2024-2025学年人教版九年级数学上册专项复习：根与系数的关系（压轴题）解析版

根与系数的关系

♦思想方法

分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每

一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并

非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：

1.不重(互斥性)不漏(完备性)；

2.按同一标准划分(同一性)；

3.逐级分类(逐级性)。

♦知识点总结

一、一元二次方程的根与系数的关系

bc

如果一元二次方程a%2+b久+。=0(4力0)的两个实数根是％],%,那么看+%2=——，xx=—.

~~a12a

注意：它的使用条件为分0,A>0.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得

的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

♦典例分析

【典例1]已知：关于X的一元二次方程依2+2久+1-2k=0有两个实数根治，x2.

=

(1)若同+|%2|272,求k的值；

(2)当k取哪些整数时，/，X2均为整数；

(3)当k取哪些有理数时，%1，冷均为整数.

【思路点拨】

(1)分两种情况：①若两根同号，②若两根异号；根据根与系数的关系结合根的判别式解答即可；

(2)根据根与系数的关系可得若肛+到=—%为整数，可得整数々=±1,±2,然后结合两根之积、解方程

分别验证即可；

(3)显然，当k=—1时，符合题意；由两根之积可得左应该是整数的倒数，不妨设k=\则方程可变形

为％2+2mx+m—2=0,即为(％+m)2=m2—m+2,再结合整数的意义即可解答.

【解题过程】

解：(1)=22-4/c(l-2fc)=4-4fc+8k2=8(fc2-1=8(fc-i)2+1>0,

••・不论人为何值，关于x的一元二次方程k久2+2x+1—2k=0都有两个实数根xi，久2，

关于x的一元二次方程k/+2x+1-2fc=0有两个实数根%i，刀2,

,21-2k

+%2=一谈途2=一〕，

分两种情况：①若两根同号，由|巧|+|%2|=2近可得：％1+%2=2近，或久1+%2=—2鱼，

当％1+冷=2立时，则一京=2V2,解得k=—容

»VZ

当％1+功二—2应时，则一看=—2应\解得人—乎；

2

②若两根异号，由|%1|+咫1=2用可得:(%1—X2)=8,

即(％1+%2)2—4%1%2=8,

(2、2l-2k门

-4x^=8，

解得：k=1,

综上，发的值为1或±孝；

(2),・,关于％的一元二次方程+2%+1—2k=0有两个实数根%1，%2，

2l-2k

・・・％i+冷=一%=~^，

若%1，%2均为整数，

则治+冷=一彳为整数，

・•.整数k=±1,±2,

当/£=±2时，/％2=看不是整数，故应该舍去；

当k=l时，此时方程为d+2%—1=0,方程的两个根不是整数，故舍去；

当k=—1时，此时方程为—久2+2刀+3=0,方程的两个根为/=—1,亚=3,都是整数，符合题意;

综上，当k取一1时，%i，利均为整数；

(3)显然，当々=—1时，符合题意；

当人为有理数时，由于=左=?—2为整数，

.次应该是整数的倒数，不妨设k='w0),m为整数，

则方程生遥+2%+1—2fc=0即为％2+2mx4-m—2=0,

配方得：(%+m)2=m2—m+2,

即％=—m±Vm2-m+2,

当m=2即k时，方程的两根为=0,%2=—4,都是整数，符合题意；

12,7

当机K2时，m2-m+2=(m--)不是完全平方数，故不存在其它整数加的值使上式成立;

Z4

综上，k=-1或

♦学霸必刷

1.(22-23九年级上•湖北襄阳•自主招生)设方程a/+b%+。=0(aW0)有两个根久i和％2，且1V巧<2<

X2<4,那么方程c%2—b%+。=0的较小根%3的范围为()

A.-V%3<1B.—4VX3V—2C.-5V%3V—工D.-1<%3<一,

【思路点拨】

由根与系数的关系得出％1+%2=—*%「肛=；，再设方程c/—bx+a=o的为巾，n,根据根与系数的关

系得出m+n=—(2+$,=£甘从而得出方程cN—版+a=0的两根为一高，一看，然后由1<小

<2<%2<4,求出一白，一^的取值范围，从而得出结论.

