2025届四川某中学高三第二次高考模拟考试数学试题（含解析）

2025届四川雅安中学高三第二次高考模拟考试数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知角&的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点3,4),贝IJsin2a=().

1224168

A.------B.------C.-D.-

252555

2.设y=/(x)是定义域为R的偶函数，且在[0,+8)单调递增，«=log020.3^=log20.3,贝!!()

A.于(a+b)>/(")>/(0)B.f(a+b)>/(0)>于(ab)

C.f(ab)>于(a+b)〉f(O)D.f(ab)>fQ)>于(a+b)

3.已知四棱锥E-A6CD,底面ABC。是边长为1的正方形，EE>=1,平面ECD,平面A5CD,当点C到平面ABE

的距离最大时，该四棱锥的体积为()

A.—B.-C.—D.1

633

4.设xeR,贝！|“三<27”是“|工|<3"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知集合4={司尤+1<0},B={x\x>a},若AB=则实数。的值可以为()

A.2B.1C.0D.-2

4

6.已知命题P:“7〃=1”是“直线X-冲=0和直线％+7孙=0互相垂直”的充要条件；命题4：函数/'(x)=x+—的

X

最小值为4.给出下列命题：①②〃vq；③pA(「q)；④(「〃)A(「q),其中真命题的个数为()

A.1B.2C.3D.4

7.已知定义在[0,+8)上的函数/(尤)满足/(x)=g/(x+2),且当XG[0,2)时，/(x)=—d+2x.设/(X)在

[2〃-2,2"上的最大值为。"(”6双)，且数列{为}的前“项的和为S,,.若对于任意正整数“不等式

左(邑+1)22〃—9恒成立，则实数上的取值范围为()

S\「1)「3[「7)

A.0,+oo)B.一,+ooC.一,+ooD.一,+oo

L732)64)64)

8.已知集合A=bly=j2—2[,B={x\^<0},则AB=()

()x+1

A.[-L2]B.[-1,72]C.(-1,72]D.[—夜,0]

9.已知三棱锥P—ABC中，AABC是等边三角形，AB=46,PA=PC=26PALBC,则三棱锥P—A3C的

外接球的表面积为()

A.25万B.75»C.80»D.100万

10.已知集合A={x[l<x«24},B=<x\y=,1=>,则。5=()

、f+6%—5,

A.{x|x>5}B.{%|5<x<24}

C.{x|xVl或xN5}D.{x[5<x<24}

11.函数f(x)=4sin[mx+g[。>0)的最小正周期是3兀,则其图象向左平移弓个单位长度后得到的函数的一条对

称轴是()

乃乃5乃19乃

A.X=—B.x=—C.x=—D.X=----

43612

12.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为

[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是()

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在AABC中，角所对的边分别为",仇c,S为AABC的面积，若c=2acos3,5=,”2一工。？，则AABC

24

的形状为,C的大小为.

14.设函数"x)='+2019，X-0,则满足/(_?—4)>/(—3x)的x的取值范围为_____.

2020,x>0、

15.已知函数/(无)=85%-1082(2'+1)+办(。6我)为偶函数，则。=.

22

16.已知双曲线C：A—4=1(a〉0,b>0)的左，右焦点分别为尸1，F2,过点K的直线与双曲线的左，右两

a2b2

7

支分别交于A,B两点,若|A@=|A阊，COSZBAF=-,则双曲线C的离心率为.

28

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在AABC中，角AB,C所对的边分别为a,b,C,若m=(a,b-c),«=(sinA-sinB.sinB+sinC),

O=(1,2),且根J_〃-

(1)求角C的值；

(2)求〃•p的最大值.

18.(12分)在AABC角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,若asinB=#)bcosA.

(1)求角4

(2)若AABC的面积为2&a=5,求AABC的周长.

19.(12分)如图，在四棱锥P-A5C。中，底面A3C。是矩形，ABCD,且B4=AZ>,E,尸分别是棱AB,

PC的中点.求证：

(1)EF//平面R4Z)；

(2)平面尸CE_L平面PCD.

20.(12分)已知函数/(x)=|九一"—归+2nzi的最大值为3,其中机>0.

