2025年高考数学一轮复习：求曲线的轨迹方程（十一大题型）解析版

重难点突破05求曲线的轨迹方程

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................3

题型一：直接法.................................................................3

题型二：定义法.................................................................5

题型三：相关点法..............................................................10

题型四：交轨法................................................................12

题型五：参数法................................................................23

题型六：点差法................................................................25

题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹..............................................28

题型八：复数与圆锥曲线的轨迹..................................................32

题型九：向量与圆锥曲线的轨迹..................................................34

题型十：利用韦达定理求轨迹方程................................................37

题型十一：四心的轨迹方程......................................................42

03过关测试....................................................................50

亡法牯自与.柒年

//\\

一.直接法求动点的轨迹方程

利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：

（1）建系：建立适当的坐标系

（2）设点：设轨迹上的任一点尸（x,y）

（3）列式：列出有限制关系的几何等式

（4）代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的

方程式化简

（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检

验）.简记为：建设现代化，补充说明.

注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线.

二.定义法求动点的轨迹方程

回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点尸和满足焦点标志的定点连起来判

断.熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为P的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等

等.当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨

迹方程.

三.相关点法求动点的轨迹方程

如果动点尸的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知

曲线方程），则可以设出尸（x,y）,用（x,y）表示出相关点p的坐标，然后把p的坐标代入己知曲线方程，

即可得到动点尸的轨迹方程.

四.交轨法求动点的轨迹方程

在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出

交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通

常选变角、变斜率等为参数.

五.参数方程法求动点的轨迹方程

动点〃（x,y）的运动主要是由于某个参数。的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点

的坐标，即“，再消参.

[y=g（?）

六.点差法求动点的轨迹方程

圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点

A&,%）,8（x2,%）的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得占+无。，%+%，—x2>等关系式，由

于弦AB的中点尸(x,y)的坐标满足2x=X1+z，2、=必+%且直线4?的斜率为资三^，由此可求得弦

中点的轨迹方程.

题型一：直接法

【典例1-1](2024.高三.河北张家口.开学考试)已知“N两点坐标分别(-2,0),(2,0).直线汹0\长相交于

点K,且它们的斜率之和是3,则点K的轨迹方程为()

A.3x2-2xy-12=0(x^±2)B.3y?一2yx-12=0(%w±2)

2222

C.-+=1(x±2)D.——=l(xw±2)

43v734v7

【答案】A

【解析】设K(x,y),则直线KM的斜率为底M=T，直线侬的斜率为8=三，

X十乙JC乙

依据题意可知，=-^—+-^—=3,化简得：3x2-2xy-12=0,

x+2x-2

因为直线KM、侬的斜率存在，所以xw±2,

所以3炉-2◎-12=0(xw±2),

故选：A.

【典例1・2】已知等腰三角形A6C的一腰的两个端点分别是A(4,2),B(-2,0),|AB|=|AC|,则另一腰的一个

端点。的轨迹方程是()

A.x2+y2-8x-4y=0

B.x2+y2-8x-4y-20=0(除去(一2,0),(10,4)两点)

C.x2+y2+8x+4y-20=0£除去(-2,0),(10,4)两点)

D.x2+y2-Sx-4y+20=0(除去(-2,0),(10,4)两点)

【答案】B

【解析】设点C(x,y),

由I=IAC],得(4+2)2+(2-0)2=(X-4)2+(y-2)2,

IPA：2+y2-8x-4y-20=0,

又点B与点C不重合且民CA不共线，所以需除去（-2,0）,（10,4）两点.

故选：B.

【变式1-1］（2024.高三.黑龙江哈尔滨.期末）点尸到直线y=3的距离比到点尸（0,-1）的距离大2,则点P

的轨迹方程为（）

A.y2=2xB.y2=-4xC.x2=4yD.x2=-4y

【答案】D

【解析】根据题意，设点P（x,y）,且点P在y=3的下方，

故点尸到直线y=i的距离和到点尸（0,-1）的距离相等，

所以点的轨迹为以尸（0,-1）为焦点，以直线y=i为准线的抛物线，

所以尸的轨迹方程为d=-4y,

故选：D.