X1%2

【解题过程】

解：方程a/+bx+。=0(aH0)有两个根%1和％2，

bC

•••x1+x2=--fx1-x2=

设方程c%2—bx+a=。的两根为m,n,

miba

则zn+n=-C,mn=一C,

,bbra1

vm+n=-=---(v—Jmn=----,

caC%1-X2

/、1%1+%2/I1、

■-m+n=-(%1+x2)--=-+-)>

••・方程c/-bx+a=°的两根为一看，—十

<22<<4

</犯

11111

1

-<-<-<-

小42

-<x2

11111

-1

2<--<-<--<-

血X2

11

----

-<-224

5

x2

•••方程c/-bx+a=。的较小根右的范围为一1＜的＜一5。

故选：D.

2.(22-23九年级下•安徽安庆•阶段练习)若方程/+2px-3p-2=0的两个不相等的实数根久i、力满足

2323

Xi+Xi=4-(x2+%2),则实数〃的所有值之和为()

35

A.0B.-TC.-1D.--

44

【思路点拨】

先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到Xi2+2p%i—3p—2=0,Xi+%2=—2p,进而推出

3232322

%!=3p%i+2%i—2p%i,贝"Xx+=3p%i+2/—2p%i+x2+x2=3p%2+2久2—2p%2+乂3

222

即可推出(3p+2)(%i+x2)+(1-2P)(/2+%2)=4,然后代入%1+x2=—2p,Xi+%2=(%i+%2尸—4p

得到2P(4p+3)(p+1)=0,再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案.

【解题过程】

解：,・・％1、%2是方程%2+2p%—3P—2=。的两个相等的实数根，

•••%/+2p%i—3p—2=0,%i+久2=_2p,%i%2=—3p—2,

+2p%i=3p+2,

.,.%13+2p%12=3p%i+2%],

.,.%13=3p%i+2巧—2p%i2,

.,.%!3+%x2=3p%i+2巧—2p%i2+%i2,

同理得％2,+%22=3p%2+2%2—2p%22+x22^

2323

VX1+%1=4—(%2+%2)»

323

+%1+(x2+X2)=4,

2222

：.3px1+2%i—2p%i+%i+3p%2+2%2—2p%2+^2=4,

22

・・・(3p+2)(%i+x2)+(1—2p)(%i+x2)=4,

••・(3p+2)(-2p)+(1-2P)[(—2p)2-2(-3p-2)]=4,

•••—6p2—4p4-(1—2p)(4p2+6p+4)=4,

・•・—6p2—4p+4P2+6p+4—2P(4p2+6p+4)=4,

_2P2+2p—2P(4p2+6p+4)=0,

•••—2p(4p2+6p+4+p—1)=0,

••・2p(4p2+7p+3)=0,

・•・2p(4p+3)(p+1)=0,

3

解得Pl=0，。2=-1，。3=一£，

・・•△=(2p)2+4(3p+2)>0,

：.p2+3p+2>0,

•••(p+l)(p+3)>0,

,p=-1不符合题意，

3

■■Pl+P3=—I

•・.符合题意，

故选B.

3.(22-23八年级下•安徽合肥・期末)若关于"的一元二次方程/—2x+a2+b2+ab=。的两个根为的

=m,x2=n,且a+b=l.下列说法正确的个数为()

@m-n>0；@m>0,n>0：@a2>a；④关于x的一元二次方程(x+l)2+a2—a=0的两个根为打

二771—2,%2=几一2・

A.1B.2C.3D.4

【思路点拨】

^23

217_

a-a+-a^+-

根据根与系数的关系得％22利用消去得到14

i%2=mn=a+b+abfa+b=1bnm

>0,从而即可对①进行判断；由于％1+次=瓶+几=2>0,xrx2=mn>0,利用有理数的性质可对②

2

进行判断；根据根的判别式的意义得到△=4-4(小+/?2+。初20,gp4-4(a-a+l)>0,则可对③

进行判断；利用水+b2+ab=a2—a+1把方程/—2x+a2+b2+ab=。化为(％—l)2+a2—a+1=0,

由于方程(％—l)2+a2—a=0可变形为[(%+2)—l]2+/—Q=o,所以％+2=zn或％+2=荏,于是可对④

进行判断.

