2025年中考数学复习之图形的对称

2025年中考数学复习热搜题速递之图形的对

选择题（共10小题）

1.如图，点P是/498内任意一点，OP=5cm,点M和点N分别是射线。4和射线上的动点，4PMN

周长的最小值是5c〃z,则NAOB的度数是（）

D.40°

2.如图，等腰三角形48c的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线所分别交AC,48边于E,

点M为线段E尸上一动点，则△CZJM周长的最小值为（）

C.10D.12

3.如图，四边形A8CD中，ZC=50°,ZB=ZD=90o,E、尸分别是BC、0c上的点，当△AEF的周

)

C.70°D.80°

4.如图，点尸是NAOB内任意一点，且乙4。2=40°,点〃和点N分别是射线。4和射线03上的动点,

当△PMN周长取最小值时，则/MPN的度数为（）

A.140°B.100°C.50°D.40°

5.如图，在AABC中，AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线，P是A。上一个动点，则下列线段的长

C.ADD.AC

6.如图，在矩形488中，AB=5,AD=3,动点P满足S△物B=矩形ABC。，则点尸到A、8两点距离之

A.V29B.V34C.5V2D.V41

7.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

©卷c⑥Q

8.如图，在2义2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC,则与AABC成轴对称且以格点为顶点三角形

共有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

9.如图，在RtZXABC中，90°,AC=6,BC=8,AD是/BAC的平分线.若P,Q分别是A。

和AC上的动点，则PC+尸。的最小值是（）

D

o/

1224

A.—B.4C.一D.5

55

10.如图，ZVIBC中，ZBAC=90°，48=3,AC=4,点。是BC的中点，将△AB£）沿A。翻折得到^

AED,连CE,则线段CE的长等于（

57

C.一D.

35

二.填空题（共5小题）

11.如图，ZAOB=30°,点M、N分别在边04、05上，且0M=l,ON=3,点尸、。分别在边05、

0A上，则MP+PQ+QN的最小值是

12.如图，矩形中，AB=3,BC=4,点E是8C边上一点，连接AE,把沿AE折叠，使点8

落在点次处.当ACEB'为直角三角形时，8E的长为

13.如图，正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上，AE=3,点/是边BC上不与点8,C重合的一

个动点，把△班尸沿EF折叠，点B落在B'处.若△C£>3’恰为等腰三角形，则DB'的长

为

14.如图是一张矩形纸片，点E在边上，把△3CE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点尸

处，连接。立若点E,F,。在同一条直线上，AE=2,则。/=,BE=

15.如图，正方形纸片ABCD的边长为12,E是边CD上一点,连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE

上的G点，并使折痕经过点B,得到折痕BF,点、F在上，若DE=5,则GE的长

为.

AFD

三.解答题(共5小题)

16.如图在平面直角坐标系中,△A8C各顶点的坐标分别为：A(4,0),B(-1,4),C(-3,1)

(1)在图中作B'C使B'C和△ABC关于x轴对称;

(2)写出点A',正，C'的坐标.

17.如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(0,1)、B(2,0)、C(4,3).

(1)在平面直角坐标系中画出△ABC,则△ABC的面积是；

(2)若点。与点C关于〉轴对称，则点。的坐标为:

(3)已知P为x轴上一点，若AAB尸的面积为4,求点P的坐标.

18.(1)如图1,在AB直线一侧C、。两点，在AB上找一点P,使C、D、尸三点组成的三角形的周长

最短，找出此点并说明理由.

(2)如图2,在NAO8内部有一点P,是否在。4、OB上分别存在点E、F,使得E、F、P三点组成

的三角形的周长最短，找出E、尸两点，并说明理由.

(3)如图3,在NAOB内部有两点〃、N,是否在OA、OB上分别存在点E、F,使得E、F、M、N,

四点组成的四边形的周长最短，找出区厂两点，并说明理由.

19.如图，在△ABC中，ZABC=45°，点尸为边BC上的一点，BC=3BP,且/E4B=15°，点C关于

直线B4的对称点为。，连接2。，又△APC的PC边上的高为A8

(1)求的大小；

(2)判断直线8。，AH是否平行？并说明理由；

(3)证明：NBAP=/CAH.

A

20.矩形ABC。中，AB=8,AD=12.将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为OE.

