广东省珠海市2025届高三上学期开学考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省珠海市2025届高三上学期开学考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，1.已知全集，集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以，故选：B.2.复数（i为虚数单位），z的共轭复数为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以z的共轭复数为.故选:B.3.在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（）A. B.1 C. D.〖答案〗C〖解析〗由题可知，，,所以有，所以，得.故选：C.4.已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（）A.6 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗两点，B0,3，则，直线方程为，圆的圆心，半径，点到直线的距离，因此点到直线距离的最小值为，所以面积的最小值是.故选：D.5.一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积从小到大之比为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设该直角三角形的三条边长分别为，设三角形斜边上的高为，则，，由题意设该3个几何体的体积为，则，，，，所以这3个几何体的体积从小到大之比为.故选：.6.已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，的图象如图所示，问题转化为与函数的图象没有交点，所以或,解得或,故选：A.7.函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（）A.B.函数图象关于点对称C.函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为D.若，则函数的最大值为〖答案〗D〖解析〗由已知，所以，又，所以函数的最小正周期为π，由已知，所以，A正确；所以，因为，所以函数图象关于点对称，B正确，将函数图象向右移个单位后可得函数的图象，因为的图象关于轴对称，所以，又，所以的最小值为，C正确，若，则，所以，故，所以当时，函数取最大值，最大值为，D错误.故选：D.8.若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗法一：不等式对一切恒成立即为不等式对一切恒成立，今，则有；故不等式对一切恒成立等价于恒成立，所以为的最大值点.显然，，否则时，，与题设矛盾.又，此时，若，存在区间，是否且，总有f'x>0，这与为的最大值点矛盾，故不成立，同理也不成立，故，则，当时，当时，f'x>0，当x∈0,+∞故在上递增，0,+∞上递减，符合题意；当时，当时，f'x<0当时，f'x故在上递减，上递增，0,+∞上递减，而当时，，故即，故恒成立，故符合题意综上，，因此.法二：不等式可化为，令，当时，，此时，直线恒过点0,1，故只需直线为在点0,1处的切线即可，，此时.当时，亦恒过点0,1，为使对一切x∈R恒成立，需开口向下，且在点0,1处与有公切线即可，故，此时.综上，的取值范围是.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设A，B为随机事件，且，是A，B发生的概率．，则下列说法正确的是（）A.若A，B互斥，则B.若，则A，B相互独立C.若A，B互斥，则A，B相互独立D.与相等〖答案〗ABD〖解析〗对于A：若A，B互斥，根据互斥事件的概率公式，则，故A正确；对于B：由相互独立事件的概念知，若，则事件A，B是相互独立事件，故B正确；对于C：若A，B互斥，则A，B不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件“正面朝上”，事件“反面朝上”，事件与事件互斥，但，，所以不满足相互独立事件的定义，故C错误；对于D：，，所以与相等，故D正确.故选：ABD.10.设，则下列说法正确的是（）A.函数的图象与圆有且只有两个公共点B.存在无数个等腰三角形ABD，其三个顶点都在函数的图象上C.存在无数个菱形ABCD，其四个顶点都在函数的图象上D.存在唯一的正方形ABCD，其四个顶点都在函数的图象上〖答案〗ABC〖解析〗对于选项A，令，当时，f'x>0当x∈-1,1时，f'x<0，则函数在，1,+∞又，，函数y=fx的图象与圆得图象如图所示：故函数y=fx的图象与圆有且只有两个公共点，故A正确；对于选项B、C，由于函数y=fx的图象关于坐标原点成中心对称，过点作直线交的图象于、两点，过点作的垂线交的图象于、两点，则为等腰三角形，四边形为菱形，当线段绕点转动时，仍为等腰三角形，四边形仍为菱形，故选项B、C均正确；对于选项D：由于，故要使得正方形存在，则为等腰直角三角形，显然，当时，，点在函数图象外侧，则，此时，利用极限思想，当时，，此时；当时，，此时；如图所示，故至少存在两个正方形，故D错误.故选：ABC.11.中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系中，到两定点，距离之积为常数的点的轨迹C是双纽线.若是曲线C上一点，则下列结论正确的是（）A.曲线C的图象关于原点对称B.曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）C.