【解题过程】

解：根据根与系数的关系得=爪几=a?+炉+a6,

va+b=1,

/.b=1—a,

.,.mn=a2+(1—a)2+a(l—a)=a2—a+1=(a—0>0,所以①正确；

=mn=

•・•久1+x2+2>0,%i%2—血几>0,

：.m>0,n>0,所以②正确；

•••A>0,

•••4—4(a2+h2+ab)>0,

即4—4(a2—a+1)>0,

.•.a>a2,所以③错误；

va2+b2+ab=a2—a+1,

.,・方程%2—2%+M+匕2+防=o化为。—l)2+a2—a+1=0,

即(％—1)2+a2—a=0,

・.・方程(％+l)2+a2—a=0可变形为[(%+2)—l]2+a2—a=0,

.-.x+2=ni或1+2=ri,

解得％1=6一2,x2=n—2f所以④正确.

故选：C.

4.(22-23九年级上•浙江・自主招生)设点6、°、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程%2-8cx-9d=0

的解，c、d是方程%2—8。%—9b=0的解，贝！Ja+b+c+d的值为.

【思路点拨】

由根与系数的关系得a+b,c+d的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得M

—8ac—9d=0,代入可得F—72a+9c—8ac=0,同理可得c?—72c+9a—8ac=0,两式相减即可得a+c

的值，进而可得a+b+c+d的值.

【解题过程】

解：由根与系数的关系得a+b=8c,c+d=8a,两式相加得a+b+c+d=8(a+c).

因为a是方程式2—8cx—9d=0的根，所以小—8ac—9d=0,又d=8a—c,

所以次—72a+9c—Sac=0①

同理可得c2-72c+9a-Sac=0②

①-②得(a—c)(a+c—81)=0.

因为a7c,所以a+c=81,所以a+b+c+d=8(a+c)=648.

故答案为648.

5.(23-24九年级上•江苏南通•阶段练习)已知实数a,hc满足：a+6+c=2,abc=4.求|a|+网+|c|的

最小值

【思路点拨】

用分类讨论的思想，解决问题即可.

【解题过程】

解：不妨设。是a,b,c中的最大者，即a2b,a>c,由题设知a>0,

4

且b+c=2—a,be=a

于是b,c是一元二次方程/-(2-a)x+J=。的两实根，

—(2—a)2—4x>0,BP(a2+4)(a—4)>0,

所以a>4.

又当a=4,b=c=—1时，满足题意.

故a,b,c中最大者的最小值为4.

因为abc=4>0,所以a,b,c为全大于0或一正二负.

①若a,b,。均大于0,a,b,。中的最大者不小于4,这与a+b+c=2矛盾.

②若a,b,。为或一正二负，

不妨设a>0,b<0,c<0,贝力可+网+|c|=a—b—c=a—(2—a)=2a—2,

va>4,

故2a—226,

当a=4,b=c=—l时，满足题设条件且使得不等式等号成立.

故|a|+网+|c|的最小值为6.

故答案为：6.

6.(22-23九年级上•四川成都・期末)将两个关于x的一元二次方程整理成。(％+九)2+々=0(QH0,〃、〃、

左均为常数)的形式，如果只有系数。不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方

程”.已知关于x的一元二次方程a/+b%+c=o(aWO)与方程(％+1)2—2=0是“同源二次方程”，且方

程a/+bx+c=0(aHO)有两个根为％1、x?,则b-2c=,ax1+xrx2+a%2的最大值是.

【思路点拨】

利用a%2+b》+c=o(a。。)与方程(％+1)2—2=0是“同源二次方程”得出b=2a,c=a—2,即可求出

b-2c；利用一元二次方程根与系数的关系可得％1+久2=—2,%1%2=一，进而得出+%1%2+。%2=—2

(a+?+l,设a+5=f(t>0),得口2一，。+1=0,根据方程1・a+1=o有正数解可知△=力2

-4>0,求出t的取值范围即可求出a%i+%i%2+。%2的最大值.