【变式1-2］在平面直角坐标系中，若定点A（l,2）与动点p（x,y）满足向量OP在向量04上的投影为一石,

则点尸的轨迹方程为（）

A.x—2y+5=0B,x+2y-5=0

C.x+2y+5=0D,x-2y-5=0

【答案】C

【解析】由已知可得，向量O户在向量。4上的投影为

OP|cos(OA,OP)=|op|O4OPOA-OP_x+2y_

MMIGAIy/5

整理可得x+2y+5=0.

因此，点尸的轨迹方程为x+2y+5=0.

故选：C.

【变式1-3］（2024•浙江温州.一模）动点M（x,y）到定点网-4,0）的距离与河到定直线/：x=-j的距离

的比等于力4，则动点”的轨迹方程是（）

22

A.工+匚1x,y

B.-------1---------1

2592516

HHi

cD.

2592516

【答案】A

+步+;/_4

【解析】根据题意可得不一二二，平方化简可得9/+25y2=25x9,

XH---

4

22

进而得上+匕=1，

259

故选:A

题型二：定义法

【典例2-1】已知圆G：-+（,+3）2=9和圆c2：x2+（y-3）2=l,动圆M同时与圆。及圆C2外切，则动

圆的圆心M的轨迹方程为一.

【答案】=

【解析】由题，设动圆M的半径为r,圆G的半径为4=3,圆C2的半径为2=1,

当动圆加与圆G，圆仿外切时,|MCj=3+r,|MC2|=l+r,

所以|Mq|Tg|=（3+r）—（l+r）=2,

因为圆心C（0,-3）,C2（0,3）,即口£|=6,又2<|CC|

根据双曲线的定义，得动点河的轨迹为双曲线的上支，其中。=1,c=3,

所以炉=°2一/=8,则动圆圆心"的轨迹方程是V-工

故答案为：/-^=l（y>l）

【典例2-2】已知定点P（<o）和定圆。一+》2=8%,动圆Af和圆。外切，且经过点尸，求圆心Af的轨

迹方程

22

【答案】双曲线土-工=1的左支

412

【解析】结合图象可得，|MQ|-|MP|=4,可得a=2,c=4,贝!|b=2W，

22

M的轨迹为双曲线工-匕=1的左支.

412

22

故答案为双曲线土-匕=1的左支.

412

【变式2-11已知圆G：(x+l)2+y2=25,圆G：(xT『+y2=l,动圆〃与圆c2外切，同时与圆G内切,

则动圆圆心M的轨迹方程为()

八fx2y2

A.——+y=1B.——+—=1

332

222

C.—r+/=1D.—Y+-v^=1

9-98

【答案】D

【解析】如图，由题意得：|CM=5—|MQ|,|c2M=1+|MP|,其中

所以|CM+IGM=5-|MQ|+I+|MP|=6>2=|GG|，

22

由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以G，G为焦点的椭圆，设=+2=1,

a2b2

贝|J2〃=6,c=l,解得：a=3,b2=a2-c2=9-1=8,

22

故动圆圆心M的轨迹方程为工+匕=1

98

【变式2-2］已知M(-2,0),P是圆-4x+V-32=0上一动点，线段MP的垂直平分线交N尸于点Q,

则动点。的轨迹方程为.

2

【答案】匕尤2+&V=1

95

【解析】由题意，可知圆N的标准方程为(x-2)2+9=36,圆心为N(2,0),半径为6.

••・线段MP的垂直平分线交NP于点。，如图，

.■.\QP\=\QM\,

.-.\QM\+\QN\=\QP\+\QN\=\PN\=6>\MN\=4,

.••点。的轨迹是以叔，N为焦点的椭圆，

a=3,c=2,b=J/=y/5，

22

・•.其轨迹方程为土+匕=1.

