专题03 平方差和完全平方公式(六大类型)(题型专练)(解析版)_第1页
专题03 平方差和完全平方公式(六大类型)(题型专练)(解析版)_第2页
专题03 平方差和完全平方公式(六大类型)(题型专练)(解析版)_第3页
专题03 平方差和完全平方公式(六大类型)(题型专练)(解析版)_第4页
专题03 平方差和完全平方公式(六大类型)(题型专练)(解析版)_第5页
已阅读5页,还剩15页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

第页专题03平方差和完全平方公式(六大类型)【题型1平方差公式运算】【题型2平方差公式的逆运算】【题型3平方差公式的几何背景】【题型4完全平方公式】【题型5完全平方公式下得几何背景】【题型6完全平方公式的逆运算】【题型1平方差公式运算】1.(2023春•扶风县期末)计算:(m﹣5)(m+5)=m2﹣25.【答案】m2﹣25.【解答】解:(m﹣5)(m+5)=m2﹣25,故答案为:m2﹣25.2.(2023春•蕉城区校级月考)若a+b=1,a﹣b=2022,则a2﹣b2=2022.【答案】2022.【解答】解:∵a+b=1,a﹣b=2022,∴(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2=1×2022=2022.故答案为:2022.3.(2023•红花岗区三模)已知x+y=4,x﹣y=9,则x2﹣y2=36.【答案】36.【解答】解:∵x+y=4,x﹣y=9,∴x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)=4×9=36,故答案为:36.4.(2023春•江州区期末)若x+y=5,x﹣y=1,则x2﹣y2=5.【答案】5.【解答】解:x2﹣y2=(x+y)(x﹣y);把x+y=5,x﹣y=1代入原式得,5×1=5;故答案为:5.5.(2022秋•河北区期末)计算982﹣99×97=1.【答案】1.【解答】解:982﹣99×97=982﹣(98+1)(98﹣1)=982﹣(982﹣1)=982﹣982+1=1.故答案为:1.6.(2023春•盐都区期中)若m+n=3,m﹣n=4,则m2﹣n2=12.【答案】12.【解答】解:∵m+n=3,m﹣n=4,∴m2﹣n2=(m+n)(m﹣n)=3×4=12,故答案为:12.7.(2023春•清苑区期末)若a2=7,b2=5,则(a+b)(a﹣b)的值为2.【答案】见试题解答内容【解答】解:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2=7﹣5=2.故答案为2.【题型2平方差公式的逆运算】8.(2023春•兴平市期末)已知a2﹣b2=5,则(a+b)2(a﹣b)2=25.【答案】见试题解答内容【解答】解:∵a2﹣b2=5,∴(a+b)(a﹣b)=5∴(a+b)2(a﹣b)2=[(a+b)(a﹣b)]2=52=25.故答案为:25.9.(2023春•攸县期中)若x2﹣y2=12且x﹣y=2,则x+y=6.【答案】6.【解答】解:∵x2﹣y2=12,x﹣y=2,x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)=12,∴x﹣y=12÷2=6,故答案为:6.10.(2023春•本溪期末)已知a2﹣b2=15,a﹣b=3,则a+b的值是5.【答案】5.【解答】解:∵a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)=15,a﹣b=3,∴a+b=5.故答案为:5.11.(2023春•定边县校级期末)已知a2﹣b2=15,a﹣b=3,则4a+4b=20.【答案】20.【解答】解:∵a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)=15,a﹣b=3,∴a+b=5,∴4a+4b=4(a+b)=4×5=20.故答案为:20.12.(2023春•海阳市期末)已知x+2y=13,x2﹣4y2=39,则多项式x﹣2y的值是3.【答案】3.【解答】解:∵x+2y=13,x2﹣4y2=39,∴x2﹣4y2=(x+2y)(x﹣2y)=39,∴x﹣2y=3.故答案为:3.13.(2023春•辽阳期末)若m2﹣n2=6,且m+n=3,则n﹣m等于﹣2.【答案】﹣2.【解答】解:∵(m+n)(m﹣n)=m2﹣n2,∴m﹣n=(m2﹣n2)÷(m+n)=6÷3=2,∴n﹣m=﹣2,故答案为:﹣2.14.(2023春•东明县期末)若a+b=4,a2﹣b2=12,那么a﹣b的值是3.【答案】3.【解答】解:因为a+b=4,a2﹣b2=12,a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),所以12=4(a﹣b),所以a﹣b=3.故答案为:3.【题型3平方差公式的几何背景】15.