河南省濮阳市2024届高三下学期模拟数学试题（四）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省濮阳市2024届高三下学期数学模拟试题（四）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.用按比例分配的分层随机抽样方法，从某学校的600名男生和800名女生中选取14人参与某项研学活动，则女生比男生多选取（）A.8人 B.6人 C.4人 D.2人〖答案〗D〖解析〗依题意可知，分层抽样比为，因此可得选取的男生为6人，女生为8人，所以女生比男生多选取2人.故选：D.2.已知，，，，若，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得：，若，则，可得，则，且，所以.故选：C.3.PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示，把PA,PB,PC放在正方体中，PA,PB,PC的夹角均为．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，所以，设平面的法向量，则，令，则，所以n=(1,1,-1)，所以．设直线与平面所成角为，所以，所以．故选：C．4.已知函数，满足，则实数的值为（）A. B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗，即，则.故选：.5.在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知：圆的圆心为O0,0，半径，设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为，若圆与圆外切，则，，可得；若圆与圆内切，则，，可得；综上所述：，可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，则，所以动点P的轨迹方程为.故选：B.6.已知是递增的等比数列，且，等差数列满足，，．设m为正整数，且对任意的，，则m的最小值为（）A.8 B.7 C.5 D.4〖答案〗D〖解析〗设等比数列an的公比为，由得，①因为bn是等差数列，所以，即，可得，②由①②解得，或，因为an是递增的等比数列，所以，即，设数列bn的公差为，由，，得，，解得，，所以，设，则，两式相减可得，所以，因为，所以，若，则，可得，所以最小值为4.故选：D.7.设实数，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，即，因为，所以，即恒成立，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，因为，所以，若时，不等式恒成立，则恒成立，若时，，恒成立，则也成立，所以当时，恒成立，所以得，即，设当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以，即正实数的最小值为.故选：C.8.已知函数在区间上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论：①在区间0,π上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；④在区间上单调递增.其中正确结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由函数，令，可得，，因为在区间上有且仅有4个极值点，即可得有且仅有4个整数符合题意，解得，即，可得，即，解得，即③正确；对于①，当时，，即可得，显然当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；即①错误；对于②，的最小正周期为，易知，所以的最小正周期可能是，即②正确；对于④，当时，；由可知，由三角函数图象性质可知在区间上单调递增，即④正确；即可得②③④正确.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知方程，则下列说法正确的是（）A.若方程有一根为0，则且B.方程可能有两个实数根C.时，方程可能有纯虚数根D.若方程存在实数根，则或〖答案〗ACD〖解析〗A选项：若方程有一根为0，则代入方程有，则有，，即且，故A正确；B选项：方程可变形为：，即，则，只有一解，故B错误；C选项：当且时，方程为，是该方程的一个纯虚根，故C正确；D选项：若方程存在实数根，则，代入方程可得：，即，即，解得：或，即或，故D正确，故选：ACD.10.已知为双曲线上一点，为其左右焦点，则（）A.若，则的面积为B.若，则的周长为C.双曲线上存在一点，使得成等差数列D.有最大值〖答案〗BD〖解析〗由题意得，，，不妨设且在双曲线的右支，如图.对A、B：由双曲线定义可得，设，在中由余弦定理得：，当时，可得，解得，故A错误；当时，，解得，所以的周长为，故B正确；对于C：假设存在点，不妨设在双曲线的右支，则，所以公差，且，当三点不共线时，设则，即，又因为，所以，又因为三点不共线，所以，故此种情况不符合；当三点共线时，则，故此种情况不符合；综上所述，则假设不成立，故不存在点，故C错误.对D：，令，则，因为，所以，所以，所以的最大值为，故D正确.