95

22

故答案为：土+上=1

95

【变式2-3］已知定点RQ,O),圆S:f+y2+2x-15=0,过R点的直线均交圆于M,N两点过R点作

直线4〃SN交于。点，求。点的轨迹方程；

【解析】因为S:一+「z+2x-15=0,即(x+iy+y2=i6,所以S(-L,0),半径为r=4,

如图，根据题意可知|SM|=|SN|=r=4,

又RQ//SN，所以"=瑞，故|膻|=|。网，

又R(l,0),所以|因+|QR|==4>|SR|=2,

故动点。的轨迹是以S,R为焦点，长轴长为4的椭圆，这里a=2,c=l,故1=4*2=4-1=3,

22

所以。点的轨迹方程为：工+匕=1.

43

【变式2-4】设。为坐标原点，B(2,0),点A是直线x=-2上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线/,

过点A作y轴的垂线交I于点P,则点P的轨迹方程为一.

【答案】r=8x

【解析】如图，由垂直平分线的性质可得|/训=归耳，符合抛物线第一定义，抛物线开口向右，焦点坐标

为网2,0),故。=4,20=8,点尸的轨迹方程为产=此

【变式2-5](2024•山东青岛.一模)已知A(-2,0),8(2,0),设点P是圆Y+产=1上的点，若动点。满足:

QPPB=O)

222

A./-匕=1B.--/=1C.—+y2=3lD.=1

33562

【答案】A

【解析】由Q尸•PB：。，可得0Plp8,

/\

而?i+陷，可知点尸在N8Q4的平分线上.

例\QB\]

ytQ

圆V+y2=l,圆心为原点O,半径r=l,

连接4Q，延长8尸交a。于点c,连接。尸,

因为/PQB=/PQC且PQLBC,所以。8=QC,且尸为8c中点，OPAC,OP^AC

因此，|04|—|。@=|&一|。。|=|4。|=2|。"=2,

22

点。在以43为焦点的双曲线上，设双曲线方程为=1（。>0,6>0）,

a2b2V'

可知c=2,/+〃=c?=4,由2。=|Q4]—]。回=2,得a=l,故廿=3，

2

双曲线方程为炉一匕=1.

3

故选：A.

【变式2・6】（2024•江苏南通•模拟预测）已知圆。的方程为炉+V=i6,直线/为圆C的切线，记

4（-2,0）,3（2,0）两点到直线/的距离分别为4,4,动点尸满足|叫=4，|尸邳=/，则动点P的轨迹方程

为（）

2222

A.x2+r=4B.上+工=1C.---乙=1D.y2=4x

16121612

【答案】B

【解析】如图，分别过点A。,3做直线/的垂线，垂足分别为A，耳，

则招〃。。"/叫,4=网&=|网切点为a,

因为A（-2,0）,3（2,0）,所以。是A3的中点，，

AA

所以。。是梯形ABBA的中位线，所以100,1=1，'闻=,

又因为圆C的方程为尤2+y2=16,r=4,

所以。0=厂=4,所以4+4=8,

即|即+|冏=8,

所以动点尸的轨迹是以43为焦点，长轴长为8的椭圆,

22

设椭圆的方程为方=1（〃>>>0）,

贝ij2a=8,c=2,

所以〃=4,〃2=i6,b1=a2—c2=12,

22

所以动点尸的轨迹方程为土+工=1.

1612

故选：B

题型三：相关点法

【典例3-1】设过点P（x,y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于48两点，点。与点P关于y

轴对称，O为坐标原点.若BP=2PA，且OQ-A8=1,则点P的轨迹方程是—.

3

【答案】-X2+3/=1(X>0,3；>0)

【解析】设点P（x,y）,则。（-x,y）,设A（a,O）,B（o,b）,贝心>0力>0,

/.BP=^x,y-b),PA=(a-x,-y),

3

BP=2PA，/.^=-x,Z?=3y,.,.x>0,)；>0,

一|国，

又•，AB=(-a,b)=OQ=(-x,y),OQAB=1,

3

.(-x)+3y.y=1,gp-x2+3^2=l(x>0,y>0).