(2023春•鄄城县期末)在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b,如图1),把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形(如图2),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证公式()A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2 C.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 D.a(a﹣b)=a2+ab【答案】C【解答】解:图1阴影部分的面积为两个正方形的面积差,即a2﹣b2,图2是长为a+b,宽为a﹣b的长方形,因此面积为(a+b)(a﹣b),所以有a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),即:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2,故选:C.16.(2022秋•离石区期末)在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形(如图),通过计算图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是()A.a2﹣ab=a(a﹣b) B.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b) C.(a+b)2=a2+2ab+b2 D.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2【答案】B【解答】解:由图可知,大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2;拼成的长方形的面积:(a+b)×(a﹣b),所以得出:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),故选:B.17.(2023春•岑溪市期末)从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).(1)上述过程所揭示的乘法公式是a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).(2)若9x2﹣16y2=30,3x+4y=6,求3x﹣4y的值.(3)计算:.【答案】(1)a2﹣b2=(a+b)(a﹣b);(2)5;(3).【解答】解:(1)上述过程所揭示的乘法公式是a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)(2)9x2﹣16y2=30∴(3x+4y)(3x﹣4y)=30∵3x+4y=6∴3x﹣4y=5(3)原式====18.(2023春•威宁县期末)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).​(1)上述操作能验证的等式是A.(请选择正确的选项)A.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)B.a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2C.a2+ab=a(a+b)(2)若x2﹣y2=24,x+y=8,求x﹣y的值;(3)用简便方法计算:20222﹣2021×2023.【答案】(1)A.(2)3.(3)20222﹣2021×2023=20222﹣(2022﹣1)(2022+1)=20222﹣20222+1=1.【解答】解:(1)由题意可知图1剩下的面积为:a2﹣b2,图2的面积为:(a+b)(a﹣b),则可知:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).(2)∵x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)=24,x+y=8,∴x﹣y=24÷8=3.故答案为:3.(3)20222﹣2021×2023=20222﹣(2022﹣1)(2022+1)=20222﹣20222+1=1.19.(2022秋•罗定市期末)(1)如图1,若大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,则阴影部分的面积是a2﹣b2;若将图1中的阴影部分裁剪下来,重新拼成如图2的一个长方形,则它的长为a+b;宽为a﹣b;面积为(a+b)(a﹣b).(2)由(1)可以得到一个公式:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2.(3)利用你得到的公式计算:20222﹣2024×2020.