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3D.曲线C上有且仅有3个点P满足〖答案〗AC〖解析〗对于选项A：化简得到：，将代入可得，所以曲线.把代入得，所以，曲线的图象关于原点对称，故A正确；对于选项B：令解得，即：曲线经过，结合图象，得.今，得，令，得，因此，结合图象曲线只能经过3个整点.故B错误；对于选项C：可得，所以曲线上任意一点到坐标原点的距离，即：都不超过3，故C正确；对于选项D：点满足，则在垂直平分线上，则，设，则，，故只有原点满足，故D错误.故选：.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线与曲线相切，则______．〖答案〗〖解析〗设切点坐标为，由于，所以切线的斜率为：，所以曲线在处的切线方程为：，即，所以，.13.已知点P在双曲线上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为45，则______．〖答案〗25〖解析〗设P在双曲线右支上，则，由余弦定理得，所以，又，所以，解得，结合，则，，又，故，故.14.甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为72分，方差为90分；乙班的平均成绩为90分，方差为60分．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是______分，方差是______分．〖答案〗80〖解析〗甲、乙两班全部90名学生的平均成绩为分，方差为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，角，，的对边分别为，b，其中，，且．（1）求的值；（2）若的外接圆半径为5，求面积的最大值．解：（1）由题意得，，由正弦定理可知，，在中，因为，，所以，即，因为，所以，所以，又，所以；（2）由正弦定理，因为，，所以，，由，得，由基本不等式可知，，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以面积的最大值为.16.如图，三棱柱中，侧面底面，，，点是棱的中点．（1）证明：；（2）求面与面夹角的正切值．（1）证明：因为三棱柱中，故四边形为菱形，又因，点是棱的中点，故，又侧面底面，侧面底面，侧面，所以底面，又底面，故.（2）解：因，，故为直角三角形，故，如图分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则A0,0,0，，，由（1）可知，，，故，，则，由题意平面的一个法向量为设平面的一个法向量为n=x,y,z则即，令，则，，则，设面与面夹角为，则，故，面与面夹角的正切值为.17.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆上，直线．（1）若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围；（2）当时，记直线与轴，轴分别交于两点，为椭圆上两动点，求的最大值．解：（1）设椭圆的半焦距为，则，故，而在椭圆上，故，故，故椭圆方程为：，由可得，故即即.（2）当时，直线，故，由题设可得为位于直线的两侧，不妨设在直线上方，在直线的下方，当过的直线与直线平行且与椭圆相切时，到直线的距离最大及的面积最大，当过的直线与直线平行且与椭圆相切时，到直线的距离最大及的面积最大，由（1）可得相切时即，当时，切点的横坐标为，切点坐标为，在直线上方，此时到的距离为，当时，切点的横坐标为，切点坐标为，在直线下方；此时到的距离为，又，故18.设函数，.（1）试判断f'（2）证明：对任意，有，当且仅当时等号成立.（3）已知，证明：（其中）（1）解：，令，，，，故f'x在0,1（2）证明：令，则.又在0,1上单调递増，当时，；当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增，故在处取最小值，即，从而，即.（3）证明：，要证，只需证，即证.（*）显然，当时，不等式（*）中等号成立.令，由（2）可知：成立，即：成立，即：而成立，从而成立.19.对于数列an，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列an是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列an为纯周期数列；当时，称数列an为混周期数列．记x为不超过的最大整数，设各项均为正整数的数列an满足：.（1）若对任意正整数都有，请写出三个满足条件的的值；（2）若数列an是纯周期数列，请写出满足条件的的表达式，并说明理由；（3）证明：不论为何值，总存在使得．（1）解：因为对任意整数都有，所以取，则，不符合题意；取，，，此时，数列为常数列；取，，，不符合题意；取，，，，此时，数列的通项公式为；取，，，，此时，数列的通项公式为；所以满足条件的三个的值为,,；（2）解：取，，，此时数列为常数列，为纯周期数列；取，则，，此时数列的通项公式为，为混周期数列；取，，，此时，数列为常数列，为纯周期数列；取，，，，此时数列的通项公式为，为混周期数列；取，，，，此时，数列的通项公式为，为混周期数列；取，，，，此时，数列的通项公式为，为混周期数列；取，，，此时，数列为常数列，为纯周期数列；根据上述计算得出猜想，当时，数列为常数列也纯周期数列，下面进行验证：当时，，，，此时数列为常数列，也是纯周期数列；（3）证明：首先，根据（2）的分析，发现当时，数列为常数列，也是纯周期数列，满足题意；接下来证明，当时，也存在使得；因为，所以只需要证明数列中始终存在值为1的项即可，当时，显然存在值为1的项，当时，有或，若为偶数，则，若为奇数时，则，，所以，所以无论为奇数还是偶数，均有；特别的，当为奇数时，且