高考数学（文）一轮复习教师用书第一章第二讲命题及其关系充分条件与必要条件

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充要条件充分条件与必要条件的定义从集合角度理解若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p成立的对象的集合为A，q成立的对象的集合为Bp是q的充分不必要条件p⇒q且qeq\a\vs4\al(⇒/)pA是B的真子集集合与充要条件的关系p是q的必要不充分条件peq\a\vs4\al(⇒/)q且q⇒pB是A的真子集p是q的充要条件p⇔qAeq\a\vs4\al(＝)Bp是q的既不充分也不必要条件peq\a\vs4\al(⇒/)q且qeq\a\vs4\al(⇒/)pA，B互不包含1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－8<0”是命题．((2)一个命题非真即假．()(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.()(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．()(5)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√2．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>bD．若a>b，则a＋c≤b＋c解析：选A命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”．3．在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C由正弦定理知eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R(R为△ABC外接圆半径)．若sinA>sinB，则eq\f(a,2R)>eq\f(b,2R)，即a>b，所以A>B；若A>B，则a>b，所以2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB，所以“A>B”是“sinA>sinB”成立的充要条件．4．(2018·唐山一模)若x∈R，则“x>1”是“eq\f(1,x)<1”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A当x>1时，eq\f(1,x)<1成立，而当eq\f(1,x)<1时，x>1或x<0，所以“x>1”是“eq\f(1,x)<1”的充分不必要条件，选A.5．“若a<b，则ac2<bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________解析：原命题：“若a<b，则ac2<bc2”，这是假命题，因为若c＝0时，由a<b，得到ac2＝bc2＝0，不能推出ac2<bc2逆命题：“若ac2<bc2，则a<b”，这是真命题，因为由ac2<bc2得到c2>0，所以两边同除以c2，得a<b，因为原命题和逆否命题的真假性相同，逆命题和否命题的真假性相同，所以真命题的个数是2.答案：26．设向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的________解析：a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，若a⊥b，则a·b＝0，即(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝0，解得x＝2或x＝－eq\f(1,2)，∴x＝2⇒a⊥b，反之a⊥b⇒x＝2或x＝－eq\f(1,2)，∴“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件．答案：必要不充分eq\a\vs4\al(考点一四种命题的相互关系及真假判断)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]四种命题的关系及其真假判断是高考的热点之一，一是对“若p，则q”形式命题的改写要熟练，二是弄清命题的四种形式之间的真假关系.一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题.1．(2018·武汉模拟)对于原命题“正弦函数不是分段函数”，下列叙述正确的是()A．否命题是“正弦函数是分段函数”B．逆命题是“分段函数不是正弦函数”C．逆否命题是“分段函数是正弦函数”D．以上都不正确解析：选D原命题可写成“若一个函数是正弦函数，则该函数不是分段函数”，否命题为“若一个函数不是正弦函数，则该函数是分段函数”，逆命题为“若一个函数不是分段函数，则该函数是正弦函数”，逆否命题为“若一个函数是分段函数，则该函数不是正弦函数”，可知A、B、C都是错误的，故选D.2．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题解析：选A可以考虑原命题的逆否命题，即a，b都小于1，则a＋b<2，显然为真．其逆命题，即若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2为假，如a＝1.2，b＝0.2，则a＋b<2.3．命题“已知a>1，若x>0，则ax>1”的否命题为(A．已知0<a<1，若x>0，则ax>1B．已知a>1，若x≤0，则ax>1C．已知a>1，若x≤0，则ax≤1D．已知0<a<1，若x≤0，则ax≤1解析：选C命题中，“已知a>1”是大前提，在四种命题中不能改变；“x>0”是条件，“ax>1”是结论．由于命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，故该命题的否命题为“已知a>1，若x≤0，则ax≤1”．[怎样快解·准解]1．判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(如第2题逆命题的真假判断)(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．(如第2题原命题的真假判断)2．谨防3类失误(1)如果原命题是“若p，则q”，则否命题是“若綈p，则綈q”，而命题的否定是“若p，则綈q”，即否命题是对原命题的条件和结论同时否定，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)．(2)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写．(如第1题)(3)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．(如第3题)eq\a\vs4\al(考点二充分、必要条件的判断)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命题的热点.高考主要考查充分条件、必要条件的判断，常以选择题的形式出现，难度不大，属于基础题.,充分条件、必要条件作为一个重要载体，考查的数学知识面较广，几乎涉及数学知识各个方面.[典题领悟]1．(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，当〈m，n〉∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，m，n不共线．故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”2．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/0≤x≤2，故“2－x≥0”是“|x－1|≤13．