专题03 平方差和完全平方公式（六大类型）（题型专练）（解析版）

第页专题03平方差和完全平方公式（六大类型）【题型1平方差公式运算】【题型2平方差公式的逆运算】【题型3平方差公式的几何背景】【题型4完全平方公式】【题型5完全平方公式下得几何背景】【题型6完全平方公式的逆运算】【题型1平方差公式运算】1．（2023春•扶风县期末）计算：（m﹣5）（m+5）＝m2﹣25．【答案】m2﹣25．【解答】解：（m﹣5）（m+5）＝m2﹣25，故答案为：m2﹣25．2．（2023春•蕉城区校级月考）若a+b＝1，a﹣b＝2022，则a2﹣b2＝2022．【答案】2022．【解答】解：∵a+b＝1，a﹣b＝2022，∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝1×2022＝2022．故答案为：2022．3．（2023•红花岗区三模）已知x+y＝4，x﹣y＝9，则x2﹣y2＝36．【答案】36．【解答】解：∵x+y＝4，x﹣y＝9，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×9＝36，故答案为：36．4．（2023春•江州区期末）若x+y＝5，x﹣y＝1，则x2﹣y2＝5．【答案】5．【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）；把x+y＝5，x﹣y＝1代入原式得，5×1＝5；故答案为：5．5．（2022秋•河北区期末）计算982﹣99×97＝1．【答案】1．【解答】解：982﹣99×97＝982﹣（98+1）（98﹣1）＝982﹣（982﹣1）＝982﹣982+1＝1．故答案为：1．6．（2023春•盐都区期中）若m+n＝3，m﹣n＝4，则m2﹣n2＝12．【答案】12．【解答】解：∵m+n＝3，m﹣n＝4，∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝3×4＝12，故答案为：12．7．（2023春•清苑区期末）若a2＝7，b2＝5，则（a+b）（a﹣b）的值为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝7﹣5＝2．故答案为2．【题型2平方差公式的逆运算】8．（2023春•兴平市期末）已知a2﹣b2＝5，则（a+b）2（a﹣b）2＝25．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a2﹣b2＝5，∴（a+b）（a﹣b）＝5∴（a+b）2（a﹣b）2＝[（a+b）（a﹣b）]2＝52＝25．故答案为：25．9．（2023春•攸县期中）若x2﹣y2＝12且x﹣y＝2，则x+y＝6．【答案】6．【解答】解：∵x2﹣y2＝12，x﹣y＝2，x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝12，∴x﹣y＝12÷2＝6，故答案为：6．10．（2023春•本溪期末）已知a2﹣b2＝15，a﹣b＝3，则a+b的值是5．【答案】5．【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝15，a﹣b＝3，∴a+b＝5．故答案为：5．11．（2023春•定边县校级期末）已知a2﹣b2＝15，a﹣b＝3，则4a+4b＝20．【答案】20．【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝15，a﹣b＝3，∴a+b＝5，∴4a+4b＝4（a+b）＝4×5＝20．故答案为：20．12．（2023春•海阳市期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣2y的值是3．【答案】3．【解答】解：∵x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝39，∴x﹣2y＝3．故答案为：3．13．（2023春•辽阳期末）若m2﹣n2＝6，且m+n＝3，则n﹣m等于﹣2．【答案】﹣2．【解答】解：∵（m+n）（m﹣n）＝m2﹣n2，∴m﹣n＝（m2﹣n2）÷（m+n）＝6÷3＝2，∴n﹣m＝﹣2，故答案为：﹣2．14．（2023春•东明县期末）若a+b＝4，a2﹣b2＝12，那么a﹣b的值是3．【答案】3．【解答】解：因为a+b＝4，a2﹣b2＝12，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），所以12＝4（a﹣b），所以a﹣b＝3．故答案为：3．【题型3平方差公式的几何背景】15．（2023春•鄄城县期末）在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b，如图1），把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证公式（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．a（a﹣b）＝a2+ab【答案】C【解答】解：图1阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），即：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故选：C．16．（2022秋•离石区期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【答案】B【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：B．17．（2023春•岑溪市期末）从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述过程所揭示的乘法公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．