【解题过程】

解：根据新的定义可知，方程a%2+b%+c=。(。。0)可变形为a(%+1)2-2=0,

.,.a(%+l)2—2=ax2+bx+c,

展开，ax2+2ax+a—2=ax2+bx+c,

可得b=2a,c=a—2,

:・b-2c=2a—2(a—2)=4；

一

,,ra2

.x1+%2=—2,%1%2=

.-.ax1+xrx2+ax2=a(x1+x2)+=-2a+^=-2(a+?+L

,・•方程a/+b%+c=0(awO)有两个根为小、％2，

.•・△=b2—4ac=(2a)2—4a(a-2)=8a>0,且aW0,

：.a>0,

1

设a+^=t(t>0),得a?—t•a+1=0,

,方程a?—t-a+l=O有正数解，

=t2-4>0,

解得t22,即a+，22,

：.axx++a%2=—2(a+工)+1W—3.

故答案为：4,-3.

7.(23-24九年级上•山东济南・期末)已知久y+x+y=44,x2y+xy2=484,求好+好.

【思路点拨】

本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的根与系数的关系、因式分解的应用等知识点，综合应用所学

知识成为解题的关键.

设%y=zn,x+y=n,等量代换后可得44=m+几、484=mn,则zn、九为俨—44t+484=0的根，可解

得m=n=22,然后再对久3+y3变形后将7n=n=22代入计算即可.

【解题过程】

解：设久y=zn,x4-y=n,

44=xy+%+y=m+n,484=x2y+xy2=xy(x+y)=mn,

:./为岸—44t+484=0的根,

•••m=n=22,

•,•%3+y3=(%+y)(x2+y2—xy)

—(x+y)[(x+y)2—3xy]

=n[n2—3m]

=n3—3mn

=9196.

8.(2024九年级•全国•竞赛)记一元二次方程/+3%—5=0的两根分别为%i、%2«

11

(1)求丁一工1+丁%2-工的值；

(2)求3妊+6%1+好的值.

【思路点拨】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解.在利用根与系数的关系/一2=；,%1+X2

=一2时，需要弄清楚a、b、c的意义.

a

(1)利用根与系数的关系求得求1在+占i的值的值；

(2)由一元二次方程的解可得就+3打一5=0,再利用根与系数的关系求解即可.

【解题过程】

(1)+'2=—二一5,

11

------I-------

久1—1%2―1

%2-1+汽1—1

(%1—1)(%2—1)

+12—2

%1久2-(%1+%2)+1

-3-2

=-5-(-3)+1

-5；

(2)1•1X1是一元二次方程%2+3%-5=0的根，

+3%i—5=0,

­••+3%1=5,

又%1+%2=—3两万2——5,

•••3xj+6%1+%2=2(3+3%t)+(%i+%2)2—2%I%2=29.

9.(23-24九年级下•北京•开学考试)已知关于x的方程好一2m+m2f=。有两个不相等的实数根.

(1)求九的取值范围；

(2)若71为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求机的值.

【思路点拨】

本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，对于一元二次方程a/+bx+c=0(a中0),当判别

式A>0时方程有两个不相等的实数根，△=0时方程有两个相等的实数根，A<0时方程没有实数根，若方

程的两个实数根为％1、久2，则%+尤2=—3，

(1)根据方程/-2mx+m2-n=0有两个不相等的实数根得出判别式A>0,列出不等式即可得答案；

(2)根据(1)中结果得出出直，利用一元二次方程根与系数的关系列方程求出山的值即可.

【解题过程】

(1)解：・关于x的方程x2-2?nx+?n2Tl=。有两个不相等的实数根，

：.△=(—2m)—4(m2—n)>0,

解得：n>0.

(2)设方程的两个实数根为血、%2,且Xi>X2，

.,.%!+x2=2m,•久2=加？—n,

由(1)可知：n>0,

•力为符合条件的最小整数，

■•■n=1,

•••该方程的较大根是较小根的3倍，

=3%2，

22

・\4%2=2m,3X2=m—1,

m224

.,.o3x—=mz—1,

解得：7nl=-2,m2=2.

当m=2时，牝=1，则=3%2=3,符合题意，

当m=—2时，久2=—1，则％i=3第2=—3V%2，与％1>%2不符，舍去,

.,.m=2.

