广东省部分学校2023届高三下学期5月份大联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省部分学校2023届高三下学期5月份大联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗因为，所以.所以的虚部为.故选:C.2.已知集合，，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由集合，，可得，因为，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：C.3.对两组变量进行回归分析，得到不同的两组样本数据，第一组对应的相关系数，残差平方和，决定系数分别为，，，第二组对应的相关系数，残差平方和，决定系数分别为，，，则（）A.若，则第一组变量比第二组的线性相关关系强B.若，则第一组变量比第二组的线性相关关系强C.若，则第一组变量比第二组变量拟合的效果好D.若，则第二组变量比第一组变量拟合的效果好〖答案〗B〖解析〗线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，故A错误，B正确；残差平方和越小，则决定系数越大，从而两个变量拟合的效果越好，残差平方和越大，则决定系数越小，从而两个变量拟合的效果越差，故C、D错误.故选：B.4.函数的部分图象为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，所以为奇函数，故排除A，D；当时，，故排除B；故选：C.5.在锐角中，内角的对边分别为，，，且，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，所以由正弦定理得，即，因为，，所以，所以，即，因为，即，解得.故选：A.6.如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm，上底面的直径为8cm，高为4cm，已知点是上底面圆周上不与直径端点重合的一点，且为上底面圆的圆心，则与平面所成的角的正切值为（）A.2 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设为下底面圆的圆心，连接和，因为，所以，又因为平面，所以平面，因为是该圆台的一条母线，所以四点共面，且，又平面，所以平面平面，又因为平面平面，所以点在平面的射影在直线上，则与平面所成的角即为，过点作于点，因为，所以.故选：A.7.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件“两卦的六根线中恰有三根阳线”，“至少有一卦恰有两根阳线”，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由八卦图可知，八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个，两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个，所以，所以.故选：C.8.定义：一对轧辊的减薄率.如图所示，为一台擀面机的示意图，擀面机由若干对轧辊组成，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.已知擀面机没对轧辊的减薄率都为0.2（轧面的过程中，面带宽度不变，且不考虑损耗）.有一台擀面机共有10对轧辊，所有轧辊的横截面积均为，若第对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一个疵点，在擀面机输出的面带上，疵点的间距为，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设轧辊的半径为，由轧辊的横截面积可得：，解得：，所以轧辊的周长为，由图易知，第9对轧辊出口处疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有，所以，，所以，故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（）A.B.C.与为相交直线或异面直线D.在向量上的投影向量为〖答案〗BC〖解析〗因为平面的一个法向量为，直线的方向向量为，则，即，则或，故A不正确；又平面的一个法向量为，所以，即，所以，故B正确；由直线的方向向量为，所以不存在实数使得，故与为相交直线或异面直线，故C正确；在向量上的投影向量为，故D不正确.故选：BC.10.若点在双曲线（，）的一条斜率为正的渐近线的右侧，为半焦距，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗可得双曲线的一条斜率为正的渐近线方程为:，因在右侧,所以，故,故C错误；所以,故D正确；对A：要证，即证，即证，显然成立，故A正确；对B：，故B正确；故选:ABD.11.若，则（）A.可以被整除B可以被整除C.被27除的余数为6D.的个位数为6〖答案〗AB〖解析〗，可以被整除，故A正确；，可以被整除，故B正确；，被27除的余数为5，故C错误；，个位数为，故D错误.故选：AB.12.若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（）A.0 B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗设该直线与相切于点，因为，所以，所以该切线方程为，即.设该直线与相切于点，因为，所以，所以该切线方程，即，所以，所以，令，所以当时，0；当时，；和上单调递减；在和上单调递增；又，所以，所以，解得，所以的取值范围为，所以A正确；对于B，，所以，所以B正确；对于C，因为，所以C正确；对于D，因为，所以D不正确.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设，，，是四个命题，是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，是的充分必要条件，那么是的______条件.