(1)求实数加的值;

3A3

(2)若e〉0,6+62=相求证:幺H----->1.

ba

21.(12分)手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，

有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该

村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，

质量把关程序如下：(i)若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；(ii)若仅有1位行家

认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工

艺品质量为8级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；(iii)

若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为。级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认

为质量不过关的概率为工，且各手工艺品质量是否过关相互独立.

3

(1)求一件手工艺品质量为3级的概率；

(2)若一件手工艺品质量为A,3,C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为。级不能外销，利润

记为100元.

①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；

②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.

22.(10分)如图，在AABC中，AB>BC,ZABC=120°,AB=3,NABC的角平分线与AC交于点。，BD=1.

C

n

A——--------------------------B

(I)求sinA；

(II)求ABCD的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

根据角终边上的点坐标，求得sin。,cosa,代入二倍角公式即可求得sin2。的值.

【详解】

43

因为终边上有一点尸(—3,4),所以sina=1,cosa=-不，

4/3、24

sinla=2sinacos«=2x—x——=-----

5I25

故选：B

此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目.

2.C

【解析】

根据偶函数的性质，比较即可.

【详解】

解：k+可=配02().3+g0.3卜翳|+需

1g0.3x1g|lg0.3xlg(

_____________________

-Ig5xlg2Ig5xlg2

lg0.3lg0.3

\ab\=|log020.3xlog20.3|=igolxlg^

-lg0.3xlg0.3_lg0.3xlg0.3

Ig5xlg2Ig5xlg2

-lg0.3x(-lg0.3)

Ig5xlg2

lg0.3xlg^

Ig5xlg2

显然IggclgT，所以卜+可＜|明

y=/(x)是定义域为R的偶函数，且在［0,+8)单调递增，

所以/(")＞/(a+b)＞/(0)

故选：C

本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.

3.B

【解析】

过点E作&/LCD,垂足为H,过〃作毋'LAB，垂足为尸，连接EE因为CD//平面ABE,所以点C到平面ABE

冗

的距离等于点H到平面ABE的距离〃.设/。。6=。(0＜夕45)，将人表示成关于。的函数，再求函数的最值，即可

得答案.

【详解】

过点E作&/LCD,垂足为H,过"作班'LAB，垂足为尸，连接EE

因为平面EC£)J_平面ABC，所以EHJ_平面ABC。，

所以EHLHF.

因为底面ABC。是边长为1的正方形，HF//AD,所以即=45=1.

因为CD//平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点”到平面ABE的距离.

易证平面EFH上平面ABE,

所以点”到平面ABE的距离，即为H到EF的距离h.

不妨设/。。£=。(0＜。＜5)，则石"=sin6,EF=Vl+sin26).

因为s.EHF=3'EF-h=3,EH-FH,所以/?.Jl+sin?8=sin8,

7sin。1A/2

h----------------------------

所以n；-2，当6=不时，等号成立・

Vsin2^+

此时即与即重合，所以硝"%—京2*14

故选：B.

E

本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力,

求解时注意辅助线及面面垂直的应用.

4.B

【解析】

先解不等式化简两个条件，利用集合法判断充分必要条件即可

【详解】

解不等式d<27可得x<3,

解绝对值不等式Ix|<3可得-3<x<3,

由于｛x[—3<x<3｝为｛x|x<3｝的子集,

据此可知“三<27”是"Ix|<3"的必要不充分条件.

故选：B

本题考查了必要不充分条件的判定，考查了学生数学运算，逻辑推理能力，属于基础题.

5.D

【解析】

由题意可得A={x|x<—1},根据AB=R,即可得出a4-L,从而求出结果.

【详解】

A={x\x<-Y\,B={x\x>a},且=,

。的值可以为-2.

故选：D.

考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算.

6.A

【解析】

先由两直线垂直的条件判断出命题〃的真假，由基本不等式判断命题q的真假，从而得出p,q的非命题的真假，继而判

断复合命题的真假，可得出选项.

【详解】

已知对于命题2，由1x1—根2=0得加=±1,所以命题〃为假命题;

4

关于命题4,函数/(尤)=1+—，

x

4I~44

当%>0时，f(x)=x+—>2.lx--=4,当％=—即x=2时，取等号,

X\XX

4

当无<0时，函数/(%)=%+—没有最小值，

x

所以命题4为假命题.