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈peq\a\vs4\al(⇒/)綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．4．(2018·江西鹰潭中学月考)设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要不充分条件是()A．x<0 B．x<0或x>4C．|x－1|>1 D．|x－2|>3解析：选C依题意，f(x)>0⇔x2－4x>0⇔x<0或x>4.又|x－1|>1⇔x－1<－1或x－1>1，即x<0或x>2，而{x|x<0或x>4}{x|x<0或x>2}，因此选C.[解题师说]1．熟记判断充分、必要条件的3种方法方法解读适合题型定义法第一步，分清条件和结论：分清谁是条件，谁是结论；第二步，找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；第三步，下结论：根据推式及定义下结论定义法是判断充分、必要条件最根本、最适用的方法．(如典题领悟第1题)等价法利用p⇒q与綈q⇒綈p；q⇒p与綈p⇒綈q；p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系适用于“直接正面判断不方便”的情况，可将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题，再去判断．常用的是逆否等价法．(如典题领悟第3题)集合法记条件p，q对应的集合分别为A，B.若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件适用于“当所要判断的命题与方程的根、不等式的解集以及集合有关，或所描述的对象可以用集合表示时”的情况．(如典题领悟第2题及第4题)2．把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．[冲关演练]1．(2018·安徽两校阶段性测试)设a∈R，则“a＝4”是“直线l1：ax＋8y－8＝0与直线l2：2x＋ay－a＝0平行”的(A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选D∵当a≠0时，eq\f(a,2)＝eq\f(8,a)＝eq\f(－8,－a)⇒直线l1与直线l2重合，∴无论a取何值，直线l1与直线l2均不可能平行，当a＝4时，l1与l2重合．故选D.2．对于直线m，n和平面α，β，m⊥α成立的一个充分条件是()A．m⊥n，n∥α B．m∥β，β⊥αC．m⊥β，n⊥β，n⊥α D．m⊥n，n⊥β，β⊥α解析：选C对于选项C，因为m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故选C.3．(2018·湖南湘中名校联考)“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的(A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A由log2(2x－3)<1⇒0<2x－3<2⇒eq\f(3,2)<x<eq\f(5,2)，4x>8⇒2x>3⇒x>eq\f(3,2)，所以“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.eq\a\vs4\al(考点三根据充分、必要条件求参数的范围)eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研)根据充分条件、必要条件求参数的范围是对充分条件、必要条件与集合之间关系的深层次考查.关键是合理转化条件，熟练掌握函数的有关性质、不等式的解法等知识，在近几年的高考题中出现频率较低，但也要引起关注.[典题领悟]1．(2018·保定模拟)已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－eq\f(3,2)x＋1))))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数m的取值范围是________．解析：y＝x2－eq\f(3,2)x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋eq\f(7,16)，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，∴eq\f(7,16)≤y≤2，∴A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)≤y≤2)))).由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}．∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，∴A⊆B，∴1－m2≤eq\f(7,16)，解得m≥eq\f(3,4)或m≤－eq\f(3,4)，故实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))2．(2018·石家庄模拟)已知p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．解析：法一：由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，得－2≤x≤10，∴綈p对应的集合为{x|x>10或x<－2}，设A＝{x|x>10或x<－2}．由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)，∴綈q对应的集合为{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}，设B＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴BA，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤－2，,1＋m>10，))解得m≥9，∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．法二：∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即p是q的充分不必要条件，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}，又由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，得－2≤x≤10，∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}，设N＝{x|－2≤x≤10}．由p是q的充分不必要条件知，NM，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤－2，,1＋m>10，))解得m≥9.∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．答案：[9，＋∞)[解题师说]1．解题“2关键”(1)把充分、必要条件转化为集合之间关系．(2)根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．2．解题“1注意”求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(如典题领悟第2题)[冲关演练]1．(2017·湖北新联考四模)若x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(A．