Ap

(1)如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP,求法的值；

(2)如图②，若E是的中点，"的延长线交于点凡求8尸的长.

2025年中考数学复习热搜题速递之图形的对称（2024年7月）

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.如图，点尸是内任意一点，OP=5c",点M和点N分别是射线。4和射线QB上的动点，LPMN

周长的最小值是5c〃z,则/A08的度数是（）

【考点】轴对称-最短路线问题.

【专题】压轴题.

【答案】B

【分析】分别作点尸关于。4、。8的对称点C、D,连接C£）,分别交。4、QB于点/、N,连接OC、

OD、PM、PN、MN,由对称的性质得出PM=DM,OP=OC,ZCOA^ZPOA；PN=CN,OP=OD,

ZDOB=ZPOB,得出忘/C。。，证出△OC。是等边三角形，得出/COO=60°,即可得出结

果.

【解答】解：分别作点P关于。4、的对称点C、D,连接CD,

分别交。4、于点M、N,连接。C、OD、PM、PN、MN,如图所示：

:点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C,

；.PM=DM,OP=OD,ZDOA^ZPOA；

,/点、P关于OB的对称点为C,

:.PN=CN,。尸=OC,ZCOB=ZPOB,

1

:.OC=OP=OD,NAOB=RCOD,

•••△PMN周长的最小值是5cm,

：.PM+PN+MN=5,

：.DM+CN+MN=5,

即CD=5=OP,

：.OC=OD=CD,

即△OCZ）是等边二角形,

：.ZCOD^60°,

AZAOB=30°；

故选：B.

【点评】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质,

证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.

2.如图，等腰三角形A8C的底边8C长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,A8边于E,

F点.若点。为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CAM周长的最小值为（）

C

A.6B.8C.10D.12

【考点】轴对称-最短路线问题.

【答案】C

【分析】连接A。，由于△ABC是等腰三角形，点。是8c边的中点，故AOL8C,再根据三角形的面

积公式求出的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A,

故的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论.

【解答】解：连接

「△ABC是等腰三角形，点。是8C边的中点，

：.AD±BC,

[1

：.S^ABC=^BC'AD=X4XAD=16,解得A£>=8,

•••EF是线段AC的垂直平分线，

点C关于直线EF的对称点为点A,

.,.AD的长为CM+MD的最小值，

一11

：.^CDM的周长最短=CM+MO+CO=AZ)+^C=8+/4=8+2=10.

【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.

3.如图，四边形ABC£)中，ZC=50°,ZB=ZD=90°,E、尸分别是BC、DC上的点，当△AEP的周

A.50°B.60°C.70°D.80°

【考点】轴对称-最短路线问题.

【专题】压轴题.

【答案】D

【分析】据要使aAEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC

和CD的对称点A',A",即可得出/AA'E+ZA"=ZHAA'=50°,进而得出NAEF+/AFE=2

CZAA'E+ZA"),即可得出答案.

【解答】解：作A关于BC和C。的对称点A',A",连接A'A",交BC于E,交C。于R则A'

A"即为△AEF的周长最小值.作。A延长线

VZC=50°,

：.ZDAB=130°,

：.ZHAA'=50°,

AZA4ZE+ZA"=ZHAA'=50°,

'：ZEA'A=ZEAA',ZFAD=ZA",

：.ZEAA'+NA"AP=50°,

.•.Z£AF=130°-50°=80°,

故选：D.

【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性

质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E,尸的位置是解题关键.

4.如图，点尸是/AOB内任意一点，且乙4。8=40。，点M和点N分别是射线。4和射线OB上的动点，

当△PMN周长取最小值时，则/MPN的度数为（）

A.140°B.100°C.50°D.40°

【考点】轴对称-最短路线问题.

【专题】平移、旋转与对称.

【答案】B

【分析】分别作点P关于08的对称点尸1、尸2,连尸1、尸2,交OA于交OB于N,的

周长=P1P2,然后得到等腰△OP1P2中，ZOPiP2+Z（?P2Pi=100o,即可得出

=ZOP1M+ZOP2N=100°.