（2）若9x2﹣16y2＝30，3x+4y＝6，求3x﹣4y的值．（3）计算：．【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）5；（3）．【解答】解：（1）上述过程所揭示的乘法公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）9x2﹣16y2＝30∴（3x+4y）（3x﹣4y）＝30∵3x+4y＝6∴3x﹣4y＝5（3）原式＝＝＝＝18．（2023春•威宁县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．​（1）上述操作能验证的等式是A．（请选择正确的选项）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣y2＝24，x+y＝8，求x﹣y的值；（3）用简便方法计算：20222﹣2021×2023．【答案】（1）A．（2）3．（3）20222﹣2021×2023＝20222﹣（2022﹣1）（2022+1）＝20222﹣20222+1＝1．【解答】解：（1）由题意可知图1剩下的面积为：a2﹣b2，图2的面积为：（a+b）（a﹣b），则可知：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．（2）∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝24，x+y＝8，∴x﹣y＝24÷8＝3．故答案为：3．（3）20222﹣2021×2023＝20222﹣（2022﹣1）（2022+1）＝20222﹣20222+1＝1．19．（2022秋•罗定市期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是a2﹣b2；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为a+b；宽为a﹣b；面积为（a+b）（a﹣b）．（2）由（1）可以得到一个公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（3）利用你得到的公式计算：20222﹣2024×2020．【答案】（1）a2﹣b2，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）4．【解答】解：（1）根据题意可得：图1阴影部分的面积＝，图2长方形的长为：a+b，图2长方形的宽为：a﹣b，∴面积为：（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）20222﹣2024×2020＝20222﹣（2022+2）（2022﹣2）＝20222﹣（20222﹣4）＝20222﹣20222+4＝4．20．（2023春•银川校级期末）如图（1），从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，如图（2）．（1）上述操作能验证的等式是A.（请选择正确的选项）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；B．a2﹣ab2＝a（a+b）（a﹣b）；C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．（2）已知a2﹣b2＝28，a+b＝7，求的值；（3）运用你从（1）中选择的等式进行简便计算：9992﹣9982．​【答案】（1）A；（2）；（3）1997．【解答】解：（1）图1得剩余部分的面积为：a2﹣b2，图2把剩余部分拼成一个长方形，长为（a+b），宽为（a﹣b），面积为（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：A．（2）∵a2﹣b2＝28，a+b＝7，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝7（a﹣b）＝28，∴a﹣b＝4，∴＝；（3）原式＝（999+998）（999﹣998）＝1997×1＝1997．21．（2023春•鄠邑区期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1），S2＝（a+b）（a﹣b）；（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1＝（28﹣1）（28+1）+1＝（216﹣1）+1＝216．【题型4完全平方公式】22．（2023春•普宁市期末）已知m﹣n＝3，则m2﹣2mn+n2＝9．【答案】9．【解答】解：∵m﹣n＝3，∴m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2＝32＝9．故答案为：9．23．（2023•道县一模）当m＝2n﹣3时，代数式m2﹣4mn+4n2＝9．【答案】9．【解答】解：因为m＝2n﹣3，所以m2﹣4mn+4n2＝（m﹣2n）2＝（2n﹣3﹣2n）2＝9．故答案为：9．24．（2023•江西）化简：（a+1）2﹣a2＝2a+1．【答案】2a+1．【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣a2＝2a+1，故答案为：2a+1．25．（2023•青秀区校级模拟）若x+y＝1，则x2+2xy+y2＝1．【答案】1．【解答】解：∵x+y＝1，∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝1，故答案为：1．26．（2023春•中原区校级期中）计算：（﹣2a+3）2＝4a2﹣12a+9．【答案】4a2﹣12a+9．【解答】解：原式＝（﹣2a）2+2×（﹣2a）×3+32＝4a2﹣12a+9．