[－3,3] B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]解析：选D∵x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，∴(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－12．(2018·广州模拟)已知p：(x＋3)(x－1)>0，q：x>a2－2a－2，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(A．[－1，＋∞) B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[－1,3]解析：选C由p：(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1，要使得綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，即q⇒p，p⇒/q．所以a2－2a－2≥1，解得a≤－1或a≥3，故选(一)普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．2．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．3．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．4．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C依题意，若A⊆C，则∁UC⊆∁UA，若B⊆∁UC，可得A∩B＝∅；若A∩B＝∅，不妨令C＝A，显然满足A⊆C，B⊆∁UC，故满足条件的集合C是存在的．5．命题p：“若x2<1，则x<1”的逆命题为q，则p与q的真假性为(A．p真q真 B．p真q假C．p假q真 D．p假q假解析：选Bq：若x<1，则x2<1.∵p：x2<1，则－1<x<1.∴p真，当x<1时，x2<1不一定成立，∴q假，故选B.6．(2017·浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的(A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d,2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S67．在△ABC中，“A＝B”是“tanA＝tanB”的________条件．解析：由A＝B，得tanA＝tanB，反之，若tanA＝tanB，则A＝B＋kπ，k∈Z.∵0＜A＜π，0<B<π，∴A＝B.答案：充要8．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)9．下列命题：①“a>b”是“a2>b2”②“|a|>|b|”是“a2>b2”③“a>b”是“a＋c>b＋c”的充要条件．其中真命题的是________(填序号)．解析：①a>b⇒/a2>b2，且a2>b2⇒/a>b，故①不正确；②a2>b2⇔|a|>|b|，故②正确；③a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故③正确．答案：②③10．(2018·德州模拟)下列命题中为真命题的序号是________．①若x≠0，则x＋eq\f(1,x)≥2；②命题：若x2＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x2≠1；③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0解析：当x<0时，x＋eq\f(1,x)≤－2，故①错误；根据逆否命题的定义可知，②正确；“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；根据否命题的定义知④正确．故填②④.答案：②④B级——中档题目练通抓牢1．(2018·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞1，则x2＞1”B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”D．命题“若eq\f(1,x)＞1，则x＞1”的逆否命题解析：选B对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若eq\f(1,x)＞1，则x＞1”的逆否命题为“若x≤1，则eq\f(1,x)≤1”，易知为假命题，故选B.2．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cosx≠cosy}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cosx＝cosy}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件．3．若x>5是x>a的充分条件，则实数a的取值范围为()A．(5，＋∞) B．[5，＋∞)C．(－∞，5) D．(－∞，5]解析：选D由x>5是x>a的充分条件知，{x|x>5}⊆{x|x>a}，∴a≤5，故选D.4．在命题“若m＞－n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________解析：若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：35．(2018·武汉调研)已知“命题p：(x－m)2＞3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________________解析：命题p：x＞m＋3或x＜m，命题q：－4＜x＜1.因为p是q成立的必要不充分条件，所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)6．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．7．已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．解：A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|2<x<4}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}(1)由题意知A⊆B，当a＝0时，B＝∅，不合题意．当a>0时，B＝{x|a<x<3a}则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2，,3a≥4，))解得eq\f(4,3)≤a≤2.当a<0时，B＝{x|3a<x<a}则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≤2，,a≥4，,))无解．综上，a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)).(2)要满足A∩B＝∅，当a>0时，B＝{x|a<x<3a则a≥4或3a≤2，即0<a≤eq\f(2,3)或a≥4.当a<0时，B＝{x|3a<x<a}则a≤2或a≥eq\f(4,3)，即a<0.当a＝0时，B＝∅，A∩B＝∅.综上，a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))∪[4，＋∞)．C级——重难题目自主选做1．