3

故答案为：-x2+3y2=l(x>0,y>0).

【典例3-2】（2024.高三.江西•开学考试）已知面积为9的正方形ABC3的顶点A、3分别在二轴和V轴上滑

21

动，。为坐标原点，OP=-OA+-OBf则动点尸的轨迹方程是（）

22

A.口匚1B.土+2=1

3248

22

cD.土+匕=1

84

【答案】C

【解析】设点4(x°,o)、B(0,%)、p(x,y),

7191

由0尸=§04+503=§5,0)+5(0,为)=

2

户a工。3

瓦=耳尤

所以,；,可得,

y=2y°7o=2y

因为正方形ABCD的面积为|AB「=9,即x；+y；=9,即|xI+(2叶=9,

整理可得工+史=1,因此，动点F的轨迹方程为《+土=1.

4949

故选：C.

【变式3・11已知不入分别为椭圆£：《+丁=1的左、右焦点，P是椭圆石上一动点，G点是三角形

9

P耳耳的重心，则点G的轨迹方程为()

2222

A.%+9y=1B.%+9y=l(y^O)

=1D.—+-^—=l(y。0)

cH4819

【答案】B

【解析】；耳，鸟分别为椭圆E:：+y2=i的左、右焦点，.【耳㈠啦,0),月(2也,0)

设G(x,y),P(%〃)，G点是三角形尸耳B的重心

-2^/2+2^/2+m

x=----------------------

m=3x

则3,得

0+0+nn=3y

y=----------

3

又尸是椭圆E上一动点，.[11111+(3/)2=1，即/+9/=1,

又G点是三角形尸耳居的重心，.•・ywO

所以点G的轨迹方程为炉+9>2=1”/0)

故选：B

f1

【变式3.2】已知点P是椭圆一+>2=1上的动点，~1/，%于点.，若PN=^NM,则点N的轨迹方程

22

为()

A.二+为L1RO1

2424

【答案】A

【解析】由于点尸是椭圆工+丁=1上的动点，设「(%,%),则看+必=1,

22

又尸河_Lx于点则M(%,0)；

设N(x,y),由PN=3NM,得(％—x(),y—加=耳卜—X,—y),

x=x22

则03，代入与+尤=1,得土+曳-=1,

%—224

、乙

即点N的轨迹方程为三+型二=1,

24

故选：A

【变式3-3](2024.高三.重庆•期中)长为2的线段A3的两个端点A和3分别在二轴和V轴上滑动，则点

A关于点3的对称点”的轨迹方程为()

222122

Axyyxc%2y2yx

4242164164

【答案】D

【解析】设A&,0)、3(0,%)，M(x,y),

则有x+%=0,y+0=2%,即占=-x,y2=-|,

由题意可得x；+£=4,即(_疗+]£|=4,即:+：=1.

故选：D.

题型四：交轨法

22

【典例4-1】已知A,8分别为椭圆上+上=1的左、右顶点，点M,N为椭圆上的两个动点，满足线段MN

43

与无轴垂直，则直线与NB交点的轨迹方程为.

尤2v2

【答案】

22

【解析】因为A,2分别为椭圆;+g=l的左、右顶点，所以4-2,0),3(2,0),

设AM与NB的交点为尸，尸(尤，y),M(xi,yi),N(xi,-yi),

y_%y二一%

由kpA=k,k=k,得

MAPBNBx+2石+2x—2Xj—2

两式相乘得：丁_-靖_一3(1-才)_3,化解得［《=1.

X2-4X；-4X；-4443

故答案为：^--^-=1.