【解答】解：分别作点P关于。4、OB的对称点尸1、尸2,连接P1P2,交。4于交OB于N,则

OP1=OP=OP2,NOPiM=NMPO,NNPO=/NP2O,

根据轴对称的性质，可得MP=P1M,PN=P2N,则

△PMN的周长的最小值=尸1尸2,

.•.NPIOP2=2NAOB=80°,

，等腰△OP1P2中，/OP1P2+/OP2Pl=100°,

/MPN=ZOPM+ZOPN^ZOP1M+ZOPiN=100°,

故选：B.

【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰△0PP2中/。尸1尸2+/

。尸2Pl=100。是关键.凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于

某直线的对称点.

5.如图，在△ABC中，AB^AC,AD,CE是△ABC的两条中线，尸是A。上一个动点，则下列线段的长

度等于BP+“最小值的是（）

B.CEC.ADD.AC

【考点】轴对称-最短路线问题；等腰三角形的性质.

【答案】B

【分析】如图连接尸C,只要证明PB=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+PC^CE,推出P、C、

E共线时，P8+PE的值最小，最小值为CE的长度.

【解答】解：如图连接PC,

：.AD1BC,

：.PB=PC,

:.PB+PE=PC+PE,

;PE+PCNCE,

：.P,C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，

故选：B.

【点评】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关

键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

6.如图，在矩形A8CD中，AB=5,AD=3,动点P满足S△用B=恭矩形ABCD,则点尸到A、8两点距离之

A.V29B.V34C.5A/2D.V41

【考点】轴对称-最短路线问题.

【专题】空间观念；几何直观；模型思想.

【答案】D

【分析】首先由S△朋B=3矩形ABCD,得出动点尸在与43平行且与的距离是2的直线/上，作A关

于直线/的对称点E,连接AE,连接BE,则8E的长就是所求的最短距离.然后在直角三角形ABE中，

由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值.

【解答】解：设AABP中A8边上的高是/?.

..1

•S/\PAB—矩形ABCD,

11

：.-AB-h=^AB-AD,

23

2

.,./?=|A£)=2,

动点尸在与AB平行且与AB的距离是2的直线/上，如图，作A关于直线/的对称点E,连接AE,

连接8E,则BE的长就是所求的最短距离.

在RtZkABE中，'：AB=5,AE=2+2=4,

：.BE=yjAB2+AE2=V52+42=V41,

即PA+PB的最小值为"I.

故选：D.

【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最

短的性质.得出动点P所在的位置是解题的关键.

7.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

B邀C⑥DC

【考点】轴对称图形.

【答案】A

【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形

叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

【解答】解：4是轴对称图形，故A符合题意；

B、不是轴对称图形，故8不符合题意；

C、不是轴对称图形，故C不符合题意；

D、不是轴对称图形，故。不符合题意.

故选：A.

【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点.确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后

可重合.

8.如图，在2X2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC,则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形

共有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【考点】轴对称的性质.

【专题】网格型.

【答案】c

【分析】解答此题首先找到AABC的对称轴，EH、GC、AD,8E等都可以是它的对称轴，然后依据对

称找出相应的三角形即可.

【解答】解：与AABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDRAAEF、ADBH,丛BCG

共5个，

故选：C.

【点评】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键.

9.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6,8c=8,是N8AC的平分线.若P,。分别是

和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）

24

C.——D.5

5

【考点】轴对称-最短路线问题.

【答案】C

【分析】过点C作交A8于点交A。于点P,过点尸作PQLAC于点Q,由是/BAC

的平分线.得出尸这时尸C+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出A3,再运用

ABC=^AB-CM=^AC-BC,得出CM的值，即PC+P。的最小值.

【解答】解：如图，过点C作交AB于点交于点P,过点P作PQLAC于点Q,

是N8AC的平分线.

:.PQ=PM,这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，

,.・AC=6,3C=8,NAC8=90°,

：.AB=ylAC2+BC2=V62+82=10.

:SAABC=^AB-CM=%C・BC,

AC-BC6x8_24

：.CM=

~~AB~万L号'

即PC+PQ的最小值为二.

故选：C.

【点评】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足尸C+P。有最小值时点尸和。的位置.

10.如图，△ABC中，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,点。是BC的中点，将沿翻折得到^

AED,连CE,则线段CE的长等于（

557

A.2B.-c.-D.-

435

【考点】翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线；勾股定理.

