江苏省如皋市2025届高三上学期开学能力测评数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省如皋市2025届高三上学期开学能力测评数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1.复数的实部与虚部分别为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以复数的实部与虚部分别为.故选：A.2.若和都为基底，则不可以为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗若不是一组基底，则可设，对于A，若，则，方程组无解，为基底，A错误；对于B，若，则，方程组无解，为基底，B错误；对于C，若，则，解得：，不是一组基底，C正确；对于D，若，则，方程组无解，为基底，D错误.故选：C.3.若，集合，则满足（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗A．若，即，故，，不满足元素的互异性，错误，不符合题意；B．若，即，故，，不满足元素的互异性，错误，不符合题意；C．若，即，如果，不满足元素的互异性，不成立，如果，不满足条件，故选项正确，符合题意；D．至少有元素3，故，故选项错误，不符合题意；故选：C.4.已知实数，则使和最小的实数分别为的（）A.平均数；平均数 B.平均数；中位数C.中位数；平均数 D.标准差；平均数〖答案〗C〖解析〗，表示2025个绝对值之和，根据绝对值的几何意义知，绝对值的和的最小值表示距离和的最小值，因为2025为奇数，所以取的中位数时，有最小值；为关于的一元二次函数，故当时，有最小值，即为的平均数时，有最小值.故选：C.5.在等差数列中，若，则下列说法错误的是（）A. B.C.的最大值为 D.满足的的最大值为〖答案〗D〖解析〗设等差数列an的公差为，则，解得：；对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，当或时，，C正确；对于D，由得：，又，满足的的最大值为，D错误.故选：D.6.若虚数满足，不等常实数满足为定值，则下列说法一定错误的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗设，则，因为，故，所以，对于A，假设成立，不妨令，则代入，整理得为定值，故可成立；对于B，假设，则，代入，整理得常数，故不成立；对于C，假设成立，不妨令，则代入，整理得为定值，故可成立；对于D，假设成立，不妨令，则代入，整理得为定值，故可成立；故选：B.7.若方程的两实数解满足，则（）A.存在最小值，存在最大值3B.存在最小值，不存在最大值C.不存在最小值，存在最大值3D.不存在最小值，不存在最大值〖答案〗B〖解析〗方程，可化为或，所以或，若，则没有解或有无数解，方程至多只有一个根，不满足要求，若，则没有解或有无数解，方程至多只有一个根，不满足要求，若，则或，且且，所以，，由已知，所以，所以，所以，所以当，时，取最小值，最小值为，没有最大值，故选：B.8.若数列为正项等比数列，，数列为公差为6，首项为1的等差数列，则数列前5项和的最小值为（）A. B. C. D.65〖答案〗A〖解析〗因为数列为公差为6，首项为1的等差数列，所以若数列为正项等比数列，，设公比为，则，所以数列前5项和为，设，求导可得，令，可得，在上为增函数，又，当时，，所以在上为增函数，又，所以当,，，，所以，当,,所以则数列前5项和的最小值为.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选不得分.9.随机事件满足，则下列说法正确的是（）A事件互不独立 B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因为，所以，又，所以，所以，而，所以，所以事件互不独立，故A正确；，故B错误；，故C正确；，，所以，故D正确.故选：ACD.10.由不重合的两正四面体和组成六面体分别为上的动点，且.下列说法正确的是（）A.六面体的体积为B.二面角的正切值为C.的最小值为D.到的距离平方和的最小值为〖答案〗BD〖解析〗作出示意图如图所示：由题意可得在平面的射影是的中心，由正弦定理可得，在中，可得，可得，六面体的体积为，故A错误；设交于，连接，可证，从而为二面角的平面角，由（1）可得，所以，所以，故B正确；由题意可得是的动点，可知，故C错误；由，由，所以平面,又平面，所以为到的距离，由（1）可得，设，由余弦定理可得，易得到的距离距离为，所以到的距离平方和为，所以可得当，到的距离最小值为，故D正确.