10.（23-24九年级上•安徽淮南•阶段练习）若关于％的一元二次方程/+2%-m2-m=0.

（1）若仇和口分别是该方程的两个根，且四？=一2,求zn的值；

（2）当租=1,2,3,…，2024时，相应的一元二次方程的两个根分别记为刖、/?i，的、角，

111111

戊2024、02024,求工+瓦+石+石+…+工嬴+说的值•

【思路点拨】

（1）根据一元二次方程的根与系数的关系进行求解即可；

（2）根据一元二次方程的根与系数的关系的+久2=-可得：［+=='=高，进一步可

CL341人2人1人2ill।ill

II

寻找=+=的规律，即可求解

【解题过程】

（1）解：•.•关于X的一元二次方程%2+2x-m2-m=0,a和0分别是该方程的两个根,

:.邓=—m2—m

'：a/3=—2,

・•・—2=—m2—m

.,.m=1或TH=-2；

(2)解：设方程/+2%—血2—7n=o的两个根为：％1，%2

.bc、

z

贝+x2=--=—2,%],x2="=—m—m,

i1_久i+犯_22

"%1'x2xyx2-rn7+rn~m(m+l')

112112112

•—i———,―|———---———---

,--

Bi—lx2a2P22x3'«3P33x4

112

仇2024夕20242024X2025

111111c1

一+才+—+Q+…+-----+7—=2x(------1--------F...H--------------

«iPI。2P2。2024P2024Vlx22x32024x2025-

…/11111\

=2X-2+2-3++2024-2025/

=2X(1-2025)

_4048

=2025

11.(22-23九年级上•湖北武汉•期中)己知a、£是关于x的一元二次方程%2+(2巾+3)久+巾2=。的两个

不相等的实数根

(1)直接写出m的取值范围

(2)若满足5+£=—1,求加的值.

(3)若a>2,求证：0〉2；

【思路点拨】

(1)根据一元二次方程/+(2巾+3)X+巾2=0的两个不相等的实数根，得△>(),即可列式作答；

(2)结合一元二次方程根与系数的关系，得a+£=—(2爪+3)和a£=m2,因为十+/=—1,所以誓

=1,解得mi=3,m2=-1,结合加>一点即可作答；

(3)因为(a-2)(0—2)=a£-2(a+0)+4,结合a+£=-(2m+3)和得m2+2(2m+3)+4=

(m+2)2+6,则(a—2)(/?—2)N6>0,又因为a>2,即可证明0>2.

【解题过程】

(1)解：,•一元二次方程/+(2m+3)%+mz=0的两个不相等的实数根

—b2—4ac=(2m+3)2—4xIxm2-4m2+12m+9—4m2-12m+9>0,

即>-|；

(2)解：3+.=鲁+苴=等=-1，且a+S=_?=_(2zn+3),a/3=^=m2

2m+3y

=1

整理得巾2一2巾一3=0,

解得：mi-3,m2--1

3

,・,由(1)知m>-

：.m=3

检验：当m=3时，m20,即?n=3；

(3)证明：因为(a-2)GB—2)=a0-2(a+0)+4,

把a+£=-(2m+3)和a/?=代入上式，

得血2+2(2m+3)+4=m2+4m+10=(m+2)2+6,

v(m+2)2>0,

.,.(m+2)2+6>6

.-.(a-2)(/?-2)>6>0

va>2,

.'.tz—2>0,

—2>0,

即3>2.

12.(22-23九年级•浙江•自主招生)已知方程/+4%+1=0的两根是a、£.

(1)求［一例的值;

⑵求伊第的值;

(3)求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于a、£的倒数的立方.(参考公式：%3+y3=(x+y)

(x2+y2—xy).

【思路点拨】

(1)利用一元二次方程根与系数的关系可得a+/?=—4,a万=1,再求得(a—0产的值，进而求得|a一0的

值.

(2)先根据二次根式的性质将g+E化为吗+理，然后通分化简可得毒，最后将a+£=—4,a£=l代

707aVPva\JaP

入计算即可；

(3)由题意可得新一元二次方程的两个根为G)3和0)3,然后求得©)3+@)3和弓丫弓丫的值，然后根据

一元二次方程根与系数的关系即可解答.