【答案】D

【分析】如图连接8E交于O,作A”_LBC于”.首先证明垂直平分线段BE,ABCE是直角三

角形，求出8C、BE,在Rt^BCE中，利用勾股定理即可解决问题.

【解答】解：如图连接BE交4。于O,作AHJ_8c于H.

在RtzXABC中，VAC=4,AB=3,

；.BC=V32+42=5,

■:CD=DB,

：.ED=DC=DB=^

11

V—BC*AH=4*AB*AC,

22

12

：.AH=苦,

'：AE=AB,

.•.点A在BE的垂直平分线上.

,:DE=DB=DC,

...点。在BE的垂直平分线上，△BCE是直角三角形,

...A。垂直平分线段BE,

11

\'-AD-BO=^BD-AH,

22

12

・•・OB=

24

；・BE=2OB=W，

在RtABCE中，EC=VBC2-BE2=J52-（等产

解法二：连接BE,于点ROF是三角形中位线，求出。R可得结论.

【点评】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用

面积法求高，属于中考常考题型.

二.填空题（共5小题）

11.如图，ZAOB=30°,点M、N分别在边。A、OB上,且OM=1,ON=3,点、P、。分别在边。2、

OA上，则MP+PQ+QN的最小值是_国_.

【考点】轴对称-最短路线问题.

【专题】压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】作M关于08的对称点AT,作N关于。4的对称点N',连接N',即为MP+PQ+QN

的最小值.

【解答】解：作M关于02的对称点,作N关于04的对称点N',

连接"N',即为MP+PQ+QN的最小值.

根据轴对称的定义可知：NN'OQ=ZM'08=30°,ZONN'=60°,

：.^ONN'为等边三角形，△OMM'为等边三角形，

AZN'OM'=90°,

.•.在RtZWON'中，

M'N1=V32+I2=V10.

故答案为VTU.

【点评】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形

是解题的关键.

12.如图，矩形ABC。中，42=3,BC=4,点E是2C边上一点，连接AE,把沿AE折叠，使点B

3

落在点8'处.当△CEB'为直角三角形时，BE的长为/或3.

【考点】翻折变换（折叠问题）.

【专题】压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】当△CEB'为直角三角形时，有两种情况:

①当点夕落在矩形内部时，如答图1所示.

连接AC,先利用勾股定理计算出AC=5,根据折叠的性质得NAB'E=/B=90。，而当△CEB'为直

角三角形时，只能得到NE3'C=90°,所以点A、B'、C共线，即N2沿AE折叠，使点B落在对角

线AC上的点8'处，则EB=EB，,AB=AB'=3,可计算出CB'=2,设8E=x,贝U£8'=x,CE

=4-x,然后在Rt^CEB'中运用勾股定理可计算出x.

②当点2'落在4。边上时，如答图2所示.此时为正方形.

连接AC,

在RtZkABC中，AB=3,BC=4,

；.AC=V42+32=5,

沿AE折叠，使点8落在点8'处，

AZAB'E=/B=90°,

当△CEB为直角三角形时，只能得到/防'C=90°,

...点A、夕、C共线，即沿AE折叠，使点8落在对角线AC上的点距处,

:.EB=EB',AB=AB'=3,

：.CB'=5-3=2,

设贝W=x,CE=4-x,

在RtZIkCEB'中，

■:EB'2+CB'2=C£2,

.'.X2+22=(4-x)2,解得x=,

：.BE=I；

②当点8,落在A。边上时，如答图2所示.

此时ABEB'为正方形，：.BE=AB=3.

3

综上所述，BE的长为一或3.

2

3

故答案为：5或3.

【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等.也考查了矩形的

性质以及勾股定理.注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解.

13.如图，正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上，AE=3,点尸是边8c上不与点8,C重合的一

个动点，把△EBP沿EF折叠，点8落在夕处.若△CO8'恰为等腰三角形，则。夕的长为16或

4V5_.

【考点】翻折变换(折叠问题).

【专题】压轴题；分类讨论.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据翻折的性质，可得配E的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，

可得答案.

【解答】解：(z)当B'D=B'C时，

过8'点作GH〃AD,则/夕G£=90°,

1

当B'C=B'。时，AG=Z)H=以C=8,

由AE=3,AB=16,得BE=13.

