江苏省宿迁市2025届高三年级上册第一次调研考试数学试题（含答案）

江苏省宿迁市2025届高三上学期第一次调研考试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合M={%|-2<x<1},N=[-2,-1,0,1},则MnN=()

A.{-1,1}B.{-2,-1,0}C.{-1,0,1}D.{-1,-2,0,1)

2.命题'勺x6R,x2+x+1<0”的否定为()

A.mx€R,久2+久+i2oB.3x?/?,x2+x+1>0

C.VxG/?,x2+x+1>0D.Vxg/?,x2+x+1>0

3.若a>0,b>O,a+26=3,贝哈+辅最小值为()

A.9B.18C.24D.27

4.已知函数/(%)的值域为[—2,3],则函数/Q—2)的值域为()

A.[-4,1]B.[0,5]C.[-4,1]U[0,5]D.[-2,3]

5.我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为/型，比如：当久一0时，亍的极限即为号型.两个无穷小

之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分

子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.=lim^e=lim^-=1,贝!|lim誉E=

()

A.0B.1C,1D.2

6.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明

了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于

某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究

过这个何题，并得到小于数字久的素数个数大约可以表示为兀(久)的结论.若根据欧拉得出的结论，估计

10000以内的素数个数为()(素数即质数，Ige=0.43,计算结果取整数)

A.1079B,1075C.434D,2500

7.已知f(x)=口号尤?亭:?1，若方程/(X)=侬meR)有四个不同的实数根卬久2，久3，乂4，贝帆•久2

,刀3,久4的取值范围是()

A.(3,4)B.(2,4)C.[0,4)D.[3,4)

8"(x)是在[0,1]上的连续函数，设4n=贝lj()

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A.AnW^2nB.AnWAn+mC.224rl3^2nD.2An<An+m.

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数/(久)=比3+会2-4比，贝!]()

A.x=2是f(x)的极小值点B./Q)有两个极值点

Cj(x)的极小值为1Dj(x)在[0,2]上的最大值为2

10.下列命题正确的有()

A.函数/(2乃定义域为[一2,2],则/(/)的定义域为[-2,2]

B.函数/'(久)=In®/+1+%)是奇函数

C.已知函数/'(%)=|坨刈一/(：存在两个零点X1，久2，则万62=k

D,函数/(K)=x+?在(0,+8)上为增函数

11.已知x>0,y>0,2%+y=1,贝!|()

X

A.4+2y的最小值为2也B.log2x+Zog2y的最大值为一3

C.y—x—xy的最小值为一1D.^+用的最小值为:

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.VxGR,函数/(%)=x3+ax2+3ax+4没有极值的充要条件为.

13.已知函数/(%)=lg(x2-ax+12)在上单调递减，则实数Q的取值范围是.

n

14.设集合S=(xER\x=n,nGN+,x>0}则集合S中最小的元素是,集合S中最大的元素是

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知集合P={x|2x2—3%+l40},Q={x|(%—a)(%—a—1)<0].

(1)若a=l,求PCQ；

(2)若%€产是％EQ的充分条件，求实数a的取值范围.

16.(本小题12分)

已知函数/(%)=ax2+bx+18,/(%)>0的解集为(一3,2).

(1)求/(%)的解析式；

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(2)当x>—1时，求y="七，的最大值.

17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—71BCD中，底面48CD为梯形，AB//DC,AB=2BC=2CD=2,4ABD=60°,

PB1AD,PB=PD=1.

(1)求点P到平面4BCD的距离；

(2)在棱PC上是否存在点F,使得平面DBF与平面P8C夹角的余弦值为《?若存在，求出点F的位置;若不存

在，请说明理由.