（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要四选一）〖答案〗充分不必要〖解析〗因为是的必要不充分条件，所以，但，是的充分不必要条件，所以，但A，是的充分必要条件，所以，但D，所以，但D，故是的充分不必要条件.14.若等差数列前项和为，且，，数列的前10项的和为______.〖答案〗〖解析〗设等差数列的首项为，公差为，则，解得，故，所以，所以数列的前10项的和为.15.设内接于椭圆，与椭圆的上顶点重合，边过的中心，若边上中线过点，其中为椭圆的半焦距，则该椭圆的离心率为______.〖答案〗〖解析〗如图：边过的中心，所以为的中点，则为边上的中线，边上中线过点，所以两中线的交点为，即为的重心，所以，即，则，所以，所以，所以，所以.16.设函数在上的值域为，则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗函数的周期，而，当函数在上单调时，，当函数在上不单调时，由正弦函数的图象性质知，当在上的图象关于直线对称时，最小，此时，即，因此，所以的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知正项等比数列的前项和为，且成等差数列.（1）证明：数列是等比数列；（2）若，求数列的前项和.（1）证明：设等比数列的公比为，因为成等差数列，所以1，所以，即，又正项等比数列，所以，解得，因为，所以，得，所以，所以，，所以，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列；（2）解：由（1）得，，所以，所以①②①-②得，，整理得：.18.西藏隆子县玉麦乡位于喜马拉雅山脉南麓，地处边疆，山陡路险，交通闭塞.党的十八大以来，该地区政府部门大力开发旅游等产业，建设幸福家园，实现农旅融合，以创建国家全域旅游示范区为牵引，构建“农业+文创+旅游”发展模式，真正把农村建设成为“望得见山、看得见水、记得住乡愁”的美丽乡村，在新政策的影响下，游客越来越多.当地旅游局统计了玉麦乡景区2023年1月份到5月份的接待游客人数（单位：万人），统计结果如下：月份12345接待游客人数（单位：万人）1.21.82.53.23.8（1）求相关系数的值，当时，线性关系为较强，请说明2023年1-5月份与接待游客人数之间线性关系的强弱；若线性相关，求出关于的线性回归方程；（2）为打造群众满意的旅游区，该地旅游部门对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，下表是从接待游客中随机抽取的30位游客的满意度调查表，请将下述列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析游客对本地景区的满意度是否与报团游或自助游有关联.报团游自助游合计满意318不满意5合计1030附：线性回归方程的斜率及截距的最小二乘法估计分别为，相关系数，，参考数据：.附表：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）由题中数据可得：，，又，.故2023年1-5月份与接待游客人数之间有较强的线性相关程度.由上可知，，，关于的线性回归方程为；（2）零假设为：游客对本地景区满意度与报团游或自助游无关联，依题意，完善表格如下：报团游自助游合计满意15318不满意5712合计201030根据列联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为游客对本地景区满意度与报团游或自助游有关联.19.记的内角的对边分别为，分别以为边长的正三角形的面积依次为，已知.（1）计算的面积；（2）若，求.解：（1）由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，因为，所以，所以，.（2）因为，所以，，由正弦定理得，，所以，所以，所以20.如图，为圆柱的下底面的直径，分别为上的点，线段与线段交于点.（1）证明：为线段的中点；（2）若圆柱的体积和侧面积都为，且与下底面所成的角为，求平面与平面所成锐角的余弦值.（1）证明：连接，如图所示，因为线段与线段交于点，所以，四点共面，又因为圆柱的上下底面平行，所以，因为，所以四边形为平行四边形，所以，即为线段的中点；（2）解：设圆柱的底面半径和高分别为，因为圆柱的体积和侧面积都为，所以，所以.延长交于点，连接，因为在上，为的直径，所以，因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面，所以为直线与下底面所成的角，所以，因为，所以，所以.因为两两垂直，如图所示，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.所以，，所以，设平面的法向量为，，则，令，则，设平面的法向量为，则有，则，令，则，设平面与平面所成的锐角为，所以，即平面与平面所成锐角的余弦值为.21.在平面直角坐标系中中，动点到定点的距离比它到轴的距离大1，的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）已知点，分别为曲线上的第一象限和第四象限的点，且，求与面积之和的最小值.解：（1）设动点的坐标为，由已知得，，化简得：，故曲线的方程为.（2）如图：因为点，分别为曲线上的第一象限和第四象限的点，所以当直线的斜率为0时，不适合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，由得，，，所以，由，得，因为，所以，所以，所以，解得：或（舍去），当时，直线的方程为，直线过定点，且满足，且，所以，当且仅当，即，时取等号，故最小值为.22.已知函数，.（1）当时，证明：在上恒成立；（2）判断函数的零点个数.（1）证明：当时，，所以，所以在上单调递增.故，所以，即在上恒成立.