【答案】(1)a2﹣b2,a+b,a﹣b,(a+b)(a﹣b);(2)(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2;(3)4.【解答】解:(1)根据题意可得:图1阴影部分的面积=,图2长方形的长为:a+b,图2长方形的宽为:a﹣b,∴面积为:(a+b)(a﹣b),故答案为:a2﹣b2,a+b,a﹣b,(a+b)(a﹣b);(2)由(1)可得:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2,故答案为:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2;(3)20222﹣2024×2020=20222﹣(2022+2)(2022﹣2)=20222﹣(20222﹣4)=20222﹣20222+4=4.20.(2023春•银川校级期末)如图(1),从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形,然后将剩余部分拼成一个长方形,如图(2).(1)上述操作能验证的等式是A.(请选择正确的选项)A.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b);B.a2﹣ab2=a(a+b)(a﹣b);C.a2﹣2ab+b2=(a﹣b)2.(2)已知a2﹣b2=28,a+b=7,求的值;(3)运用你从(1)中选择的等式进行简便计算:9992﹣9982.​【答案】(1)A;(2);(3)1997.【解答】解:(1)图1得剩余部分的面积为:a2﹣b2,图2把剩余部分拼成一个长方形,长为(a+b),宽为(a﹣b),面积为(a+b)(a﹣b),∴a2﹣b2=(a+b)(a﹣b).故答案为:A.(2)∵a2﹣b2=28,a+b=7,∴a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)=7(a﹣b)=28,∴a﹣b=4,∴=;(3)原式=(999+998)(999﹣998)=1997×1=1997.21.(2023春•鄠邑区期末)如图1所示,边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形,如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个长方形.(1)设图1中阴影部分面积为S1,图2中阴影部分面积为S2.请直接用含a,b的代数式表示S1,S2;(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式;(3)试利用这个公式计算:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1),S2=(a+b)(a﹣b);(2)(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2;(3)原式=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(24﹣1)(24+1)(28+1)+1=(28﹣1)(28+1)+1=(216﹣1)+1=216.【题型4完全平方公式】22.(2023春•普宁市期末)已知m﹣n=3,则m2﹣2mn+n2=9.【答案】9.【解答】解:∵m﹣n=3,∴m2﹣2mn+n2=(m﹣n)2=32=9.故答案为:9.23.(2023•道县一模)当m=2n﹣3时,代数式m2﹣4mn+4n2=9.【答案】9.【解答】解:因为m=2n﹣3,所以m2﹣4mn+4n2=(m﹣2n)2=(2n﹣3﹣2n)2=9.故答案为:9.24.(2023•江西)化简:(a+1)2﹣a2=2a+1.【答案】2a+1.【解答】解:原式=a2+2a+1﹣a2=2a+1,故答案为:2a+1.25.(2023•青秀区校级模拟)若x+y=1,则x2+2xy+y2=1.【答案】1.【解答】解:∵x+y=1,∴x2+2xy+y2=(x+y)2=1,故答案为:1.26.(2023春•中原区校级期中)计算:(﹣2a+3)2=4a2﹣12a+9.【答案】4a2﹣12a+9.【解答】解:原式=(﹣2a)2+2×(﹣2a)×3+32=4a2﹣12a+9.故答案为:4a2﹣12a+9.27.(2023春•鹿城区期中)计算:(a﹣3)2=a2﹣6a+9.【答案】a2﹣6a+9.【解答】解:原式=a2﹣2×3a+32=a2﹣6a+9.故答案为:a2﹣6a+9.28.(2022秋•杭锦后旗校级月考)已知x=y+6,则x2﹣2xy+y2的值为36.【答案】36.【解答】解:∵x=y+6,∴x﹣y=6,∴x2﹣2xy+y2=(x﹣y)2=62=36.故答案为:36.29.(2022秋•塔城地区月考)计算:20192﹣4038×2018+20182=1.【答案】1.【解答】解:由题意,20192﹣4038×2018+20182=(2019﹣2018)2=1.