浙江省“数海漫游”2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省“数海漫游”2024届高三下学期第二次模拟考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A.0 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以,所以,所以,所以.故选：C.2.已知，则的面积是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由余弦定理得，因为，所以，可得.故选：D.3.记Sn为非零数列an的前项和，若，则（）A.2 B.4 C.8 D.16〖答案〗B〖解析〗，则.即.,，.故.故选：B.4.设点在正四面体的棱AB上，AB与平面所成角为，则（）A.4 B.10 C.14 D.20〖答案〗B〖解析〗取的中点的中点，连接，过作于，因为四面体为正四面体，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，平面，所以平面，所以（或其补角）为与平面所成角，所以，则，设正四面体的棱长为2，则,所以，所以为锐角，所以，所以，在中，，则，在中，，则，所以，解得，所以,所以.故选：B.5.已知向量均为单位向量，则的最小值是（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗由向量均为单位向量，设向量的夹角为，由，则，所以设，令，则，令，则，所以在单调递增，令，则，所以在单调递减，所以的最小值为，所以的最小值为.故选：C.6.小明开始了自己的存钱计划：起初存钱罐中没有钱，小明在第天早上八点以的概率向存钱罐中存入100元，．若小明在第4天早上七点发现自己前3天晚上八点时存钱罐中的余额恰好成等差数列，则小明在第2天存入了100元概率是（）A. B.15 C. D.〖答案〗A〖解析〗余额恰好成等差数列，即，其中第天存入元的是，故所求概率为.故选：A.7.设椭圆的弦AB与轴，轴分别交于两点，，若直线AB的斜率，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示，设，直线，因为，所以，所以，即，，所以.因为在椭圆上，所以，两式相减得，即.又因为，且，，所以，即，所以.故选：C.8.称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点，记为集合包含的好整点的个数．若，则正整数的最小值是（）A.1976 B.1977 C. D.〖答案〗B〖解析〗一方面：由题意，，使得不等式恒成立，注意到，等号成立当且仅当，即，所以正整数应该满足，另一方面：当时，我们证明：成立，证明过程如下：注意到，所以，，记，则，，，即成立，综合以上两方面，可知正整数的最小值是1977.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设双曲线与直线交于与两点，则可能有（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗联立方程组，可得，因为双曲线与直线有两个交点，所以，所以，B错误；当时，，A正确；当m>0时，，C正确；当或时，，D正确.故选：ACD.10.若无穷数列由唯一确定，称递推公式是专一的．则下列递推公式中专一的有（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于选项A：因为，可得，所以递推公式是专一的，故A正确；对于选项B：因为，令，可得，即，解得或，所以推公式不是专一的，故B错误；对于选项C：因为，可得，令，可得，可得，且，可得，即，可知数列是以2为周期的周期函数，且，则，所以递推公式是专一的，故C正确；对于选项D：因为，由可得：，则，由可得，解得或，所以推公式不是专一的，故D错误；故选：AC.11.设一组样本数据满足，则（）A.拿走，这组数据的方差变大 B.拿走，这组数据的方差变大C.拿走，这组数据的方差减小 D.拿走，这组数据的方差减小〖答案〗AD〖解析〗熟知对一组数据，其方差等于各个数据的平方的算术平均值与算术平均值的平方之差，即.将拿走前后的方差分别记为.对于A，给五个元素同时加上或减去同一个数，不影响方差，所以可以适当平移，使得剩下的4个元素：的平均值为0，不妨设，则，，所以.故，所以A正确；对于B，考虑，则，，所以B错误；对于C，考虑，则，，所以C错误；对于D，由于这组数据不全相等，所以，而，所以D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数至多有______个零点．〖答案〗1〖解析〗当，令，解得，但，所以只有可能是零点，且.当，令，解得，又，所以只有，即时，可能是零点.综上，当，至多1个零点；当，至多1个零点．即函数至多1个零点．13.已知正方体的棱长为3，取出各棱的两个三等分点，共24个点，对于正方体的每个顶点，设这24个点中与距离最小的三个点为，从正方体中切去所有四面体，得到的几何体的外接球表面积是______．〖答案〗〖解析〗由题意可知，如图，将正方体切去8个角上的四面体即得所求几何体，该几何体的外接球球心即正方体外接球的球心，设外接球半径为，球心为.设四面体高，其中是在平面的投影.已知正方体棱长为3，则，，由，得，解得，，，则，故几何体的外接球表面积.14.当，为锐角时，恒有，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗令，，，令，，则当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，有最大值，即，设，，，而，，，，在上单调递增，所以，即，，，因此，即，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点为抛物线与圆在第一象限的交点，另一交点为.（1）求；（2）若点在圆上，直线为抛物线的切线，求的周长．解：（1）由题意，，解得．（2）在抛物线与圆的方程中，用替换方程依然成立，这表明这两个图象都关于轴对称，所以它们的交点也关于轴对称，由，知．直线为抛物线的切线，当时，，所以抛物线在点处的切线斜率为，则．代入，得或1，故．则的周长为．16.小林有五张卡片，他等概率的在每张卡片上写下1，2，3，4，5中的某个数字．（1）求五张卡片上的数字都不相同的概率；（2）证明：这五张卡片上最大的数字最可能是5．（1）解：．（2）证明：记为这五张卡片上最大的数字，则．由，由，所以这五张卡片上最大的数字最可能是5.17.在正四面体中，点分别在棱上（不与顶点重合），且（1）若，证明（2）求的取值范围．解：（1）设．因为四面体为正四面体，所以，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，又因为，所以．整理得：．又因为，即，代入得，所以.（2）由（1）知，或．设，取中点，则．①若，则，等边三角形，即，设，则.②若，则，设，则．综上所述，，故．18.记函数.（1）证明：；（2）记的定义域为．若任意，求的取值范围．（1）证明：①当时，；②当时，易知，则，得证！（2）解：先考虑，由．记，则．由．令，则，所以在上单调减，则．必要性探路：先考虑时，．只需考虑的情况，否则显然有．于是，令，则．令，且．故在上单调递增，在上单调递减．由，故．于是．等号在，即时取到．充分性证明：下证：时，，用归纳法证明．①当时，已证；②当时，易知单调递增，则，得证！综上所述，．19.已知集合，记，，是自然数集.称函数，若对于任意，；称函数是单调的，若对于任意，；•称函数是次模的，若对于任意,.已知函数是次模的．（1）判断是否一定是单调的，并说明理由；（2）证明：对于任意，，；（3）若是