所以和/是真命题,

所以夕八4为假命题，为假命题，夕八时为假命题，「夕人飞为真命题，所以真命题的个数为1个.

故选：A.

本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用，以及复合命题的真假的判断，注意运用基本不等式时，满足所需的

条件，属于基础题.

7.C

【解析】

由已知先求出/(X)max=2"T,即4=2小，进一步可得S“=2"-1,再将所求问题转化为左对于任意正整

2

2〃一9

数"恒成立，设%=只需找到数列｛g｝的最大值即可.

【详解】

当2〃-2Vx<2〃时，则0VX+2-27Z<2,f(x+2-2n)=-(x+2-2n)(x-2n),

所以，/(x)=2"T/[x—2(〃-1)]=—2"T(尤+2—2〃)(x—2"),显然当x=277—1时,

1

/(x)max=2"，故%=2"-,S“=I',7")=2,_i，若对于任意正整数n不等式

1—2

左(邑+1)22〃—9恒成立，即左2〃22"—9对于任意正整数〃恒成立，即左对于任

立十击a业心卜一—一、江2n—911—271人11—27?左刀，日11

息正整数九恒成"，设。”=下「，c”+「c“=2用，令2〃+1>°'斛得“<万，

令书当<0,解得〃〉?，考虑到“cN*，故有当〃W5时，｛g｝单调递增，

33

当〃26时，有｛。〃｝单调递减，故数列｛%｝的最大值为。6=3=&;，

3

所以人之二.

64

故选：C.

本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前W项和、数列单调性的判断等知识，是一道较

为综合的数列题.

8.C

【解析】

计算A=[-后,行],5=(-1,2],再计算交集得到答案.

【详解】

故选：C.

本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.

9.D

【解析】

根据底面为等边三角形，取3C中点"，可证明BCJ_平面R44,从而即可证明三棱锥P-A5C为正

三棱锥.取底面等边AABC的重心为。'，可求得P到平面ABC的距离，画出几何关系，设球心为。，即可由球的性质

和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.

【详解】

设〃为中点，AA5C是等边三角形，

所以

又因为且上4AM=A,

所以3C,平面则5。，。加，

由三线合一性质可知PB=PA=PC,

所以三棱锥P—ABC为正三棱锥，AB=46,PA=PB=PC=2区

设底面等边AABC的重心为0',

可得AO'=§AM=§><6=4，po=JpA2Ao,2=420-16=2，

所以三棱锥P-ABC的外接球球心在面ABC下方，设为。，如下图所示:

由球的性质可知，尸0,平面ABC,且p,。,。在同一直线上，设球的半径为R,

在RtAAO(7中，AO2=AO'2+OO'2，

即R2=16+(R-2『，

解得R=5,

所以三棱锥P—ABC的外接球表面积为S=4»R2=4»x25=100»，

故选：D.

本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高,

属于中档题.

10.D

【解析】

首先求出集合3,再根据补集的定义计算可得；

【详解】

解：V-X2+6X-5>0.解得1<X<5

B={x11<x<5},dAB=15<x<24}.

故选：D

本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.

11.D

【解析】

由三角函数的周期可得由函数图像的变换可得，平移后得到函数解析式为y=4sin1|x+t^|,再求其

对称轴方程即可.

【详解】

解：函数/(x)=4sinox+g卜。〉0)的最小正周期是3万，则函数/(x)=4sin，经过平移后得到函数解

271\7124〃

析式为y=4sin—x+—+—=4sin—x+，由一x------kjrH—(kGZ)，

392

3yr197r

得x=]br+方(左wZ),当左=1时，1=五.

故选D.

本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.

12.D

【解析】

频数

根据频率分布直方图中频率=小矩形的高x组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量=嗡要求出班级人数.

频率

【详解】

根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是(0.005+0.010)x20=0.30,

1Q

.•.样本容量(即该班的学生人数)是一=60(人).

0.30

故选：D.

