人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题4.3 对数-重难点题型精讲及检测（原卷版）

第第页专题4.3对数-重难点题型精讲1．对数的定义、性质与对数恒等式(1)对数的定义：一般地，如果SKIPIF1<0=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=SKIPIF1<0，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质：①SKIPIF1<0=0，SKIPIF1<0=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数.

②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).(3)对数与指数的关系：根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，=Nx=SKIPIF1<0.

用图表示为：2．常用对数与自然对数3．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有：4．对数的换底公式及其推论(1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.(2)换底公式的推论：①SKIPIF1<0=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

②SKIPIF1<0(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

③SKIPIF1<0(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).5．对数的实际应用在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.

对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：

(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；

(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.【题型1对数的运算性质的应用】【方法点拨】对数式化简或求值的常用方法和技巧：对于同底数的对数式，化简的常用方法是：①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差).【例1】求值lg4+2lg5+A．8 B．9 C．10 D．1【变式1-1】化简(2logA．1 B．2 C．4 D．6【变式1-2】计算：2lgA．10 B．1 C．2 D．lg【变式1-3】化简1ogA．−log62 B．−log6【题型2换底公式的应用】【方法点拨】利用换底公式进行化简求值的原则和技巧(1)原则：化异底为同底；(2)技巧：①技巧一：先利用对数运算法则及性质进行部分运算，最后再换成同底；②技巧二：借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值.【例2】已知a=lg2，b=lg3，则A．2a+2b1−a B．1−a2【变式2-1】已知log23=m，logA．mn+3mn+1 B．m+n+3【变式2-2】已知a=lg2，b=lg3，用a，b表示log36A．2a+2b1−a B．1−a【变式2-3】正实数a，b，c均不等于1，若loga（bc）+logbc＝5，logba+logcb＝3，则logca的值为（）A．45 B．35 C．54【题型3指数式与对数式的互化】【方法点拨】根据所给条件，利用指数式和对数式的转化法则进行互化即可.【例3】下列对数式中，与指数式7xA．log7x=9 B．log9x=7【变式3-1】已知loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n等于（

）A．5 B．7 C．10 D．12【变式3-2】下列指数式与对数式的互化中不正确的是（

）A．e0=1与ln1=0 B．log39=2与91C．8-13=12与log812=-13【变式3-3】将13A．log913=−2； B．log13−2=9；【题型4指、对数方程的求解】【方法点拨】解指数方程：将指数方程中的SKIPIF1<0看成一个整体，解（一元二次）方程，解出SKIPIF1<0的值，求x.解对数方程：对数方程主要有两种类型，第一种类型的对数方程两边都是对数式且底数相同，根据真数相同转化为关于x的方程求解；第二种类型的对数方程可整理成关于SKIPIF1<0的（一元二次）方程，解出SKIPIF1<0的值，求x.【例4】方程lnlogA．1 B．2 C．e D．3【变式4-1】方程log2A．12 B．14 C．22【变式4-2】方程4x－2x＋1－3＝0的解是（

）．A．log32 B．1 C．log23 D．2【变式4-3】如果方程(lgx)2+(lg7+lg5)lgx+lg7⋅lg5=0的两根为A．135 B．lg35 C．lg7⋅lg5 D．【题型5带附加条件的指、对数问题】【方法点拨】带附加条件的指、对数问题主要是已知一些指数值、对数值或其等量关系，利用这些条件来表示所要求的式子，解此类问题要充分利用指数、对数的转化，同时，还要注意整体思想的应用.【例5】已知loga3=m，loga2=(1)求am(2)若0<x<1，x+x−1【变式5-1】计算下列各题：(1)已知2a=5(2)求2log【变式5-2】已知3a=5，(1)27a+5b；【变式5-3】（1）已知2lg(x−2y（2）已知a+a−1=7，分别求a2【题型6对数的实际应用】【方法点拨】对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类：(1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化；(2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.【例6】核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lgXn=nlg(1+A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8%【变式6-1】酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（

）（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48）A．12 B．11 C．10 D．9【变式6-2】香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C=A．1.2倍 B．12倍 C．102倍 D．1002倍【变式6-3】牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t分钟后的温度T满足T−Ta=12tℎT0A．3.5分钟 B．4.5分钟 C．5.5分钟 D．6.5分钟专题4.3对数-重难点题型检测一．选择题1．计算：2lg5−A．10 B．1 C．2 D．lg2．有以下四个结论，其中正确的是（

）A．lglg10=1C．若e=lnx，则x=3．若xlog23=1，则3A．52 B．36 C．1034．方程ln(log2A．1 B．2 C．e D．05．若ln2=a，ln3=b，则log8A．a+3ba3 B．a+2b3a C．a+2b6．已知b>0，log5b=a，lgb=c，5A．d=ac B．a=cd C．c=ab D．d=a+c7．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lgE1E2，其中星等为mk的星的亮度为Ekk=1,2．已知星A．1045 B．10−45 8．若正数a、b满足1+log2a=2+log3A．−32 B．−23 C．23二．多选题9．方程xlgx−2=1000A．10 B．110 C．1000 D．10．下列运算中正确的是（

）A．log38logC．若a+a−1=14，则a11．设a，b，c都是正数，且4a=6A．ab+bc=2ac B．ab+bc=ac C．4b⋅912．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（

A．地震释放的能量为1015.3B．八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的6.3倍C．八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍D．记地震里氏震级为n(n=1,2,⋅⋅⋅,9)，地震释放的能量为f(n)，则f(n+1)三．填空题13．计算：(827)−214．光线通过某种玻璃，强度损失10%.要使光线强度减弱为原来的15，至少要通过块这样的玻璃.（参考数据：lg2≈0.301015．已知实数x,y满足：32x=2y=2716．已知a=lg2+lg5−4lg2lg5⋅四．解答题17．解方程:log318．计算：(1)lg14−2(2)lg5(3)log619．已知loga3=m，loga2=n（(1)求am+2n(2)若0<x<1，x+x−1=a，且m+n=20．（1）计算：log3（2）若a，b分别是方程(lgx)221．求解