA．−7 B．−53 C．−【解题思路】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入即可.【解答过程】解：因为tanα=−2，所以sin【变式4-1】（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知sinα−cosα=12A．−34 B．34 C．−【解题思路】先把已知的等式平方得到sinα【解答过程】由sinα−cosα=12，所以所以sinα【变式4-2】（2021·河北·高二期中）已知sinα+cosα=15，且α∈A．±75 B．−75 C．【解题思路】将已知等式两边平方，利用三角函数的基本关系求得2sinαcosα的值，结合α的范围确定sinα【解答过程】因为sinα+cosα=故2sinαcosα=−2425<0，所以sinα与所以sinα−【变式4-3】（2022·山东·高二阶段练习）已知tanθ=2,则cosθ−sinA．−13 B．13 C．−3【解题思路】利用同角三角函数基本关系,分子分母同时除以cosθ【解答过程】∵tanθ=2,∴cos【题型5三角函数式的化简】【方法点拨】1.化简原则：三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，使结果尽可能简单，也就是项数尽可能少，次数尽可能低，函数种类尽可能少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值.2.化简常用的方法：(1)对于含有根号的，常把被开方数(式)化成完全平方数(式)，然后去根号达到化简的目的；(2)化切为弦，从而减少函数种类，达到化简的目的；(3)对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造SKIPIF1<0，以降低次数，达到化简的目的.【例5】（2021·福建·高一阶段练习）（1）已知cosα+2sinα=0（2）已知sinβ+cosβ=23【解题思路】（1）先求出tanα=−12，进而由1=（2）由(sin【解答过程】（1）由cosα+2sinα=0，得−1−2cos2（2）(sinβ+cos又β为第四象限角，所以sinβ<0,cosβ>0【变式5-1】（2022·全国·高一课时练习）已知3sin(1)求tanα的值；(2)求sin【解题思路】（1）利用“1”的代换及弦切互化可求tanα=（2）利用“1”的代换及弦切互化可求三角函数式的值.【解答过程】（1）解法一：∵sin2α+cos2α=1，3sin分子分母同时除以cos2α，得3tan2α−4解法二：∵3sin2α−4sin即(2sinα−cosα)2=0（2）∵tanα=12，【变式5-2】（2022·全国·高一课时练习）已知tanα=2(1)1sinαcosα；【解题思路】（1）利用1=sin2α+（2）通分化简后，再利用1=sin2α+【解答过程】（1）因为tanα=2所以原式（2）因为tanα=2，所以11−=2【变式5-3】（2022·天津·模拟预测）已知3π4<α<π(1)求tanα(2)求sinα+(3)求2sin【解题思路】（1）根据tanα＋1tana（2）利用弦化切，将sinα+cosα（3）利用1=sin2α+cos2α【解答过程】（1）由tanα＋1tana=−10因为3π4<α<π，故−1<（2）sinα+（3）2sin2【题型6三角恒等式的证明】【方法点拨】三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异.【例6】（2022·全国·高一课时练习）求证：(1)(1−cosαsinα+【解题思路】（1）（2）利用同角三角函数的商数关系、平方关系，将等式左侧化简，证明结论即可.【解答过程】（1）(1−cosα=sinα−cosα+1（2）sinα(1+tanα)+cosα(1+1tanα)=所以原式成立.【变式6-1】（2021·全国·高一课时练习）求证：(1)1−2sinxcos【解题思路】（1）根据同角的三角函数关系进行转化证明即可．（1）根据同角的三角函数关系进行转化证明即可．【解答过程】(1)左边=cosx−sin(2)左边=sin2即证：tan2【变式6-2】（2021·全国·高一专题练习）求证：sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α【解题思路】利用同角三角函数平方关系进行证明，利用等式左边完全平方公式变形，计算得到结果与右边相等【解答过程】证明：左边＝（sin2α+cos2α）2﹣2sin2αcos2α＝1﹣2sin2αcos2α＝右边，则sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α．【变式6-3】（2022·全国·高一课时练习）求证：(1)sinα−cosα+1sinα+cos【解题思路】（1）将左边化为sinα−（2）用立方和公式与完全平方公式并结合同角三角函数的平方关系将式子化简.【解答过程】（1）左边=sinα−cos（2）左边=2sin2=2=21−3专题5.2三角函数的概念-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021·福建·高一阶段练习）cos−23πA．−12 B．12 C．−【解题思路】由诱导公式一即可值【解答过程】cos−2．（3分）（2022·全国·高一课时练习）已知P−2,y是角θ终边上一点，且sinθ=225A．−225 B．225 【解题思路】根据sinθ>0，可判断点P(−2,y)【解答过程】解：因为P(−2,y)是角θ终边上一点，sinθ=22所以y>0，sinθ=y(−2)2+y23．（3分）（2022·湖北·高三期中）已知tanα=2，则sinαcosA．−25 B．−52 C．【解题思路】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα【解答过程】因为tanα=2，则sin4．