故答案为:1.30.(2022春•建邺区校级期末)已知(m+n)2=7,(m﹣n)2=3,则m2+n2=5.【答案】见试题解答内容【解答】解:∵(m+n)2=m2+n2+2mn=7①,(m﹣n)2=m2+n2﹣2mn=3②,∴①+②得:2(m2+n2)=10,则m2+n2=5,故答案为:5【题型5完全平方公式下得几何背景】31.(2023•裕华区三模)某小区有一正方形草坪ABCD如图所示,小区物业现对该草坪进行改造,将该正方形草坪AB边方向的长度增加3米,AD边方向的长度减少3米,则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比()A.增加6平方米 B.增加9平方米 C.减少9平方米 D.保持不变【答案】C【解答】解:设原正方形草坪的边长为a米.则面积为a2平方米,改建后的草坪的长为(a+3)米,宽为(a﹣3)米,因此面积为(a+3)(a﹣3)=(a2﹣9)平方米,因此造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积差为a2﹣(a2﹣9)=9(平方米),即改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积减少9平方米,故选:C.32.(2022秋•邻水县期末)如图,点B是线段CG上一点,以BC,BE为边向两边作正方形,面积分别是S1和S2,设CG=6,两个正方形的面积之和S1+S2=16,则阴影部分△BCE的面积为()A.4 B.5 C.8 D.10【答案】B【解答】解:设BC=a,BE=b,∵四边形BEFG是正方形,∴BE=BG=b,∵两正方形的面积和S1+S2=16,∴a2+b2=16,∵a+b=6,∴(a+b)2=a2+b2+2ab=36,∴ab=10,∴S阴=ab=5,故选:B.33.(2022秋•大足区期末)用如图所示的几何图形的面积可以解释的代数恒等式是()A.(2a)2=4a2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.2a(a+b)=2a2+2ab D.2a(2a+b)=4a2+2ab【答案】C【解答】解:整体是长为2a,宽为a+b的长方形,因此面积为2a(a+b),这个长方形是由4个部分组成的,这4个部分的面积和为2a2+2ab,所以有2a(a+b)=2a2+2ab,故选:C.34.(2022秋•唐河县期末)将一块边长为a米的正方形广场进行扩建,扩建后的正方形边长比原来长2米,则扩建后广场面积增大了()A.4米2 B.(a2+4)米2 C.(2a+4)米2 D.(4a+4)米2【答案】D【解答】解:(a+2)2﹣a2=a2+4a+4﹣a2=4a+4,故选:D.35.(2022秋•广宗县期末)小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张,拼成了如图②所示的图形,则根据图②的面积关系能验证的恒等式为()A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(2a+b)2=4a2+4ab+b2 C.(a+b)2=(a﹣b)2+4ab D.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2【答案】C【解答】解:∵用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积的面积各为:(a+b)2和(a﹣b)2+4ab,∴可得(a+b)2=(a﹣b)2+4ab,故选:C.36.(2023春•清远期末)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2经过适当的变形,可以解决很多数学问题,例如:若a+b=3,ab=1,求a2+b2的值.解:∵a+b=3,ab=1,∴(a+b)2=9,2ab=2,∴a2+b2+2ab=9,∴a2+b2=7.根据上面的解题思路与方法,解决下列问题:(1)①若x+y=8,x2+y2=34,则xy=15;②若2a﹣b=3,ab=2,则2a+b=±5.(2)如图,C是线段AB上的一点,以AC,BC为边向两边作正方形,两个正方形的边长分别是m和n,且AB=8,如果这两个正方形的面积和S1+S2=20,求△AFC的面积.【答案】(1)①15;②±5;(2)11.【解答】解:(1)①∵(x+y)2﹣2xy=x2+y2,x+y=8,x2+y2=34,∴82﹣2xy=34.∴xy=15.故答案为:15.②∵(2a+b)2=(2a﹣b)2+8ab,2a﹣b=3,ab=2,∴(2a+b)2=32+8×2=25.∴2a+b=±5.故答案为:±5.(2)设AC=m,CF=n,∵AB=8,∴m+n=8.又∵S1+S2=20,∴m2+n2=20.由完全平方公式可得,(m+n)2=m2+2mn+n2,∴82=20+2mn.∴mn=22.∴S△AFC=mn=11.答:△AFC的面积为11.37.