1+/=l(a>b>0)的离心率为乎,

【典例4-2］已知椭圆C：且经过M1,9，经过定点7(1,0)

2J

斜率不为0的直线/交C于E,尸两点，A,B分别为椭圆C的左,右两顶点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线AE与BF的交点为P,求P点的轨迹方程.

【解析】(1)

a2a=2

根据题意可得a2^b2+c2,解得<b=l,

±Ac=A/3

a2+4b2.1

求椭圆C的方程为丁丁』

(2)根据题意可得直线AE：y=6(x+2),BF：y=k2(x-2),

:=可得0+4肾）/+16片x+16片一4=0,

由

llt、I_16kl—4‘故j=温'故人=为'

所以一

区“2—2“—"4^2

同理，号=整一

1JF1+4片故力"IT福

因为E,T,尸三点共线，故防，井共线,

，一uun2-%ULT8片-2—4、

而”;卜许，,TF

1+4将1+4月」+4片1'

4kl一4左2,整理得到：I1

故一F~或k&=-

+4代X卜辞4,

11，一左1

右kk2=一二,则由心，砧=-二可得左血=左用=k2，这与题设矛盾，故/=£•

144/）

y=kl(x+2)解得-亿+七）

联立方程2

y=履(x—2)，左一女2

・•.P点的轨迹方程为％=4

22

【变式4-1】设A，4是椭圆土+匕=1与X轴的两个交点，是椭圆上垂直于A4的弦的端点，则直线

94

与&心交点的轨迹方程为（）

【答案】c

如图，设直线A1与A舄的交点为P（尤,y）,则4(-3,0),4(3,0),々(%,%),舄,

•.4月，尸共线，故己=+①，又•.•&，生产共线，故言=占②.

由①，②两式相乘得=（*）,

J\,

22222

因65,%）在椭圆土+匕=1上，则也+&=1,可得：$=4（1-丛），将其代入（*）式，即得:

949409

X2-9考一99

2222

化简得：—-^=1,即尸的轨迹方程为工-二=1("±3).

9494v7

故选：C.

【变式4-2](2024•江苏苏州•模拟预测)已知点A。,。)，8(0,1),C(l,l)和动点P(x,y)满足/是尸4P台，

PA-PC的等差中项.

(1)求尸点的轨迹方程；

⑵设P点的轨迹为曲线G按向量。=1平移后得到曲线Q,曲线G上不同的两点M,N的连线交7

轴于点0(0,份，如果NMCW(。为坐标原点)为锐角，求实数b的取值范围；

⑶在(2)的条件下，如果6=2时，曲线G在点/和N处的切线的交点为R,求证：R在一条定直线上.

【解析】(1)由题意可得PA=(l-x,-y),PB=(-x,l-y),PC=(l-x,l-y),

贝IjPA-PB=(l-x)-(-x)+(-y)-(l-y)=x2+y2-x-y,

PAPC=(l-x)-(l-x)+(-y)-(l-y)=x2+y2_2%_y+],

又：V是PA-PB，尸从尸乙的等差中项，

(尤2+y2_x_y)+(尤~+y2_2x_y+])=2’九

1

整理得点P(x,y)的轨迹方程为y=x2-1x-卜一.

2

(2)

w

由(1)知G:y=x2—5X+5,

3f,3

-X=x—

「31、x二1_

40n14

又二。=-：，”，一•平移公式为，1即，L

1416),

>=>+布卜、一诏

,1_(,3丫，3)1

代入曲线G的方程得到曲线C2的方程为：y---=\x——x

16(^)2(—4JH—2

即y遑％2.

曲线C2的方程为丫=炉.

如图由题意可设M,N所在的直线方程为y="+b,

\y=X2

由，消去v得f一"一匕=0,

y=Kx+b

x+x=k

令M®,%）,N（/，M（X。％2），则12

xrx2=-b

:.OM=（再,必）=（再,再）,ON=（々,%）=（%2芯）,

OMON即湍蒲

又•，ZMON为锐角，cosZMON=---------->0,

\OM\-\ON\

xxx2+x^xl>0,又XjX2=-b,

—b+（—b）?>0,得Z?<0Z?>1.