故答案为：4a2﹣12a+9．27．（2023春•鹿城区期中）计算：（a﹣3）2＝a2﹣6a+9．【答案】a2﹣6a+9．【解答】解：原式＝a2﹣2×3a+32＝a2﹣6a+9．故答案为：a2﹣6a+9．28．（2022秋•杭锦后旗校级月考）已知x＝y+6，则x2﹣2xy+y2的值为36．【答案】36．【解答】解：∵x＝y+6，∴x﹣y＝6，∴x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝62＝36．故答案为：36．29．（2022秋•塔城地区月考）计算：20192﹣4038×2018+20182＝1．【答案】1．【解答】解：由题意，20192﹣4038×2018+20182＝（2019﹣2018）2＝1．故答案为：1．30．（2022春•建邺区校级期末）已知（m+n）2＝7，（m﹣n）2＝3，则m2+n2＝5．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵（m+n）2＝m2+n2+2mn＝7①，（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝3②，∴①+②得：2（m2+n2）＝10，则m2+n2＝5，故答案为：5【题型5完全平方公式下得几何背景】31．（2023•裕华区三模）某小区有一正方形草坪ABCD如图所示，小区物业现对该草坪进行改造，将该正方形草坪AB边方向的长度增加3米，AD边方向的长度减少3米，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（）A．增加6平方米 B．增加9平方米 C．减少9平方米 D．保持不变【答案】C【解答】解：设原正方形草坪的边长为a米．则面积为a2平方米，改建后的草坪的长为（a+3）米，宽为（a﹣3）米，因此面积为（a+3）（a﹣3）＝（a2﹣9）平方米，因此造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积差为a2﹣（a2﹣9）＝9（平方米），即改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积减少9平方米，故选：C．32．（2022秋•邻水县期末）如图，点B是线段CG上一点，以BC，BE为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设CG＝6，两个正方形的面积之和S1+S2＝16，则阴影部分△BCE的面积为（）A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【解答】解：设BC＝a，BE＝b，∵四边形BEFG是正方形，∴BE＝BG＝b，∵两正方形的面积和S1+S2＝16，∴a2+b2＝16，∵a+b＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝36，∴ab＝10，∴S阴＝ab＝5，故选：B．33．（2022秋•大足区期末）用如图所示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式是（）A．（2a）2＝4a2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．2a（a+b）＝2a2+2ab D．2a（2a+b）＝4a2+2ab【答案】C【解答】解：整体是长为2a，宽为a+b的长方形，因此面积为2a（a+b），这个长方形是由4个部分组成的，这4个部分的面积和为2a2+2ab，所以有2a（a+b）＝2a2+2ab，故选：C．34．（2022秋•唐河县期末）将一块边长为a米的正方形广场进行扩建，扩建后的正方形边长比原来长2米，则扩建后广场面积增大了（）A．4米2 B．（a2+4）米2 C．（2a+4）米2 D．（4a+4）米2【答案】D【解答】解：（a+2）2﹣a2＝a2+4a+4﹣a2＝4a+4，故选：D．35．（2022秋•广宗县期末）小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（）A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2 C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【答案】C【解答】解：∵用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积的面积各为：（a+b）2和（a﹣b）2+4ab，∴可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故选：C．36．（2023春•清远期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2，∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）①若x+y＝8，x2+y2＝34，则xy＝15；②若2a﹣b＝3，ab＝2，则2a+b＝±5．（2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，两个正方形的边长分别是m和n，且AB＝8，如果这两个正方形的面积和S1+S2＝20，求△AFC的面积．【答案】（1）①15；②±5；（2）11．【解答】解：（1）①∵（x+y）2﹣2xy＝x2+y2，x+y＝8，x2+y2＝34，∴82﹣2xy＝34．∴xy＝15．故答案为：15．②∵（2a+b）2＝（2a﹣b）2+8ab，2a﹣b＝3，ab＝2，∴（2a+b）2＝32+8×2＝25．∴2a+b＝±5．故答案为：±5．（2）设AC＝m，CF＝n，∵AB＝8，∴m+n＝8．又∵S1+S2＝20，∴m2+n2＝20．由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴82＝20+2mn．