故选：BD.11.函数，，，则下列说法正确的有（）A.函数有且仅有一个零点B.设方程的所有根的乘积为，则C.当时，设方程的所有根的乘积为，则D.当时，设方程的最大根为xM，方程的最小根为，则〖答案〗BCD〖解析〗A选项，令，则，其中恒过定点，当时，，画出，的图象，如下：可以看出两函数无交点，没有零点，A错误；B选项，画出，的图象，可以看出两函数有2个交点，设交点横坐标分别为，，其中，，由图象可得，且，故，即，故，则，B正确；C选项，当时，，方程，即，时，，时，，故，C正确；D选项，当时，，画出的图象，可以看出，再画出的图象，的最小根为，则，由于与互为反函数，关于对称，而也关于对称，故与相加得，，解得，D正确.故选：BCD.三、本题共3小题，每小题5分，共15分．12.对一个四棱锥各个顶点着色，现有5种不同颜色供选择，要求同一条棱连接的两个顶点不能着相同的颜色，则不同的着色方法有______种（用数字作答）．〖答案〗420〖解析〗根据题意可知，需分五步进行着色，在四棱锥中，如下图所示：按照的顺序进行着色，则点有5种颜色可选，点有4种颜色可选；点有3种颜色可选，若点颜色与点相同，则点有3种颜色可选；若点颜色与点不同，则点有2种颜色可选，此时点有2种颜色可选；所以共有种.13.设实数x，y，z满足，则的最大值是______．〖答案〗〖解析〗实数x，y，z满足，则，于，当且仅当且时取等号，所以当时，.14.过焦点为F的抛物线上一点A作其准线的垂线，垂足为B，直线BF与抛物线相交于C、D两点，当时，三角形ABF的面积为___________．〖答案〗〖解析〗过点做垂直准线于点，过点做垂直准线于点，设准线与轴交于点，做出图象如图所示，由抛物线的定义可得，，，因为，则点为中点，为的中位线，即，所以，由可得，，且抛物线，则，则，则点的横坐标为，将代入抛物线方程，可得，即，又F1,0，则直线斜率为，由点斜式可得直线方程为，联立，解得，即，则点的纵坐标为，代入抛物线方程可得其横坐标为，则，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某老师在课余时间为缓解同学们的学习疲劳，组织了两组摸球游戏，事先准备好两个袋子，红、白、黑三种颜色但质地均匀且大小相同的球若干个.（1）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求第2次摸到红球的概率；（2）另一个袋子中装有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出后把球放回，并再装入与摸出球同色的球3个，共摸2次．求摸出的两个球都是红球的概率．解：（1）记事件“第i次摸到红球”为，则第2次摸到红球事件为，于是由全概率公式，得．（2）记事件“第i次摸到红球”为，则，，因此.16.已知实数，函数．（1）若存在零点，求实数a的取值范围；（2）当函数和有相同的最小值时，求a．解：（1）因为，所以．由，得，，此时在上单调递减，在上单调递增，所以，且，，若存在零点，则只需要即可，所以，故实数的取值范围是．（2）由（1）知，，且．函数的定义域为0,+∞，，当时，，故在上为减函数;当时，，故在上为增函数，故．因为和有相同的最小值，所以，整理得到，其中，设，，则故为上的减函数，而，故的唯一解为，故的解为．综上，．17.如图，在四棱锥中，，且，，，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（1）证明：取中点，连，由为的中点，则，又，则，又，所以四边形为平行四边形，则，平面，平面，则平面.（2）解：取中点，连，由且，则四边形是平行四边形，故，又，则，所以，由，则，在中，，由余弦定理得，则，而，所以，则，即，又，所以平面，在平面内作.以为轴正向建立空间直角坐标系，则，所以，假设存在点满足题意，设，则可得，设平面的法向量，则，令，则；设平面的法向量，则，令，则；所以，解得，所以假设成立，即存在，且时，使得平面与平面的夹角的余弦值为.18.已知椭圆，点P是椭圆C上的顶点，点A，B是椭圆C上的另外两个点．（1）若点，分别是椭圆C的左、右焦点，，，，焦点在AB上，求椭圆C的离心率；（2）若，，其中，若，证明：满足条件的有且只有一个充要条件是椭圆C的离心率的取值范围为．（1）解：在中，因为，，，所以由余弦定理，得．由椭圆的定义知解得．于是，由椭圆的定义知．在中，由余弦定理，可知，所以．所以椭圆的离心率．（2）证明：（ⅰ）若，则易知直线PA和PB的斜率均存在，不妨设直线PA的倾斜角为，直线PB的倾斜角为，且，则．因为直线PA过椭圆的上顶点，所以可设直线PA的方程为，设，由，得则．又，所以，其中．同理，．因为，所以，整理，得，所以，或．又，，所以由，得，由，得．于是，有且只有一个的充要条件是关于的方程要么只有一个解，要么无解．若方程只有一个解，则，即．设椭圆的离心率为，得若方程无解，则，或（舍去），整理，得．（ⅱ）若，则在直线PA和PB中，有一条的斜率可以不存在，不妨设直线PA的斜率不存在，则．易知，或，整理后，均有．因为，所以，整理，得．所以或1（舍去）．又，所以无解，即满足条件的不存在．若直线PA和PB的斜率均存在，证明方法同（ⅰ）．综上所述，满足条件的有且只有一个的充要条件是椭圆C的离心率的取值范围为，19.已知数列的各项均为正整数，设集合，记T的元素个数为．（1