浙江省北斗联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

2023学年第二学期北斗联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共四页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效：4．考试结束后，只需上交答题纸.一、单选题（每小题5分共40分）1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义求解即可.【详解】因为，所以，则，故B正确.故选：B2.已知空间两条不同直线，两个不同平面，下列命题正确的是（）①，则②，则③，则④，则A.①③ B.②④ C.①③④ D.①④【答案】C【解析】【分析】根据线面和面面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】若，由线面垂直的性质，垂直同一个平面的两条直线平行，则，故①正确；若，则或与相交或异面，故②错误；若，由垂直同一条直线的两个平面平行，则，故③正确；若，由线面垂直和线面平行的性质可得，故④正确.故选：C.3.已知非零向量，，则“两向量，数量积大于0”是“两向量，夹角是锐角”的（）条件A.必要 B.充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合数量积的定义分析判断.【详解】因为非零向量，，所以当两向量，数量积大于0时，两向量，夹角是锐角或是零度的角，而当两向量，夹角是锐角时，两向量，数量积大于0，所以“两向量，数量积大于0”是“两向量，夹角是锐角”的必要不充分条件.故选：A4.东阳市一米阳光公益组织主要进行“敬老”和“助学”两项公益项目，某周六，组织了七名大学生开展了“筑梦前行，阳光助学”活动后，大家合影留念，其中米一同学想与佳艳､刘西排一起，且要排在她们中间，则全部排法有（）种.A.120 B.240 C.480 D.720【答案】B【解析】【分析】根据米一同学想与佳艳､刘西排一起，且在他们中间，将米、佳艳、刘西捆绑在一起，与剩余4个同学作为5个元素全排列求解.【详解】解：因为米一同学想与佳艳､刘西排一起，所以捆绑在一起，与剩余4个同学作为5个元素全排列有种，又因为米一同学想与佳艳､刘西排一起，且在他们中间，则佳艳､刘西全排列有种，所以全部排法有：种，故选：B5.已知等差数列，前项和为是方程两根，则（）A.2020 B.2022 C.2023 D.2024【答案】D【解析】【分析】利用韦达定理求得，然后利用等差数列通项性质求得，从而利用求和公式求解即可.【详解】因为是方程两根，所以，所以，所以.故选：D6.空间点，则点到直线的距离（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出，利用空间向量夹角余弦公式求出，进而求出，再利用距离公式即可求出结果.【详解】由题意得，所以，所以，所以点A到直线BC的距离.故选：D.7已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用给定条件确定的位置，再结合同角三角函数的基本关系求解即可.【详解】因为，，所以是第四象限角，所以，而，故，化简得，而，代入得，解得(正根舍去)，故B正确.故选：B8.三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据条件求出底面的半径，进而利用直角求出外接球的半径为，代入表面积公式即可求出结果.【详解】中，，由余弦定理得；设底面的外心为，外接圆的半径为；由正弦定理，则；连结，此时的外接球的球心在上，利用直角可得：，设的外接球的半径为；此时，在直角中，，即，解得；所以，三棱锥的外接球的表面积.故选：.二、多选题（每小题6分，共18分，多选．错选0分少选则根据比例得分）9.已知直线和直线，则下列说法正确的是（）A.若，则表示与轴平行或重合的直线B.直线可以表示任意一条直线C.若，则D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】利用线线平行、线线垂直的性质可直接判断.【详解】对于A，当时，斜率为0，与轴平行或重合，故A正确；对于B，当时，斜率不存在，当时，斜率存在，能表示任意直线，故B正确；对于C，若，且或，则，故C错误；对于D，若，则由可得斜率之积为1，故，若，可得，此时满足，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故，故D正确.故选：ABD.10.已知正项等比数列的公比为，前项积为，且满足，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.存在最大值【答案】ACD【解析】【分析】先通过条件确定和的取值情况判断AB，然后利用等比数列的性质计算即可判断C，再根据数列的单调性判断D.【详解】由已知，又，，所以，，A正确，B错误；，，所以，C正确；因为且，所以等比数列递减数列，于是，则的最大值为，D正确.故选：ACD11.已知定义域为R的函数不恒为零，满足等式，则下列说法正确的是（）A. B.在定义域上单调递增C.是偶函数 D.函数有两个极值点【答案】AD【解析】【分析】令可判断A；令，结合和单调性可推出，得到矛盾，进而可判断B；假设是偶函数，根据已知推导可得，可判断C；令，求导后消去，整理得，即可判断D.