∴mn＝22．∴S△AFC＝mn＝11．答：△AFC的面积为11．37．（2022秋•汉川市期末）如图1是一个长为2x，宽为2y的长方形，按图中虚线用剪刀平均分成四个完全相同的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．（1）试用含x，y的式子表示图2中阴影部分的面积（要求：用两种不同的方法）；（2）若x+y＝5，xy＝3，求（x﹣y）2的值．【答案】（1）（x﹣y）2或者（x+y）2﹣4xy；（2）13．【解答】解：（1）由图可知小长方形的长为：x，宽为y，第一种方法：则阴影部分的边长为：x﹣y，即阴影部分的面积为：；第二种方法：即大正方形的边长为：x+y，则大正方形的面积为：，由图可知小长方形的面积为：S小长方形＝x×y＝xy，则阴影部分的面积为：；即阴影部分的面积为：（x﹣y）2或者（x+y）2﹣4xy；（2）根据（1）中阴影部分的面积不变，可得：（x+y）2﹣4xy＝（x﹣y）2，∵x+y＝5，xy＝3，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝52﹣4×3＝13，即值为13．38．（2023春•济南期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）；图1表示：（a+b）2＝a2+b2+2ab；图2表示：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（2）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（3）请直接写出下列问题答案：①若2m+3n＝5，mn＝1，则2m﹣3n＝±1；②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝13．（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝16，求图中阴影部分面积．【答案】（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab；（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（2）12．（3）①±1；②13．（4）．【解答】解：（1）图1中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，S组成大正方形的四部分的面积之和＝a2+b2+2ab，由题意得，S大正方形＝S组成大正方形的四部分的面积之和，即（a+b）2＝a2+b2+2ab，故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．图2中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，S小正方形＝（a﹣b）2，S四个长方形＝4ab，由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形，即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．（2）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，∴xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]∵x+y＝8，x2+y2＝40，∴xy＝（64﹣40）＝12．（3）①由图2可得（2m﹣3n）2＝（2m+3n）2﹣24mn，∵2m+3n＝5，mn＝1，∴（2m﹣3n）2＝52﹣24＝1，∴2m﹣3n＝±1．故答案为：±1．②由图1可得[（4﹣m）﹣（5﹣m）]2＝（4﹣m）2+（5﹣m）2﹣2（4﹣m）（5﹣m），∴（4﹣m）2+（5﹣m）2＝[（4﹣m）﹣（5﹣m）]2+2（4﹣m）（5﹣m），∵（4﹣m）（5﹣m）＝6，∴原式＝1+2×6＝13．故答案为：13．（4）由题意得AB＝AC+CB，∵AB＝7，∴AC+CB＝7，∵S1+S2＝16，∴AC2+CB2＝16，∵（AC+BC）2＝AC2+CB2+2AC•CB，∴AC•CB＝[（AC+CB）2﹣（AC2+CB2）]＝（49﹣16）＝，∴S阴影＝CD•CB＝AC•CB＝．即图中阴影部分的面积为．39．（2023春•蜀山区校级期中）在探究完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2时，通过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．解：因为a+b＝4，ab＝3，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×3＝10．请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：（1）若x﹣y＝10，xy＝﹣22，求x2+y2的值；（2）将边长为x的正方形ABCD和边长为y的正方形CEFG按如图所示放置，其中点D在边CE上，连接AG，EG，若x+y＝14，xy＝32，求阴影部分的面积．【答案】（1）56；（2）50．【解答】解：（1）∵x﹣y＝10，xy＝﹣22，∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝100﹣44＝56；（2）由题意可得，S阴影部分＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABG＝x2+y2﹣x（x+y）＝（x2﹣xy+y2）＝[（x+y）2﹣3xy]＝（196﹣3×32）＝50，答：阴影部分的面积为50．【题型6完全平方公式的逆运算】40．（2022秋•克东县校级月考）若a+