18.(本小题12分)

已知函数/(久)=2久，若点P(x(),yo)在y=/(x)的图象上运动，贝。点Q(yo+1,2孙+1)在y=。(比)的图象上运

动

(1)求口＞)=/(无)+/(—久)的最小值，及相应的x值

(2)求函数y=g(久)的解析式，指出其定义域D,判断并证明GQ)=/(%)+g(x)在。上的单调性

(3)在函数y=/。)和y=g(x)的图象上是否分别存在点4B关于直线y=x-1对称，若存在，求出点

48的坐标；若不存在，请说明理由

19.(本小题12分)

帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数n,函数

/(X)在无=。处的|m,初阶帕德近似定义为：

R(x)=7：黑二:北％且满足：/(0)=R(0)，f(o)=R(0),广(0)=R"(0),…,f(m+文0)=

R(m+n)(0).

(注：f"(X)=[f(%)1,/(4)(X)=/⑸⑺=[/(4)(X)r，…，⑺(X)为fST)(X)

的导数)

777v

已知/(%)=ln(x+1)在久=0处的[L1]阶帕德近似为9(%)=1+nx-

(1)求实数租，九的值；

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(2)证明：当x20时,/(%)Ng(x);

(3)设a为实数，讨论方程/(久)-加0)=0的解的个数.

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参考答案

l.c

2.C

3.X

4.D

5.D

6.B

7.0

8.4

9.BD

IQ.AB

11.ABD

12,0<a<9

13.[6,7)

14.1；那

-1

15.解:(1)P={x\2x2-3x+1<0}={x\-<x<1},

当a=1时，Q={%|(x-l)(%-2)<0}={%|1<%<2},

则PnQ={l}；

(2)va<a+1,・,.Q={x|(x—a)(x—a—1)<0}={x|a<%<a+1},

・・・％eP是xeQ的充分条件，・•.PQQ,

11

•••a-2'0<a<

1<a+1,2

即实数a的取值范围是靖］.

16.解：（1）因为函数/（%）=a/+力％+18,/（%）＞。的解集为（-3,2）,

那么方程a/+力％+18=。的两个根是一3,2,且aVO,

b

-3+2=—1-afa=—3

由韦达定理有，1台£=_3,

-3x2=-6

a

所以/(%)=-3x2—3%+18.

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(2)y=二一3久2?3=_3.x(x+?+1=—3、+^-)=-3[(x+1)+^—-1],

x+1%+1x+1V%+1>L'7%+1J

由%>-1,则％+1>0,

根据基本不等式有：%+1+^>2,当且仅当x+l=+，即x=0时取等号，

•••当％=0时，Vmax=-3.

17.解：(1)由题设，知AB"DC,所以=NBDC=60°.

又BC=CD=1,所以△BCD为等边三角形，所以BD=BC=1.

在△4BD中，AB=2,BD=1,

fff\^AD2=AB2+BD2-2ABXBDXcos^ABD,

即=22+12-2x2x1xcos60°=3,则4。=邪.

所以+B£)2=482,即4。1BD.

又PB1AD,PBCBD=B,PBu平面PBD,BDu平面PBD,

所以AD1平面PBD.

因为ADu平面48CD,

所以平面PBD1平面力BCD.

如图1,设。为BD的中点，连接PO,

因为PB=PD,所以P。1BD.

又因为平面PBD_L平面4BCD,平面PBDC平面48CD=BD,POu平面PB。,

所以P。，平面ABCD,所以P。的长度，即为点P到平面4BCD的距离.

在RtaPOB中，PB=1,BO=1,所以P。="炉一8。2=史,

即点P到平面4BCD的距离为圣

(2)如图2,连接OC,则OC1BD,

又P。1平面ABCD,OCu平面ABCD,

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所以P。10C,所以P。，BD,0c两两互相垂直.

以。为原点，OB,0C,0P所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。-孙z.

1*12

贝何《,。,0）,C（0段0）,。（一枭,0）,P（0,0,乎）,

乙N乙L

所以元=(0察-9，赤=(1,0,0),前=(一鸿0),丽=(-3,*).