(2022秋•汉川市期末)如图1是一个长为2x,宽为2y的长方形,按图中虚线用剪刀平均分成四个完全相同的小长方形,然后按图2的方式拼成一个正方形.(1)试用含x,y的式子表示图2中阴影部分的面积(要求:用两种不同的方法);(2)若x+y=5,xy=3,求(x﹣y)2的值.【答案】(1)(x﹣y)2或者(x+y)2﹣4xy;(2)13.【解答】解:(1)由图可知小长方形的长为:x,宽为y,第一种方法:则阴影部分的边长为:x﹣y,即阴影部分的面积为:;第二种方法:即大正方形的边长为:x+y,则大正方形的面积为:,由图可知小长方形的面积为:S小长方形=x×y=xy,则阴影部分的面积为:;即阴影部分的面积为:(x﹣y)2或者(x+y)2﹣4xy;(2)根据(1)中阴影部分的面积不变,可得:(x+y)2﹣4xy=(x﹣y)2,∵x+y=5,xy=3,∴(x﹣y)2=(x+y)2﹣4xy=52﹣4×3=13,即值为13.38.(2023春•济南期中)现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个,用两个这样的小长方形拼成如图1的图形,用四个相同的小长方形拼成图2的图形,请认真观察图形,解答下列问题:(1)根据图中条件,请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式:(用含a、b的代数式表示出来);图1表示:(a+b)2=a2+b2+2ab;图2表示:(a+b)2=(a﹣b)2+4ab;根据上面的解题思路与方法,解决下列问题:(2)若x+y=8,x2+y2=40,求xy的值;(3)请直接写出下列问题答案:①若2m+3n=5,mn=1,则2m﹣3n=±1;②若(4﹣m)(5﹣m)=6,则(4﹣m)2+(5﹣m)2=13.(4)如图3,点C是线段AB上的一点,以AC,BC为边向两边作正方形,设AB=7,两正方形的面积和S1+S2=16,求图中阴影部分面积.【答案】(1)(a+b)2=a2+b2+2ab;(a+b)2=(a﹣b)2+4ab.(2)12.(3)①±1;②13.(4).【解答】解:(1)图1中,由图可知S大正方形=(a+b)2,S组成大正方形的四部分的面积之和=a2+b2+2ab,由题意得,S大正方形=S组成大正方形的四部分的面积之和,即(a+b)2=a2+b2+2ab,故答案为:(a+b)2=a2+b2+2ab.图2中,由图可知S大正方形=(a+b)2,S小正方形=(a﹣b)2,S四个长方形=4ab,由题图可知,S大正方形=S小正方形+S四个长方形,即(a+b)2=(a﹣b)2+4ab,故答案为:(a+b)2=(a﹣b)2+4ab.(2)∵(x+y)2=x2+y2+2xy,∴xy=[(x+y)2﹣(x2+y2)]∵x+y=8,x2+y2=40,∴xy=(64﹣40)=12.(3)①由图2可得(2m﹣3n)2=(2m+3n)2﹣24mn,∵2m+3n=5,mn=1,∴(2m﹣3n)2=52﹣24=1,∴2m﹣3n=±1.故答案为:±1.②由图1可得[(4﹣m)﹣(5﹣m)]2=(4﹣m)2+(5﹣m)2﹣2(4﹣m)(5﹣m),∴(4﹣m)2+(5﹣m)2=[(4﹣m)﹣(5﹣m)]2+2(4﹣m)(5﹣m),∵(4﹣m)(5﹣m)=6,∴原式=1+2×6=13.故答案为:13.(4)由题意得AB=AC+CB,∵AB=7,∴AC+CB=7,∵S1+S2=16,∴AC2+CB2=16,∵(AC+BC)2=AC2+CB2+2AC•CB,∴AC•CB=[(AC+CB)2﹣(AC2+CB2)]=(49﹣16)=,∴S阴影=CD•CB=AC•CB=.即图中阴影部分的面积为.39.(2023春•蜀山区校级期中)在探究完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2时,通过适当的变形,可以解决很多数学问题.例如:若a+b=4,ab=3,求a2+b2的值.解:因为a+b=4,ab=3,所以a2+b2=(a+b)2﹣2ab=42﹣2×3=10.请根据上面的解题思路和方法,解决下列问题:(1)若x﹣y=10,xy=﹣22,求x2+y2的值;(2)将边长为x的正方形ABCD和边长为y的正方形CEFG按如图所示放置,其中点D在边CE上,连接AG,EG,若x+y=14,xy=32,求阴影部分的面积.【答案】(1)56;(2)50.【解答】解:(1)∵x﹣y=10,xy=﹣22,∴x2+y2=(x﹣y)2+2xy=100﹣44=56;(2)由题意可得,S阴影部分=S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABG=x2+y2﹣x(x+y)=(x2﹣xy+y2)=[(x+y)2﹣3xy]=(196﹣3×32)=50,答:阴影部分的面积为50.【题型6完全平方公式的逆运算】40.(2022秋•克东县校级月考)若a+

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论