【解题过程】

(1)解：・方程/+4x+1=0的两根是a、B

••.a+/?=—4,a/?=1

・•.(a-0)2=(a+0)2—4邓=12

••\oc-—2V3；

（2）解：由（1）可知：a<0,8V0,

a2+俨

——+2

ap

(a+0)2—2aB

+2

邓

=16,

q+Z?卜2+62j_'

—ap[a2p2—邓

a+0[(a+S)2_2aS1

一邓[a?侯一邓

-4T16-2

=-52

W\p)=\ap)=1

所以新的一元二次方程/+52%+1=0.

13.（22-23九年级上•福建泉州•期末）已知关于%的方程6%2一（血_1）%+2=0有实数根.

（1）若方程的两根之和为整数，求他的值；

（2）若方程的根为有理根，求整数血的值.

【思路点拨】

（1）根据关于％的方程m%2—（7n—i）%+2=0有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式

确定血的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知不+%2=詈，若方程的两根之和为整数,

即三为整数，即可确定血的值;

(2)分两种情况讨论：当m=0时，此时关于x的方程为％+2=0,求解可得刀=一2,符合题意；当mH0

5-1)士乎-1。团把

时，对于关于％的方程加久2—(7n-1户+2=。可有,=,若方程的根为有理根，且小为整

数，贝3=爪2-io7n+i为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案.

【解题过程】

(1)解：・.・关于x的方程血/-(m-l)x+2=0有两个根，且为实数根，

：.mH0,且4=[—(m—I)]2—4mX2=m2—10m+1>0,

根据一元二次方程的根与系数的关系，可知XI+X2=—『

若方程的两根之和为整数，即*为整数，

m—1.1

•年是整数，

.-.m=±1,

当m=1时，A=l—10+1=—8<0,不符合题意；

当m=-1时，△=1+10+1=12>0,—=^=2,为整数，符合题意；

771—1

m的值为一1;

(2)当巾=0时，此时关于％的方程为x+2=0,解得x=-2；

MD土喘T°m+

当m力0时，对于关于x的方程爪/-(m_i)x+2=0的根为：x=士

若方程的根为有理根，且小为整数，

则A=m2—10m+1为完全平方数，

设加2—10m+1=/(々为正整数)，

则：m=10±V100-4+4fc2=5±V^T^；

•・,M为整数,

设24+42=九2(九为正整数)，

•••(fc+n)(n—fc)=24,

ffc+n=12_pf/c+n=6_p.fk+n=8+几=24

,•(n-k=2或3-k=4或bi-k=3或tn—々=1'

f5

-5£-1c--323

解得

或k,=—

ffc-7-5-

n(不合题意，舍去)或分(不合题意，舍去)

ln2-n——

222

.-.m—10m4-1=l=1或nt2—107Tl+1=5=25；

当血2—107n+i=i时，解得m=10或m=0（舍去）；

当m2—10m+1=25时，解得m=—2或m=12,

综上所述，若方程的根为有理根，则整数血的值为0或10或-2或12.

14.（22-23九年级下•浙江・自主招生）设加为整数，关于％的方程（租2+血—2）/—（7m+2）%+12=0有

两个整数实根.

（1）求m的值.

2222

（2）设△ABC的三边长a,瓦c满足c=4y/2fm+am—12a=0,m+bm—12b=0.求△ZBC的面积.

【思路点拨】

（1）设原方程的两个解分别为X1,X2,根据两个整数实根，则久1+%2=；7，X1X2=；^J都是整数，进

771^+771—ZHl^-rnT-Z

而分类讨论，即可求解；

（2）由（1）得出的他的值，然后代入将tn?+Q27n—12。=0,TH?+匕27n一管力=0进行化简，得出a,b

的值.然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a,力的值，用三角形的面积公式得出三角形的面积.