（3分）（2022·宁夏·高三期中（理））已知角α的终边经过点P1,3，则sinα+cosA．43 B．53 C．2 【解题思路】根据角α的终边经过点P1,3，求得tanα=3【解答过程】由角α的终边经过点P1,3，则tanα=35．（3分）（2022·四川·高三开学考试（文））已知cosα−3sinα=0A．−54 B．−45 C．【解题思路】根据给定条件，求出tanα【解答过程】因cosα−3sinα=0，则tan6．（3分）（2023·四川资阳·模拟预测（文））已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合．若角α终边上一点P的坐标为cos2π3,sinA．−32 B．−32 C．【解题思路】计算得到P−【解答过程】Pcos2π3,sin2故sinα7．（3分）如果θ是第二象限角，且满足cosθ2−sinθA．是第一象限角 B．是第三象限角C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角 D．是第二象限角【解题思路】由θ是第二象限角，有2kπ+π2<θ<2k【解答过程】因为1−sinθ所以cosθ2−sinθ2≥0，即cosθ∴kπ+π4<θ2<kπ∴2kπ+5π4<θ8．（3分）（2022·江苏扬州·高三期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，若S1S2A．355 B．255 C．【解题思路】设大正方形的边长为a，则直角三角形的两直角边分别为asinα,acosα，分别求出S1,S【解答过程】解：设大正方形的边长为a，则直角三角形的两直角边分别为asin故S1=a2,又α为锐角，则sinα>0,cosα>0二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·福建省高三阶段练习）给出下列各三角函数值：①sin−100∘；②cos−220∘；③tanA．① B．② C．③ D．④【解题思路】根据三角函数在各象限的符号即可判断.【解答过程】解：对①：因为−180∘<−对②：因为−270∘<−对③：因为−7π2对④：因为π3是第一象限角，所以cosπ3故选：ABC.10．（4分）（2022·广西钦州·高一期末）已知θ∈(0,π)，sinθ+cosθ=A．sinθcosθ<0 B．sinθ−cosθ=【解题思路】考虑角θ所在的象限，以及同角关系和题目所给的条件即可.【解答过程】由sinθ+cosθ=55…对等式①两边取平方得1+2sinθcosθ=1∵θ∈0,π，∴sinθ＞0由①②sinθ，cosθ可以看作是一元二次方程解得sinθ=2511．（4分）（2021·江苏·高一课时练习）阅读下列命题：其中正确的命题为（

）A．终边落在x轴上的角的集合αB．同时满足sinα=12C．设tanα=12且D．1−【解题思路】A,利用终边相同的角即可判断；B,利用特殊角的三角函数值及诱导公式判断即可得到结果；C,由tanα的值及α的范围，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，进而求出【解答过程】对于A,终边落在x轴上的角的集合αα=180°k,k∈Z对于B,同时满足sinα=12，cos对于C.设tanα=12且π<α<3π2对于D,1−sin故选：ACD.12．（4分）（2022·辽宁·高一期中）下列四个选项，正确的有（

）A．Ptanα,cosB．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为1C．若角α的终边经过点a,2aa≠0，则D．sin【解题思路】根据三角函数在各个象限的正负，扇形周长和面积的计算公式，三角函数的定义，三角函数值的正负，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【解答过程】对A：由题可得tanα<0，则cosα<0，则α属于第二或者第三象限或角度终边落在x轴的负半轴上；故α对B：设扇形OAB的圆心角为α(α>0)，半径为R，圆心角对的弧长为l，则12lR=4，l+2R=10，解得l=2,R=4，又l=αR，即2=4α，解得对C：根据题意可得sinα对D：因为3∈(π2,π)，4∈故sin3三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·黑龙江·高二期中）若角α的终边过点P(m,−1)，且cosα=−255，则m=【解题思路】根据已知条件及三角函数的定义即可求解.【解答过程】因为角α的终边过点P(m,−1)，所以cosα=mm2+1所以mm2+1=−255，即m2=4，解得m=214．（4分）（2022·陕西·高一期中）比较大小：cos−174π【解题思路】化简可得cos−174【解答过程】cos−cos−235π=cos6π−15．（4分）（2022·全国·高三专题练习）若A∈0,π，且sinA+cosA=7【解题思路】根据题中条件，利用同角三角函数基本关系，先求出sinA−cosA，进而求得sin【解答过程】由sinA+cosA=713得，sin因为A∈0,π，所以A∈π2,因此sinA−cosA=1713.联立sinA+cos16．（4分）（2022·辽宁·高一期中）若α，β∈0,π2，且1+sin2αsin【解题思路】由题意结合商数关系及平方关系可得tanβ=【解答过程】解：由1+sin2α因为α∈0,π2，所以tan当且仅当2tanα=1tanα，即tanα=2四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合的角α的终边上有一点P−3,m，且sinα=24m【解题思路】根据三角函数定义可由sinα=m3+m2=2【解答过程】∵sinα=m当m=5时，cosα=−3当m=−5时，cosα=−318．（6分）（2022·湖南·高一课时练习）确定下列各三角函数值的符号：(1)sin4π3；(2)cos3；(3)tan250∘【解题思路】（1）