频数

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=二日的应用问题,属于基础题

-样2本容量

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

7T

13.等腰三角形C=—

4

【解析】

:c=2acosB

根据正弦定理可得sinC=2sinAcos5,即sin(A+B)=2sinAcosB

:.sin(A-B)=0

•*.A=B

AABC的形状为等腰三角形

•/S=-a2--c2

24

—absinC=-a2+—O2——c2=—a2+—Z72——c2

2444444

片+b2-C2

**.sinC=

lab

〃2*序—「2

由余弦定理可得cosC=-—-—-

2ab

sinC=cosC，即tanC=1

VCe(0,^)

：.c=-

4

71

故答案为等腰三角形，一

4

14.(1,-H»)

【解析】

当x<0时，函数单调递增，当x〉0时，函数为常数，故需满足炉―4>—3x，且—3%<0,解得答案.

【详解】

,>+2019,%<0

/(%)=,当x<0时，函数单调递增，当x>0时，函数为常数，

[2020,x>0

/(/—4)>/(-3x)需满足/一4>—3%，且—3x<0,解得x>l.

故答案为：(L+8).

本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

1

15.-

2

【解析】

根据偶函数的定义列方程，化简求得。的值.

【详解】

由于/(%)为偶函数，所以/(—x)=/(x)，

即cos(-x)-log2QT+1)—ax=cosx-log,(2*+1)+ax,

X

BPcosx-log2(2-*+1)-ax=cosx-log2(2+l)+at,

gplog2(2*+l)-log2(2-”+1)—2at=0,

X

2+1（2尤+1），(2%+1)2

即1叫£^—2以=0,即77—2ax=°，即log2~———-------2ax=0，即

22'+1

X

log22-2依=X-2OV=(1-2Q)X=0,所以1—2。=0,。=：.

故答案为：一

2

本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力，属于中档题.

16.巫

3

【解析】

设忸耳|==加，由双曲线的定义得出：忸制=2a+〃,|AE|=m—2a,由=|A阊得.AB鸟为等腰三角

7—\BFI—n

形，设/48招=/4K6=。，根据85/瓦1鸟=石，可求出8笠_1-212匚2,得出机=2”，再结合焦点

84\AF2\m

三角形A3£鸟，利用余弦定理：求出。和c的关系，即可得出离心率.

【详解】

解：^\BF2\=n,\AF2\=m,

由双曲线的定义得出：

忸司―忸耳|=2a,则|国|=2。+〃，

|A耳|—|A制=2a,则|A£|=7%—2a,

由图可知：|AB|=|BG|—|叫|=4。+〃一机，

又

\AB\=\AF2\,

即4a+n—m=m,

则2nl=4a+〃，

AA5K为等腰三角形，

7

「cos/BAR=—,

28

设NABg=NA&B=e,

23+ZBAF2=7i,则2。="—ZBAF2,

/.cos20=cos(兀—ZBAF2)=一cosBAF2=——,

,7COS6=L

BPcos20=2cos20-1=——,解得:

84

1

则9I21

---------r=

I阿4

1

—n

,2_1，解得：m=2n,

m4

4

4〃=4Q+〃，即3〃=4a,解得：n=—a,

3

8

/.m=—a,

3

在中，由余弦定理得:

囱「+忸研一片叫1

cosZFBF=cos0=

}221gli时4

即：(2。+疗+5)2-"

2(2〃+〃)・〃

解得：《2=二=电，即0=工=基.

a36a3

故答案为：巫.

3

本题考查双曲线的定义的应用，以及余弦定理的应用，求双曲线离心率.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)|；(2)2G.

【解析】

(1)由正弦定理可得4+。2_再用余弦定理即可得到角C；

(2)n-p=73sin^A+^+A/3,再利用求正弦型函数值域的方法即可得到答案.

【详解】

(1)因为根_[_〃，所以a(sinA-sin3)+以-c)(sin5+sinC)=0.

abc

在AA5C中，由正弦定理得——,

sinAsinBsinC

222

所以a(a-b)+S-c)(b+c)=。，gpa+b-C=a]j.

在AA5C中，由余弦定理得cosC=3*一J="=

lablab2

IT

又因为。£(0,万)，所以c=—.