故选：BD.11.已知圆，圆，圆与圆都相切，记点的轨迹为曲线，点在曲线上.下列说法错误的是（）A.直线与曲线的交点个数可以为B.存在使得直线与曲线只有2个交点C.若存在3或6条直线满足，则的取值范围为D.若存在4条直线满足，则的取值范围为〖答案〗BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知焦点为的抛物线上两点满足，则中点的横坐标为__________.〖答案〗〖解析〗因为抛物线，所以，设，由得，所以，由，，所以，所以中点的横坐标为.13.关于自然数的方程的解的个数为__________.〖答案〗75〖解析〗由得，即，即，是自然数，则，且，又，，即，方程组的解为，，，，共有21个解；，即，方程组的解为，，，，共有15个解；，即，方程组的解为，，，，共有13个解；，即，方程组的解为，，，，共有9个解；，即，方程组的解为，，，，共有6个解；，即，方程组的解为，，，，共有5个解；，即，方程组的解为，，共有3个解；，即，方程组的解为，共有2个解；，即，方程组的解为，共有1个解；所以关于自然数的方程的解的个数为个.故〖答案〗为：.14.已知半径为1的球面上有不重合的四点，则和的取值范围分别为__________和__________.〖答案〗〖解析〗设三角形三个内角分别为，此时三边平方和为，当且时等号成立，即时取等号，所以又不重合，所以最大取不到零，所以的取值范围为：.，所以所以当同向且模长最大为球的直径时，即，取得最小值为，但是四点是球面上不重合的四点，所以不能取等号，当反向时，取得最大值为，故的取值范围为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明和证明过程.15.在四棱锥中，，，，平面为中点.（1）求四棱锥的体积；（2）求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）取中点，连接，由于为中点，平面，则平面，则，而，则平面，而则，所以四棱锥的体积；（2）由平面，可得两两垂直，所以以为坐标原点，方向为正半轴方向建立如图空间直角坐标系，设平面与平面的一个法向量分别为，由于，且，令，则，，令，则记平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角余弦值为.16.在中，内角满足.（1）求角A的大小；（2）若上有一点满足，且，求的值.解：（1）因为，所以，即，故由正弦定理得，所以根据余弦定理有，又，所以（2）由题可设，由于，故由（1）得，且，所以由正弦定理得，所以，，所以，即，化简得，即，解得实数或（舍），所以.17.已知圆交轴于两点，椭圆以为长轴，椭圆上有一动点，且的最小值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与分别平分直线与椭圆和圆的交线段，①证明：存在实数使得恒成立，并求出实数的值；②求直线与椭圆的交点构成的四边形面积的最大值.（1）解：由，令得，不妨令，则可设椭圆的标准方程为，设则，，则，而，则，得，所以椭圆的标准方程为；（2）①证明：显然直线与垂直，设直线，直线与椭圆交于，由于直线平分直线与圆的交线段，则有，于是，由于，则所以存在实数使得恒成立.②解：令，得，则直线与椭圆交线长为，同理可得直线与椭圆的一个交点，则到直线的距离，所以四边形面积，当时，四边形不存，当时，，所以四边形面积的最大值为，在时取到.18.已知函数.（1）判断与的大小并证明；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）已知数列满足，证明：.（1）解：，有，当且仅当时取等.证明：要证，即证，令函数，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则，证毕.（2）解：若，则，即，，令函数，由于，则必有，得，下面验证的充分性：当时，，令在上单调递减，而，则当时，当时，而，则当时，当时，此时，若，则当时，当时，则此时不能使恒成立，所以的范围为；（3）证明：等价于，故要证明的命题等价于，先证明，由（2）可得，即，令，可得，于是，所以证毕；再证明，可以证明，当时，，当时，，由（1）可得，则证毕，所以，证毕.19.若数列只由个1和个0组成，且第一个1之前有偶数（可为零）个0，此后每两个相邻的1之间有奇数个0，则称数列为型布尔数列.（1）写出所有的型布尔数列和所有的型布尔数列；（2）记型布尔数列的总个数为；①证明：，其中且；②令，其中且，证明：.（1）解：型布尔数列：、、；型布尔数列：、、；（2）证明：①假设已知，考虑值，由