Ix.+x.=k",

（3）当b=2时，由（2）可得<,对y=x求导可得y=2x,

[x{x2=-b=-2

•••抛物线。2在点，

.•.”=（为，片），N（%,只）处的切线的斜率分别为3=2占，

kN=2々9

二在点M,N处的切线方程分别为/用：y-x；=2X]（x-xj,lN:y-^=2x2（x-x2）,

由〔二4|二:卜"），解得交点R的坐标（羽y）.

X=-----X——

满足彳2即J2,;.R点在定直线"-2上.

0=%・尤2卜=-2

【变式4-3】已知椭圆C:J+「=l（a>b>0）经过点P（0,T）,且离心率为手.直线y=区+3与C交于

A3两点，连结尸4,尸氏

（1）求..P4B面积的最大值；

（2）设直线尸4尸3分别与x轴交于点M,N,线段MN的中点为Q,求直线尸。与直线A3的交点H的轨迹方

程.

b=l

【解析】⑴由题知，，廿3.解得。=23=1,

Ia24

所以C的方程为！+y2=i,

f+4v2=4/\

由—,消，并整理得（4^+l）/+24履+32=0,

y—kx+3

由△=（2的2—4x32（4左2+1）=64俨-2）>0,解得左？>2,

设人不姑+3),3(%2,区2+3),贝|]%+%2=—2——,％%2=-2——(X)，

4k+14k+1

又直线>=日+3过点(0,3),

所以的面积S=/13—（—1）］.6一到=2小（%1+Z）-4斗%2,

将田代入，得s="I'

I6t_16

设1=〃2_2(/>0)则3=彳百二1》

又394朴/<g>12,当且仅当4七Q，即至3，.当A/i7时取等号，所以S=3---9--<一——12二一3,

故_E4B面积的最大值为J（当且仅当f=m即4=±姮时取得）.

322

V+1XX.

⑵直线方的方程为不二（'令>。，得到》=白

/\

所以“-^-,0同理可得

3+4)

1石（3+4）+々（何+4）村工2+2(石+%2)

故点。的横坐标七上

2（何+4）（仇+4）2

kxix2+4k(<xl+X2)+16

由（1）矢口%+%=F―7,玉％2=F—7（派），

44+14左+1

32k-48k

将屋）代入，得、。=32人96j16（4八1）7,故。（一左，°），

法1：又尸（0,-1）,所以直线尸。的斜率左'=因为公k=一1,所以PQ/A3,

K

设7（0,3）,则直线尸。与A3的交点口在以PT为直径的圆上.

以PT为直径的圆的方程是炉+&+1)"-3)=0,BPx2+/-2y-3=0.

x2+y2-2y-3=0

又点H在椭圆C内，所以d+4y2<4,

x2+4/<4

消X得3y2+2y-l<。，解得

所以点H的轨迹方程是/+丁-2y-3=。[1<y<j.

法2：又尸(0,-1),所以直线加的方程为y=-；x-L

与AB:y="+3联立，解得交点〃的坐标为4-1].

Ik+1k+1)

411

因为左2>2,所以—1<l—BP-l<y<-,

7/crI1

又由y+l=-，x,y-3="，两式相乘，得％2+(y+l)(y_3)=0.

K

所以点H的轨迹方程是/+/一2y-3=011<y<j.

【变式4-4】抛物线C的对称轴为x轴，定点为坐标系原点，焦点/为直线/：>=尤-1与坐标轴的交点.

⑴求C的方程；

(2)已知P(O,-1),过点P的直线交C与M,N两点，又点。在线段MN上(异于端点)，且

\PM\-\QN\^\PN\-\QM\,求点。的轨迹方程.

【解析】(1)因为抛物线C的对称轴为了轴，所以C的焦点在X轴上，直线Z：y=x-1与X轴的交点为(1,0),

所以尸(1,0),所以5=1,解得P=2,所以抛物线C的方程为：y2=4x.