由翻折的性质，得B'E=BE=13.

：.EG=AG-AE=S-3=5,

：.B'G=<B'E2-EG2=V132-52=12,

：.B'H=GH-B'G=16-12=4,

：.DB'=yjB'H2+DH2=V42+82=4小

(«'z)当DB'=CD时，则。8'=16(易知点厂在BC上且不与点C、B重合).

(Hi)当CB'=C。时，贝iJC8=C8',由翻折的性质，得EB=EB',：.点、E、C在BB'的垂直平分

线上，；.EC垂直平分3次,由折叠，得跖也是线段的垂直平分线，.•.点/与点C重合，这与

已知“点尸是边8c上不与点8,C重合的一个动点”不符，故此种情况不存在，应舍去.

综上所述，DB'的长为16或4强.

故答案为：16或4班.

【点评】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的判定.

14.如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△2CE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点尸

处，连接。E若点E,F,。在同一条直线上，AE=2,则DF=2,BE=建一1.

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据矩形的性质得到AO=8C,ZADC=ZB=ZDAE=90°,根据折叠的性质得到C5=8C,

ZCFE=ZB=90°,根据全等三角形的性质得至I]DF=AE=2；根据相似三角形的性质即可

得到结论.

【解答】解：：四边形A3。是矩形，

：.AD=BC,ZADC=ZB=ZDAE=90°,

:把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点尸处,

.CF=BC,ZCFE=ZB=90°,EF=BE,

：.CF=AD.ZCFD=90°,

・•・ZADE+ZCDF=ZCDF+ZDCF=90°,

・•・ZADF=ZDCF,

：.AADE^AFCD(ASA),

：.DF=AE=2；

VZAFE=ZCFD=90°,

AZAFE=Z£)AE=90°,

ZAEF=/DEA,

・•・AAEF^ADEA,

,AEDE

••—,

EFAE

.22+EF

••—,

EF2

.-.£F=V5-1(负值舍去)，

：.BE=EF=V5~1,

方法二：'：AB//CD,

・•SAACD=SADCE,

SAACD-SADCF=SADCE-SADCF,

••S/\ADF=S/\ECF,

由题意知，BC=CF,S^ACD=SMBC,S^ECF=SABCE,

SAACD-S^ADF=SAABC-SACEF=SAABC-SABCE,

:・SADCF=SAACE,

xDF・CF=%E・BC,

CF=BC,

：.DF=AE=2,

设BE=x,

'：AE//CD,

：.AAEF^ACDF,

.AEEF

9，CD~DF"

.2%

••=一,

2+x2

解得：x-V^-1（负值舍去），

：.BE=y/5-l.

故答案为：2,V5-1.

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩

形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

15.如图，正方形纸片的边长为12,E是边C。上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE

49

上的G点，并使折痕经过点8,得到折痕点P在上，若DE=5,则GE的长为1.

-13

BC

【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称.

【答案】见试题解答内容

【分析】由折叠及轴对称的性质可知，AABF冬AGBF,8尸垂直平分AG,先证△ABFgZk/ME,推出

AF的长，再利用勾股定理求出的长，最后在RtaAB尸中利用面积法可求出A8的长，可进一步求

出AG的长，GE的长.

【解答】解：；四边形ABC。为正方形，

：.AB=AD=n,ZBAD=ZD=90°,

由折叠及轴对称的性质可知，之△GBR垂直平分AG,

：.BF±AE,AH=GH,

：.ZBAH+ZABH^9Q0,

又：/物H+/BAH=90°,

ZABH=ZFAH,

：.AABF^/\DAE（ASA）,

：.AF^DE^5,

在尸中，

BF=<AB2+AF2=V122+52=13,

11

S丛ABF=^AB*AF=寺BF・AH,

：.12X5=13AHf

60

：

.AH=否'

120

：.AG=2AH=詈

VAE=BF=13,

12049

・•・GE=AE-AG=13-蜀=若,

49

故答案为：—.

AFD

【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线

段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质.

三.解答题(共5小题)

16.如图在平面直角坐标系中，△A8C各顶点的坐标分别为：A(4,0),B(-1,4),C(-3,1)

(1)在图中作B'C'使AA'B'C和△ABC关于x轴对称;

【考点】坐标与图形变化-对称.