3

一71

(2)由(1)得。=—,在A4BC中，A+B+C=7i,

3

所以〃•方=1x(sinA-sinB)+2(sinB+sinC)

22

=—sinAH---cosA+

22

=氐皿卜+高+6.

因为所以A+^e

所以当A+^=色，即4=工时，y=sin[A+f]有最大值1,

623I6J

所以"-p的最大值为2』.

本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算，是一道容易题.

、兀

18.(1)—；(2)1.

3

【解析】

(1)由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB=sinBcosA,求得tanA=J§\结合范围4£(0,兀)，可求A=(.

(2)利用三角形的面积公式可求A=8,由余弦定理解得。+。=7,即可得解△A3C的周长的值.

【详解】

(1)由题意，在AABC中，因为asinB=y/3bcosA，

由正弦定理，可得sinAsinB=^/3sinBcosA,

又因为(。,万)，可得sinB/),

所以sinA=下cosA,即：tanA=6,

jr

因为Ae（0,兀），所以A=§；

T[

（2）由（1）可知A=—,且a=5，

3

又由△ABCbe,解得bc=8,

由余弦定理。2=浮+。2-26«：054可得：25=b2+c2-bc=（6+c）2-3bc=（b+c）2-24,

整理得（b+c）2=49,解得：b+c=7,

所以△ABC的周长a+b+c=5+1=\.

本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属

于基础题.

19.（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）取的中点G构造平行四边形但‘G,得到所//AG,从而证出所//平面R4D；

（2）先证平面PC。，再利用面面垂直的判定定理得到平面PCD平面PCE.

【详解】

证明：（1）如图，取PD的中点G,连接AG,FG,

■E是棱AB的中点，底面ABCD是矩形，

:.AE//CD,且

2

又•：F,G分别是棱尸C,的中点，

:.FG//CD,且RG=」AC,

2

:.AE//FG,且AE=FG,

二四边形AEFG为平行四边形，

.-.EF//AG,

又。EFC平面PAD，AGu平面上4£），

.•.即//平面24。；

（2）=AD,点G是棱。。的中点，

.-.AG±PD,

又\EF//AG,:.EF上PD,

平面ABC。，CDu平面ABCD,

.-.PA±CD,

底面ABC。是矩形，.♦.ADLCD,

PAu平面ABCD，ADu平面ABC。，且尸44)=A,

\CDz平面Q4Z),

又•.•AGu平面R4D，,CD，AG,

FEIIAG,:.CD±EF,

又•.CDu平面PC。，平面PC。，且CD「PD=D,

.,.EF,平面PC。，

又•.EFu平面PCE,

二平面PCD,平面PCE.

本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的判定，首选判定定理，是中档题.

20.(1)1；(2)证明见解析.

【解析】

⑴利用零点分段法将/(九)表示为分段函数的形式，由此求得〃尤)的最大值，进而求得的值.

3h31

(2)利用(1)的结论，将幺+幺转化为———2ab,求得。匕的取值范围，利用换元法，结合函数的单调性，证得

baab

i313

——2ab>l,由此证得不等式幺+幺21成立.

abba

【详解】

(1)m>0

—3m,x>m

/(%)=|x—m|-|x+2m|=<—2x-m,—2m<x<m

3m,x<—2m

二当x=2m时，f(%)取得最大值3m.

/.m=l

22

（2）证明:由（1）得，a+b=l9

a3b3a4+b4(a-+b-^-2a-b2i

=---------=-----------------------=-------lab

baababab

Qa^NZab，当且仅当〃=b时等号成立，

0<ab<—

2

令h(t)=；—2t,0<Z<!

则妆x)在|o,g上单调递减

/.h(t)>h

,当0<abW』时,

2

--2ab>l

ab

ba

本小题主要考查含有绝对值的函数的最值的求法，考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.

21.(1)—(2)①2②期望值为上竺

8127

X900600300100

816207

P

27818127

【解析】

（1）一件手工艺品质量为2级的概率为c；xgx（l-）＞＜（1_，）2=襄

33381

1117

（2）①由题意可得一件手工艺品质量为D级的概率为C；x（72x（l-p+C；x（?3=行,

7

设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是J件，则〜3（10,，），

70-7上

20%+2