黑龙江省龙东十校2025届高三上学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1黑龙江省龙东十校2025届高三上学期开学考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以.故选：D.2.若，则（）A. B. C.12 D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以.故选：C.3.函数的极值点为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，令，得，此时函数单调递减；令，得，此时函数单调递增.所以的极小值点为.故选：B.4.已知，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因由可得，又，由可得，故得，.故选：D.5.已知为幂函数，为常数，且，则函数的图象经过的定点坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为幂函数的图象过定点，即有，所以，即的图象经过定点.故选：B.6.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗必要性：由，可得，则，即.所以“”是“的必要条件；充分性；由，可得，即，则，得或.所以“”不是“的充分条件；故选：B.7.如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，液面半径为，如图可得，,则，即，则由，解得.由，当时，，即时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为.故选：A.8.已知函数满足：对任意实数x，y，都有成立，且．给出下列四个结论：①；②的图象关于点对称；③若，则；④，．其中所有正确结论的序号是（）A.①③ B.③④ C.②③ D.②④〖答案〗C〖解析〗对于①，令，则，所以，故错误；对于②，令，则，所以的图象关于对称，所以的图象关于点对称，故正确；对于③，因为，若，则，故正确；对于④，令，则，可得，令，则，故错误.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（）A.B.C.至少存在两个质数的平方是偶数D.存在一个直角三角形的三个内角成等差数列〖答案〗BD〖解析〗“”不是存在量词命题，A错误.，故B正确因为只有质数2的平方为偶数，所以不存在两个质数的平方是偶数，C错误.内角为的直角三角形的三个内角成等差数列，D正确.故选：BD.10.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗因为，所以，所以，A，B均正确.，因为，所以，C正确，D错误.故选：ABC.11.已知函数有4个不同的零点，则的取值可以为（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗由题意可得方程有4个不同的根.方程的2个根为，所以方程有2个不同的根，且，即函数与函数的图象有两个交点.当直线与函数的图象相切时，设切点为，因为，所以解得.要使函数与函数的图象有两个交点，只需直线的斜率大于，即.设（），则，由，所以在上单调递增，在单调递减，所以的最大值为.所以.故的取值范围为.故选：AD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若是定义在上的奇函数，当时，，则__________.〖答案〗〖解析〗因为是定义在上的奇函数，则.所以.13.已知函数，则函数的定义域为__________.〖答案〗〖解析〗由，得，由，得，则，解得，即，即函数的定义域为.14.已知函数在与上的值域均为，则的取值范围为__________.〖答案〗〖解析〗由题意可得.由，得，由，得.因为，所以，则解得，即的取值范围是.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求的〖解析〗式；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）求的值.解：（1）（方法一）令，得，则，所以.（方法二）因为，所以.（2）函数的定义域为关于原点对称，且故，即为偶函数.（3）因，则由（2）可得，，故.16.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性.解：（1），则因为，所以曲线y=fx在点处的切线方程为，即.（2），令，得.当时，令f'x<0，得，令f'x>0，得所以上单调递减，在上单调递增.当时，令f'x<0，得或，令f'x>0所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增.17.已知.（1）求的取值范围；（2）求的最小值；（3）若恒成立，求的取值范围.解：（1），因为，所以，所以.因为为减函数，所以的取值范围是，即的取值范围是.（2）因，所以，当且仅当，即，即时，等号成立，所以的最小值为.（3）因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，即的取值范围为.18.在中，分别是内角的对边，且．（1）若为的中点，求的长；（2）若，求的值．解：（1）因为，所以，所以．因为为的中点，所以，则，即），则．故长为.（2）因为，所以，则，则即，得．又，所以，且，又因为，即，则，所以，则为锐角，所以，所以，整理得，解得或，又，所以，故.19.若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.（1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；（2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”，是在上的中值点.①求的取值范围；②证明：.（1）解：函数是上的“双中值函数”．理由如下：因为，所以.因为，，所以令，得，即，解得.因为，所以是上的“双中值函数”.（2）①解：因为，所以.因为是上的“双中值函数”，所以.由题意可得.设，则.当时，，则为减函数，即为减函数；当