若PC上存在点尸满足题意，不妨设而=APC,

则9(0,争,贝_初,0<2<1,

所以加=(一.纨忠(1一初.

设帚=(x,y,z)是平面BDF的法向量，

m-BF^--x+走+史(l-4)z=0,

则一—2272I)

m•DB=x=0,

解得y=^-zf不妨取z=A,则y=A-l,

则平面BDF的一个法向量为薪=(0,4-1,4).

同理，设元=是平面PBC的法向量,

^

一

一1

B-%+z-

尸--151

20,

一

贝HIn0

JB-1--

uC

--%1+2y1

ln2

、

解得久1=4%=,不妨取yi=zi=l,则久1=通,

所以平面PBC的一个法向量为元=

.m-n._.0+（A—1）x1+A1

所以|cos<m,n>|hmllnl1=1）2+并*熊1

化简整理得9"94+2=0,解得4=1或2=|.

即而=次或而=|PC.

故在PC的三等分点处存在点尸，可使得平面DBF与平面PBC夹角的余弦值为卷.

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18.解：(1)尸(x)=/(x)+/(-%)^2x+2-x>2yj2x-2-x^2,当且仅当2，=2-，即x=0时，等号成立,

即F(x)的最小值为2,对应的x为0.

(2)设y=g(x)图象上点Q(x,y),由题：9jji，所以1°=色

LY乙八0T±[yQ=x—1

点PQo,yo)在y=/(X)的图象上运动，则丫0=2"。，

所以=2%-,y-2log2Qx-l)+1,由比一1>0得其定义域为(1,+8)

所以。(久)=2/0。2(久-1)+1，定义域为(1,+8)

X

GQ)=/(%)+g(x)=2+2log2(：x-l)+1在定义域内为增函数，证明如下：

任取1〈久1<冷，根据指数函数和对数函数单调性有：

2*1-2*<。，log?。1—1)—log2也2—1)<0，

G(xi)-G3)=(2，i+2log2(xx-Y)+1)-(2^+2log2[x2-Y)+1)

=(2、-2叼+2(32(刈-1)-/。92(>2-1))<0，

即G(%I)<G(X2)

所以G(x)=f(x)+g(x)在定义域内是增函数.

(3)假设函数y=f(久)和y=g(久)的图象上分别存在点4B关于直线y=%-1对称，

设其坐标4(犯n),B(a,b),则有：

tn=2mfm=-2

_1

b=220g2(。-1)+1n

u=一1解得：

m—aa

ri+b_m+a_]一4

22、b=-3

故在函数y=/(均和丫=9(吗的图象上分别存在点4(-2,今,喏,-3)关于直线丫=%-1对称.

4,4

19.解：⑴由/(%)=ln(x+1),g(x)=77^,有/(。)=g(。)，

可知/'(%)=JP,"(")=一(%+1产g'(x)=(1+、汽)2,g"(%)=(1+九%产

由题意，f(0)=g'(0),r(0)=g〃(0),

所以｛?2需=一1，所以7n=L71=1-

(2)由(1)知，5(%)=后，

令⑴⑶=/(久)-。(久)=ln(x+1)=77。20)，

14比2

则”(久)=7TT-(X+2)2=(X+1)0+2)2>°，

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所以0(x)在其定义域(-1,+8)内为增函数，

又9(0)=f(0)-g(0)=0,

•1•%20时，(p(x)=/(X)-g(X)2"(0)=0;得证.

(3)/i(x)=/(%)-3(%)的定义域是(—1，+°°)，

_12a____%2+(4—2d)(x+1)

n⑺=x+l-(%+2)2=(%+1)(%+2)2•

①当a42时，¥(%)>0,所以h(%)在(-1,+8)上单调递增,且八(0)=0,

所以以%)在(-1,+8)上存在1个零点；

②当a>2时，令t(x)=x2+(4—2a)(%+1)=