【专题】数形结合.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点A'的坐标为(4,0),点夕的坐标为(-1,

-4）,点C'的坐标为（-3,-1）,然后描点；

（2）由（1）可得到三个对应点的坐标.

【解答】解：（1）如图，

（2）点A'的坐标为（4,0）,点8'的坐标为（-1,-4）,点C'的坐标为（-3,-1）.

【点评】本题考查了关坐标与图形-对称：关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴

对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数.

17.如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0,1）、B（2,0）、C（4,3）.

（1）在平面直角坐标系中画出△ABC,则△ABC的面积是4；

（2）若点。与点C关于y轴对称,则点。的坐标为（-4,3）；

（3）已知P为无轴上一点，若AAB尸的面积为4,求点P的坐标.

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.

【专题】三角形；平移、旋转与对称.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）直接利用AABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案;

（2）利用关于y轴对称点的性质得出答案；

(3)利用三角形面积求法得出符合题意的答案.

111

【解答】解：(1)如图所示：ZVIBC的面积是：3X4-2X1X2-2X2X4-2X2X3=4；

故答案为：4；

(2)点。与点C关于y轴对称，则点。的坐标为：(-4,3)；

故答案为：(-4,3)；

(3)•.•尸为x轴上一点，的面积为4,

：.BP=S,

二点尸的横坐标为:2+8=10或2-8=-6,

故尸点坐标为：(10,0)或(-6,0).

>'A

_i_i_i_S~I~i~i~

【点评】此题主要考查了三角形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键.

18.(1)如图1,在AB直线一侧C、。两点，在AB上找一点P,使C、D、尸三点组成的三角形的周长

最短，找出此点并说明理由.

(2)如图2,在NAOB内部有一点P,是否在。4、。8上分别存在点E、F,使得E、F、P三点组成

的三角形的周长最短，找出E、尸两点，并说明理由.

(3)如图3,在NA08内部有两点M、N,是否在OA、08上分别存在点E、F,使得E、F、M、N,

四点组成的四边形的周长最短，找出£、尸两点，并说明理由.

A

【考点】轴对称-最短路线问题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)由于△PC。的周长=PC+CZ)+P£),而CD是定值，故只需在直线AB上找一点P,使PC+PD

最小.如果设C关于直线4B的对称点为C',使PC+PO最小就是使PC'+P。最小；

(2)作尸关于04、的对称点C、D,连接C£>角。4、0B于E、F.此时尸周长有最小值；

(3)如图3,作M关于的对称点C,关于的对称点连接C。，交于E,于凡此时

使得E、F、M、N,四点组成的四边形的周长最短.

【解答】解:(1)如图1,作C关于直线A8的对称点。，

连接C'。交4B于点P.

则点P就是所要求作的点.

理由：在A2上取不同于尸的点P',连接CP、DP',CP.

•..(7和C关于直线/对称，

:.PC=PC',P'C=P'c,

而CP+DP<CP'+DP',

：.PC+DP<CP'+DP'

：.CD+CP+DP<CD+CP'+DP'

即△(7£»尸周长小于△口)〃周长；

(2)如图2,作P关于的对称点C,关于OB的对称点D,连接CD,交。4于E,。8于F,连接

PC,PD,则点E,尸就是所要求作的点，

理由：在。4,08上取不同于E,尸的点E’,F',连接CE'、E'P、PF'、DF',EF,

：C和P关于直线OA对称，。和P关于直线0B对称，

:.PE=CE,CE'=PE',PF=DF,PF'=DF',

PE+EF+PF^CE+EF+DF,PE'+PF'+E'F'=CE'+E'F'+DF',

'：CE+EF+DF<CE'+E'F'+DF',

：.PE+EF+PF<PE'+E'F'+PF'；

(3)如图3,作M关于的对称点C,作N关于。3的对称点。，连接C。，交于E,0B于F,

则点£,/就是所要求作的点.连接MC,ND.

理由：在。4,08上取不同于E,尸的点E',F',连接CE'、E'P,DF',

：C和M关于直线0A对称，

：.ME=CE,CE'=ME',NF=DF,NF'=DF',

由(2)得知MN+ME+EF+NFVMN+ME'+E'F'+F'N.