“a＝0”是“函数f(x)＝sinx－eq\f(1,x)＋a为奇函数”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选Cf(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当a＝0时，f(x)＝sinx－eq\f(1,x)，f(－x)＝sin(－x)－eq\f(1,－x)＝－sinx＋eq\f(1,x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,x)))＝－f(x)，故f(x)为奇函数；反之，当f(x)＝sinx－eq\f(1,x)＋a为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0，又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－eq\f(1,－x)＋a＋sinx－eq\f(1,x)＋a＝2a，故a＝0，所以“a＝0”是“函数f(x)＝sinx－eq\f(1,x)＋a为奇函数”的充要条件，故选C.2．(2018·南山模拟)已知条件p：eq\f(1,4)<2x＜16，条件q：(x＋2)·(x＋a)＜0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为()A．[－4，＋∞) B．(－∞，－4)C．(－∞，－4] D．(4，＋∞)解析：选B由eq\f(1,4)＜2x＜16，得－2＜x＜4，即p：－2＜x＜4.方程(x＋2)(x＋a)＝0的两个根分别为－a，－2.①若－a＞－2，即a＜2，则条件q：(x＋2)(x＋a)＜0等价于－2＜x＜－a，由p是q的充分不必要条件可得－a＞4，则a＜－4；②若－a＝－2，即a＝2，则(x＋2)(x＋a)＜0无解，不符合题意；③若－a＜－2，即a＞2，则q：(x＋2)(x＋a)＜0等价于－a＜x＜－2，不符合题意．综上，可得a的取值范围为(－∞，－4)，故选B.(二)重点高中适用作业A级——保分题目巧做快做1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A因为由“a＝3”可以推出“A⊆B”，反过来，由A⊆B可以得到“a＝3或a＝2”，不一定推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A⊆B”2．命题p：“若x2<1，则x<1”的逆命题为q，则p与q的真假性为(A．p真q真 B．p真q假C．p假q真 D．p假q假解析：选Bq：若x<1，则x2<1.∵p：x2<1，则－1<x<1.∴p真，当x<1时，x2<1不一定成立，∴q假，故选B.3．(2018·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是()A．方程ax2＋x＋a＝0有唯一解的充要条件是a＝±eq\f(1,2)B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”D．命题“若eq\f(1,x)＞1，则x＞1”的逆否命题解析：选B对于A，方程ax2＋x＋a＝0有唯一解，则a＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝1－4a2＝0，,a≠0，))求解可得a＝0或a＝±eq\f(1,2)，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若eq\f(1,x)＞1，则x＞1”的逆否命题为“若x≤1，则eq\f(1,x)≤1”，易知为假命题，故选B.4．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cosx≠cosy}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cosx＝cosy}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件．5．设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x||x|≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是()A．－1＜x≤1 B．x≤1C．x＞－1 D．－1＜x＜1解析：选D由题意可知，x∈A⇔x＞－1，x∉B⇔－1＜x＜1，所以“x∈A且x∉B”成立的充要条件是－1＜x＜1.故选D.6．在命题“若m＞－n，则m2＞n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________解析：若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：37．有下列几个命题：①“若a＞b，则a2＞b2”②“若集合A是集合B的子集，则集合A是集合B的真子集”的逆命题；③“若x2＜4，则－2＜x＜2”其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，是假命题，如－1＜0，但是(－1)2＞0；②原命题的逆命题为“若集合A是集合B的真子集，则集合A是集合B的子集”是真命题；③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4答案：②③8．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)9．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．10．(2018·安徽黄山调研)已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a解：由2x2－3x＋1≤0，得eq\f(1,2)≤x≤1，∴条件p对应的集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤1)))).由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1∴条件q对应的集合为Q＝{x|a≤x≤a＋1}．∵綈p是綈q的必要不充分条件，∴根据原命题与逆否命题等价，得p是q的充分不必要条件．∴p⇒q，即PQ⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<\f(1,2)，,a＋1≥1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1>1，))解得0≤a≤eq\f(1,2).∴实数a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).B级——拔高题目稳做准做1．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]解析：选A由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.2．(2017·天津高考)设θ∈R，则“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))<eq\f(π,12)”是“sinθ<eq\f(1,2)”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A法一：由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))<eq\f(π,12)，得0<θ<eq\f(π,6)，故sinθ<eq\f(1,2).由sinθ<eq\f(1,2)，得－eq\f(7π,6)＋2kπ<θ<eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，推不出“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))<eq\f(π,12)”．故“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,12)))<eq\f(π,12)”是“sinθ<eq\f(1,2)”的充