【解题过程】

（1）解：vm2+m—2W0,

.,.mH—2或zn=1,

•・•方程有两个实数根，

=b2—4ac—[—（7m+2）]2—4x12x（m24-m-12）

=m2—20m+580=（m—10）2+480>0

设原方程的两个解分别为%1，%2

•.%+%2=当/62=洋都是整数，

.*.m2+m—2=1,2,3,4,6,12

m2+m-2=l,解得：皿=谭叵（舍去）

m2+m—2=2,解得：m=匚4叵（舍去）

m2+m-2=3,解得：m=匚1且（舍去）

m2+m—2=4,解得：m=—3或zn=2

m2+m—2=6,解得：蓄至（舍去）

m2+m—2=12,解得：m=T±J丽(舍去)

当爪=一3时，肃三=半=—9不是整数，舍去

当血=2时，=宁=4符合题意，

综上所述，m=2；

(2)把m=2代入两等式，化简得十一6。+2=0,b2-6b+2=0,

当a=b时，a=b=3±V7,

当aHb时，a、b是方程/—6%+2=0的两根，而A>0,

根据根与系数的关系可得，«+/?=6>0,ah=2>0,则a>0、h>0,

①a丰b,c=4近时，由于M+ZJ2=(a+b)2—2ab=36—4=32=",

故△4BC为直角三角形，且NC=90。，SA4BC=%b=L

@a=b=3—V7,c=4V^■时，因2(3—V7)<4金，

故不能构成三角形，不合题意，舍去；；

③a=b=3+V7,c=4四时，因2(3+77)>4或，故能构成三角形，

SA4BC=5x4V^xJ(3+VT)2—(2>/^)-4-\/4+；

综上，△ABC的面积为1或4j4+3V7.

15.(22-23九年级上•湖南常德•期中)阅读材料：

材料1：若关于x的一元二次方程a/+bx+c=0(aH0)的两个根为久1，%2>则问+冷=一去向久2=*

材料2:已知一元二次方程%2-久一1=0的两个实数根分别为加，"，求7712n+7ral2的值.

解：•.•一元二次方程%2一万一1=0的两个实数根分别为m,n,

2

：.m+n=1,mn=—1,则m2n+mn=mn(m+n)=—1x1=—1.

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)材料理解：一元二次方程%2-3^-1=0的两个根为X1，*2，则打+冷=,%1%2=

(2)类比应用：已知一元二次方程3X—1=0的两根分别为〃八"，求3+：的值.

(3)思维拓展：已知实数s、t满足s2—3s—1=0,t2—3t—1=0,且SKt,求g—寺的值.

【思路点拨】

(1)直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；

(2)利用一元二次方程根与系数的关系可求出m+n=—5=3,nm=£=-l,再根据/+：=*/=

⑺+哈2叫最后代入求值即可；

(3)由题意可将s、f可以看作方程式—3x—1=0的两个根，即得出s+t=—9=3,s-t=^=-l,从而

可求出(t—s)2=(t+s)2—4st=13,即t—5=相或1—s=-V13,最后分类讨论分别代入求值即可.

【解题过程】

(1)解：,•,一元二次方程/一3%-1=0的两个根为Xi，x2,

,b-3Qci]

■■■X1+x2=x1-x2=-=--=-l.

故答案为：3,-1；

(2)v,一■元二次方程N—3%—1=0的两根分别为m、n,

.bc

,.m+n=--=3,mn=-=-l,

・巴+?=*+九2

"mn-mn

(m+n)2—2mn

mn

_32-2x(-1)

==4

=-11;

(3)•实数s、，满足s2—3s—1=0,t2—3t—1=0,

・・.s、，可以看作方程%2-3x-l=。的两个根，

bc

■--s+t=--=3,st=-=-l,

v(t—S)2=(t+s)2—4st

=32-4x(-1)

=13

•*t—s="\/13或t—s=—V13,

当t-s=VH时，

当t-s=—VH时,

:十,等=相，

综上分析可知，：一3的值为vn或一6?.

16.(23-24八年级上•北京海淀•期中)小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n=。或

px+q=0时，多项式A=(mx+n)(px+q)=mpx2+(mq+np)x+nq的值为0,把此时x的值称为多项

式/的零点.