(2)显然直线跖V的斜率存在且不为0,设直线跖V的方程为：y=mx-l(m^0),

设加(%,%)川(%,%),。(工3，%)，联立直线的与抛物线方程：,可得:

m2x2-(2m+4)x+l=0,

2m+4

玉+%=vyi7-

且A=16+16/>0,解得：相>—1且加w0,<1

XX

I\2=Fm

因为|PMMN|=|PN|MM，即犒=需，则有?二”，

2xx1

整理可得：2%％=电(玉+工,)，即退=—产=—

所以机=1一2,又点。在直线MN上，

所以％=〃比3-1，消加得％=一2三，

由m>一1且小WO得。<%3<1且犬3±1，

所以。的轨迹方程为：y+2x=0（O<X<1且x［）.

【变式4-5】已知矩形458中，A8=2#,8c=2A/IE,RG,H分别是矩形四条边的中点，以矩形中心。

为原点，"F所在直线为x轴，EG所在直线为V轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线"，BC上的动

点R,S满足OR=AOF,CS=4CF（4eR）.求直线ER与直线GS交点尸的轨迹方程.

【解析】依题意，E（0,-V2）,G（0,V2）,F（^,0）,C（A/6,A/2）,

设点P（X,》）,R（XR,0）,5（",%），S02?=AOF，得XR=,即尺（逐2,。）,

由cS=xc尸，得力=及（1-4），即火区,五（1一㈤），

当；1*0时，直线ER:y=-^x-应，直线GS:y=W^x+忘,

-V6A-76

2

f—1、,2

联立消去参数2得（y+0）（>-夜）=-W炉，即r上+匕=l（xw0）,

362

当4=0时，得交点P（O,0）,满足上述方程，

22

所以直线ER与直线GS交点尸的轨迹方程:土+匕=1（不含点（0,-①））.

62

【变式4-6］（2024•高三・湖北•期末）已知双曲线C与双曲线二-V=i有相同的渐近线，且双曲线c的上

4

焦点到一条渐近线的距离等于2.

⑴已知M（OJ）Q>4）,N为C上任意一点，求|肱V|的最小值；

（2）已知动直线/:y=kx+m（k丰±2）与曲线C有且仅有一个交点尸，过点尸且与/垂直的直线4与两坐标轴

分别交于A（xo,O）,B（O,%）.设点。（尤0,%）.

（i）求点Q的轨迹方程；

（ii）若对于一般情形，曲线C方程为区-£=1,动直线/方程为>=履+〃/4*±2］,请直接写出点

a2b2Ib）

Q&,%）的轨迹方程.

22

【解析】（1）设双曲线c的方程为系-a=1（6>0）,其上焦点坐标为（0,屉卜

一条渐近线方程为2x-y=0,则］*=2,解得。=2,

22

所以。的方程为匕-土=1.

164

22

设N（x,y）,则会亍=1,要使|MN|最小,由题意知”4.

则|M2V|=Jd+Cy—tf=｛『_4+y2_2ly+/

-2a+/一4=和一］］二一4,

①当$44,即4<公5时，怛解在［4,+00）内单调递增，

可知当y=4时，|尸叫面=好4；

②当gf>4,即/>5时，|MN|在4，1内单调递减，在（gr,+8）内单调递增,

可知当y=时，=Jg产-4=京5户一100；

t-4,4<t<5

综上所述:

y=kx+m

(2)(i)联立(y2/得,(左2_4)f+帆?_16—0,

.16-T-

由题意知kw(—2,0)u(0,2),A=0=>4左之+/—16=0,

2kmkm4左

贝!J2x=-，解得%尸=_

p左2一4k2-4m

4k2+m2屿，即尸

&y=kx+m=—+m=

ppmm

所以直线4的方程为y-31

mk

20k20

令x=0得，y=—；令尸。得，x=—,即。

0m0m