详解】对于A，令得，即，A正确；对于B，若在定义域上单调递增，当时，，令，得，即，与在定义域上单调递增矛盾，故B错误；对于C，若偶函数，则，且，因为，所以，所以，即，得或，又，所以恒成立，矛盾，故C错误；对于D，当时，，记，则所以，令解得或，因为不恒为零，所以在两边异号，所以为的极值点，所以函数有两个极值点，D正确.故选：AD【点睛】关键点睛：本题难点在于D选项，关键在于求导后利用已知消去，然后可判断极值点.三、填空题（每小题5分共15分）12.复数，则的虚部为______．【答案】1【解析】【分析】利用复数的四则运算法则结合虚部的定义求解即可.【详解】因为，所以，，故的虚部为1.故答案为：113.一学校对高二女生身高情况进行采样调查，抽取了10个同学的身高：161，160，152，155，170，157，178，175，172，162，则估计这些女生的上四分位数是______【答案】172【解析】【分析】根据百分位数的定义求解.【详解】10个数据从小到大排列为：，，上四分位数是第8个数据，即172.故答案为：172.14.在中，，，，为边上一点，，，，则的最小值为______【答案】##【解析】【分析】分析题意得到的范围，利用正弦定理和锐角三角函数的定义表示出边长，再利用基本不等式里‘1’的代换求解最值即可.【详解】因为为边上一点，过作交于，则，当在之间时，无法构成，此时如图所示，所以在的延长线上，可得，所以，，因为，所以，，而在中，，，可得，，在中，由正弦定理得，即，可得，，所以，，，当且仅当时取等，此时解得，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形，解题关键是合理利用条件表示出边长，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可．四、解答题（共77分）15.函数，求的最大值和最小值【答案】，【解析】【分析】利用导数求出函数的单调区间，从而求最值即可.【详解】，又时递减，时递增，且，，，16.如图多面体，底面为菱形，，，，平面平面.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，则，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，证明平面，即可得证；（2）取中点，连接，即可得到，则，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得【小问1详解】在中，，由，，所以，由余弦定理可得，所以，所以，即，又，，又平面平面，且平面平面，平面，平面，又平面，，在菱形中，又，平面，平面，平面，.【小问2详解】菱形中，所以为等边三角形，取中点，连接，所以，又，所以，又平面，以分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，设，则，又，所以，所以，即，所以，设平面的一个法向量为，则，取设平面的一个法向量，则，取，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面所成锐角的余弦值为.17.（1）求圆和圆的公切线（2）若与抛物线相交，求弦长【答案】（1）或；（2）1或【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解；（2）将切线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求解.【详解】解：（1）当斜率存在时，设公切线为，因为与两圆相切，所以，解得.切线当斜率不存在时，也符合题意，综上：公切线为：或；（2）当切线和时经检验无交点，当切线为时，求得弦长为1，当切线为时，代入，得：，由韦达定理得，所以由弦长公式得：，，综上：弦长为1或18.在高等数学中对于二阶线性递推式求数列通项，有一个特殊的方法特征根法：我们把递推数列的特征方程写为①，若①有两个不同实数根，则可令；若①有两个相同的实根，则可令，再根据求出，代入即可求出数列的通项.（1）斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列，因出自于意大利数学家斐波那契的一道兔子繁殖问题而得名.斐波那契数列指的是形如的数列，这个数列的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，请求出斐波那契数列的通项公式；（2）已知数列中，数列满足，数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用特征根法求解即可；（2）利用特征根法求解的通项公式，然后利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】易知斐波那契数列对应的特征方程为，解得两个实根分别为，令，代入可得，解得，所以斐波那契数列的通项公式为【小问2详解】易知数列对应的特征方程为，解得，所以令，代入，解得，所以，所以，所以是公差为1的等差数列，，所以，所以【点睛】方法点睛：本题考查数列新定义，处理此类问题，注意根据题目的定义，结合已知内容进行求解即可.19.已知点为焦点在轴上的等轴双曲线上的一点.（1）求双曲线的方程；（2）已知直线且交双曲线右支于两点，直线分别交该双曲线斜率为正的渐近线于两点，设四边形和三角形的面积分别为和，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出等轴双曲线方程，将点代入即可得到双曲线的方程；（2）由直线可得斜率，设出的方程，联立双曲线方程消元，又是双曲线右支