(1)已知多项式(3x+1)(久一2),则此多项式的零点为；

(2)已知多项式B=Q—l)(bx+c)=a/—缶―1万一箱一个零点为1,求多项式8的另一个零点；

(3)小聪继续研究(x—3)(x—1),xQ—4)及(％—|)(x—|)等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个

点关于直线久=2对称，他把这些多项式称为“2系多项式”.若多项式M=(2ax+b)(cx—5c)=b/

—4cx—2a—4是“2系多项式"，求a与c的值.

【思路点拨】

(1)根据多项式的零点的定义即可求解；

(2)根据多项式的零点的定义将％=1代入a/—缶―1户—5=0,求得a=2,再解一元二次方程即可求

解；

⑶令ex—5c=0,求得M的一个零点为5,根据“2系多项式”的定义求得方程b/—4cx—2a—4=0的两

个根为/=—1,肛=5,再利用根与系数的关系即可求解.

【解题过程】

(1)解：令(3x+l)(x—2)=0,

.,-3x+1=0或1—2=0,

,%=—百或%=2,

则此多项式的零点为一!或2；

故答案为：—或2；

(2)解：•••多项式B=(x—l)(bx+c)=a/一缶―1户—|有一个零点为1,

.,.将x=1代入a/—(a—l)x—|=0,得a—(a—1)—1=0,

解得Q=2,

：.B=2x2-x-l=(x-l)(2x+1),

-1

令2x+l=0,解得工二一了

•••多项式3的另一个零点为一,；

(3)解：,."=(2ax+6)(cx—5c)=b/_4cx—2a—4是“2系多项式”，

令ex—5c=0,解得x=5,即M的一个零点为5,

•••设M的另一个零点为y,则亨=2,解得丫=一1,

即2。％+b=0时，x=—1,则—2a+b=0①，

令M=bx2—4cx—2a—4=0,

根据题意，方程b%2一4次一2。-4=0的两个根为久1=一1,%2=5,

4c^—2ci^^4

•••Xi+%2=—丁=5+(—1)=4,打•犯二卫=5x(—1)=—5,

：.c=b(2),5b—2Q—4=0③，

解①②③得c=b=1,a=1,

1-

•t•Cl~~jc-1.

17.(22-23九年级上•湖北黄石•期末)(1)%i，*2是关于%的一元二次方程好―2(/£+1*+/+2=0的

两实根，且(久1+1)-(%2+1)=8,求k的值.

22

(2)已知：a,夕(a>°)是一元二次方程/一%-1=0的两个实数根，设Si=a+0,s2=a+)5,

5„=腔+优.根据根的定义，有a?—a—1=0,­=3将两式相加，得(a?+尸)—g+0)

—2=0,于是，得$2—5i—2=0.

根据以上信息，解答下列问题：

①直接写出Si，S2的值.

②经计算可得：S3=4,s=11,当nN3时，请猜想s”s—i，s_2之间满足的数量关系，并给

S4=7,5n

出证明.

【思路点拨】

2

(1)根据一元二次方程根与系数的关系可得出句+%2=2(k+l),xi%2=fc+2.由(久i+1)(*2+1)=8,

可得X1X2+(X1+X2)+1=8,即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别

式验证，舍去不合题意的值即可；

（2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出a+£=—?=l,aS=?=—1,进而可求出si=a+0=1,

222

s2=a+p=Qa+/?）—2a/?=3；②由一元二次方程的解的定义可得出a?—a—1=0,两边都乘以

an-2,得：a11—an-i—an-2=0①，同理可得：优一仗t一印.=0②，再由①+②，得：（d+优）一

n

（a"T+伊t）-（a52+仗—2）=o.最后结合题意即可得出S"-sn—-sn_2=（a+段）一（即一1+印一）

n

一（a-2+俨-2）=0,即Sn=Sn_i+Sn_2.

【解题过程】

解：(1)TX1，X2是关于X的一元二次方程/一2(卜+1户+k2+2=0的两实根,

2

.b-2(Zc+l)ck+2j7।Q

+%2=—~=-------—=2(fc+1),%i%2=-=-y=+2,

•••(Xi+1)(%2+1)=xlx2+(X1+%2)+1=々2+2+2(/c+1)+1=8,

整理，得：fc2+2/c-3=0,

解得：ki=-3,攵2=1.

当忆=-3时，A=b2—4ac=[-2(fc+l)]2-4(fc2+2)=