【点评】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及垂直平分线的性质等知识，根据已知得出对称点

的位置是解题关键.

19.如图，在△ABC中，ZABC=45°,点尸为边BC上的一点，BC=3BP,且/B48=15°，点C关于

直线的对称点为。，连接又△APC的PC边上的高为AH

(1)求N8尸。的大小；

(2)判断直线A8是否平行？并说明理由；

(3)证明：ZBAP=ZCAH.

【考点】轴对称的性质；平行线的判定与性质.

【专题】平移、旋转与对称.

【答案】见试题解答内容

【分析】⑴根据点C关于直线外的对称点为D，即可得到之△ACP,进而得出

=60°,即可得到/8尸。=180°-120°=60°；

(2)先取PD中点E,连接BE,则△3EP为等边三角形，△瓦汨为等腰三角形,进而得到NZ)BP=90°,

即B_D_L8C.再根据△APC的PC边上的高为AH,可得A”_L8C,进而得出8O〃AH；

(3)过点A作2D、。尸的垂线，垂足分别为G、冗根据/G8A=NCBA=45°,可得点A在NGBC

的平分线上，进而得到点A在NGZ)尸的平分线上.再根据/G£＞尸=150°,即可得到NC=/ADP=75°,

进而得到RtZkACH中，ZCAH=15°,即可得出N3AP=/CAM

【解答】解：(1),：ZPAB=i5°,NABC=45°,

/.ZAPC=150+45°=60°,

,/点C关于直线PA的对称点为D,

：.PD=PC,AD=AC,

：.△A。尸经△ACP,

?.ZAPC=ZAPD=60°,

：.ZBPD^1SO°-120°=60°；

(2)直线8£),AH平行.理由：

;BC=3BP,

11

：.BP=^PC=

如图，取尸。中点E,连接BE,则43砂为等边三角形，△5。片为等腰三角形,

：.ZBEP=60°,

1

；.NBDE=*/BEP=30。,

：.ZDBP=90°,BPBDLBC.

又•・・AAPC的PC边上的高为AH,

：.AH.LBC,

J.BD//AH；

(3)如图，过点A作8。、。尸的垂线，垂足分别为G、F.

VZAPC=ZAPD,即点A在N0PC的平分线上,

：.AH=AF.

VZCBD=90°,ZABC=45°,

：.ZGBA=ZCBA=45°,

即点A在NG8C的平分线上，

：.AG=AH,

：.AG=AF,

・••点A在/GDP的平分线上.

又尸=30°,

：.ZGDP=150°,

1

ZAZ)P=^x150°=75°,

：.ZC=ZADP=75°,

，RtZ\AC”中，ZCAH=15°,

J.ZBAP^ZCAH.

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定及轴对称的性质的运用,

解题的关键是利用角平分线的性质与判定构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质即可解决问题.

20.矩形A8C。中，AB=8,AD^12.将矩形折叠，使点A落在点尸处，折痕为。E.

Ap

(1)如图①，若点尸恰好在边BC上，连接AP,求法的值；

(2)如图②，若E是A8的中点，"的延长线交于点孔求的长.

【考点】翻折变换(折叠问题)；矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】(1)|.

(2)3.

【分析】(1)如图①中，取。E的中点连接证明利用相似三角形的性质求

解即可.

(2)如图②中，过点尸作GH〃BC交AB于G,交CD于H.设EG=x,贝UBG=4-x.证明△EGPs

EGPGEP41

△PHD,推出一=—=—推出PG=2EG=3x,£>8=AG=4+x,在RtAPHD中，由

PHDHPD123

PH2+DH2=PD2,可得(3x)2+(4+x)2=122,求出x,再证明△EGPS^EBR利用相似三角形的性

质求解即可.

【解答】解：(1)如图①中，取。E的中点连接PM.

AD

E

•.•四边形A8CO是矩形,

.•.ZBA£)=ZC=90°,

由翻折可知，AO=OP,AP1DE,Z2=Z3,ZDAE=ZDPE=90°,

在中，・；EM=MD,

；・PM=EM=DM,

：.Z3=ZMPD,

・・・N1=N3+NMPD=2N3,

*.*/ADP=2/3,

：.Z1=ZADP,

'：AD//BC,

：.ZADP=NOPC,

：.Z\=ZDPC