第五章计数原理全章总结提升课件高二上学期数学北师大版选择性

全章总结提升第五章计数原理北师大版

数学

选择性必修第一册知识网络·整合构建专题突破·素养提升目录索引

易错易混·衔接高考知识网络·整合构建专题突破·素养提升专题一数学思想方法在求解计数问题中的应用基本计数原理是本章所有问题的基础,在应用时往往需要先将问题情境合理的建模,然后通过转化化归合理选择分步乘法计数原理或分类加法计数原理,主要考查了数学建模和逻辑推理的核心素养.【例1】

(1)已知在10件产品中,有7件合格品,3件次品,若从中任意抽取5件产品进行检查,则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法种数是(

)A.35 B.38 C.105 D.630C(2)车间有11名工人,其中5名男工是钳工,4名女工是车工,另外两名老师傅既能当车工又能当钳工,现在要在这11名工人里选派4名钳工,4名车工修理一台机床,则有多少种选派方法?规律方法

利用两个计数原理解题,搞清两个原理的含义及区别,解题时,通过数学逻辑推理,知道是利用哪个原理去解题,关键是分类还是分步,进而通过数学运算正确地求解.变式训练1(1)[2024辽宁沈阳月考]如图所示是一段灌溉用的水渠,上游和下游之间建有A,B,C,D,E五个水闸,若上游有充足水源但下游没有水,则这五个水闸打开或关闭的情况有(

)A.7种

B.15种C.23种

D.26种C解析

每个水闸有打开或关闭两种情况,五个水闸的打开或关闭不同结果有25种,水闸A打开,水闸B,C至少打开一个,水闸D,E至少打开一个,下游有水,水闸B,C至少打开一个有(22-1)种,水闸D,E至少打开一个有(22-1)种,由分步乘法计数原理得下游有水的不同结果有1×(22-1)×(22-1)=9(种),所以满足题意的情况有25-9=23(种).(2)由甲、乙、丙、丁4名学生参加数学、写作、英语三科竞赛,每科至少1人(且每人仅报一科),若学生甲、乙不能同时参加同一竞赛,则不同的参赛方案共有

种.

30专题二排列与组合的综合应用对于排列组合的综合应用问题,一般要对特殊元素(位置)进行讨论,力求做到“不重不漏”,直接法与间接法相结合,当问题比较复杂时也可通过列举来探究规律,考查的数学核心素养为数学建模和逻辑推理.【例2】

在高三一班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.(1)当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序?(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序?(3)若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗朗诵和快板2个节目,但不能改变原来节目的相对顺序,有多少种不同的节目演出顺序?规律方法

排列与组合的综合问题,首先要分清何时为排列,何时为组合.对含有特殊元素的排列、组合问题,一般先选再排.对特殊元素的位置有要求时,在组合选取时,就要进行分类讨论,分类的原则是不重、不漏.在用间接法计数时,要注意考虑全面,排除干净.变式训练2[2024山东菏泽月考]为庆祝党的二十大胜利闭幕,某校高二级部组织全体同学进行了主题为“二十大精神进校园,培根铸魂育新人”的二十大知识竞赛,并选出了4名女生和3名男生共7名优胜者.赛后,7名同学站成一排,照相留念.(1)女生必须站在一起的站队方式有多少种?(2)男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种?(3)现在要求这7名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做二十大学习成果汇报,要求每个小组必须既有男生又有女生,问有多少种安排方案?专题三二项式定理及其应用对于二项式定理的考查,一般考查求系数问题、展开式中特定项的求法和二项式系数的性质,体现的数学核心素养为数学运算.角度1.二项展开式的“赋值”问题【例3】

设(1+x+x2)n=a0+a1x+…+a2nx2n,则a2+a4+…+a2n的值为(

)C解析

令x=0,得a0=1;①令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a2n=1;②令x=1,得a0+a1+a2+a3+…+a2n=3n,③②+③得2(a0+a2+…+a2n)=3n+1,规律方法

求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和,主要方法是赋值法,通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系,确定给字母所赋的值,有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项,此时要专门求出这一项,而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时,往往要两次赋值,再联立方程组求出结果.变式训练3(多选题)若(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,x∈R,则(

)A.a2=180B.|a0|+|a1|+|a2|+…+|a10|=-310AD角度2.二项展开式的特定项问题

求:(1)n的值;(2)展开式中系数最大的项.规律方法

1.确定二项展开式中的常数项:先写出其二项式通项,令未知数的指数为零,从而确定项数,然后代入二项式通项,即可确定常数项.2.求二项展开式中条件项的系数:先写出其二项式通项,再由条件确定项数,然后代入二项式通项求出此项的系数.变式训练4(多选题)[2024陕西西安期末]关于(-2x)7的二项展开式,下列说法正确的是(

)A.二项式系数和为128B.各项系数和为-7C.含x-1项的系数为-280D.第三项和第四项的系数相等AC易错易混·衔接高考123451.[2024湖南长沙月考]若(2x-1)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a1+2a2+…+10a10=(

)A.310

B.310-1C.20×39 D.10×39C解析

(2x-1)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,对原式两边求导可得20(2x-1)9=a1+2a2(x-1)+…+10a10(x-1)9,令x=2,则20×39=a1+2a2+…+10a10.故选C.123452.[2024江西赣州月考]将编号为1至7的7个小球放入编号为1至7的7个盒子中,每个盒子中放1个小球,则恰好有3个小球与盒子的编号相同的放法有(

)A.315种 B.210种C.135种 D.105种A解析

先确定3个与盒子编号相同的小球,共有

种选法,假设1,2,3,4号小球与盒子的编号不同,5,6,7号小球与盒子的编号相同,则1,2,3,4号盒子的放法有2,1,4,3;2,3,4,1;2,4,1,3;3,1,4,2;3,4,1,2;3,4,2,1;4,1,2,3;4,3,1,2;4,3,2,1,共9种,故共有×9=315(种)放法.故选A.123453.(多选题)已知a∈{2,3,4},b∈{4,6,7},则方程

可表示不同的椭圆的个数用式子表示为(

)A.3×3-1 B.3×3C.3+3+3 D.3+3+2AD123454.[2024