三角函数的图象与性质综合-2025年高考数学一轮复习

专题06三角函数的图象与性质综合

品：曰足钙

勿4:匕勿十日

混笏错・睢券用转

易错点1忽视正、余弦函数的有界性

点拨：许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性.

【典例1】(2023高三上•全国・专题练习)函数了=普」的最大值为一.

2-sinx

【典例2】(23-24高三上•上海浦东新•月考)函数/3=32尤+636-小口0,］的值域为.

易错点2三角函数单调性判断错误

点拨：对于函数y=Asin(@c+。)来说，当。>0时，由于内层函数"=以+0是单调递增的，所以函数

y=Asin(©+°)的单调性与函数y=sin%的单调性相同，故可完全按照函数y=sinx的单调性来解决;

但当口<0时，内层函数"=8+0是单调递减的，所以函数y=Asin(@c+0)的单调性与函数丁=sinx

的单调性正好相反，就不能按照函数丁=5皿%的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将x的系数化

为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。

【典例1］(23-24高三•全国・专题练习)〃x)=sin(-2X+］在［0,兀］上的单调递减区间为.

【典例2］(22-23高三上•河北邢台•期末)函数y=cos(t-的单调递减区间为.

易错点3图象变换的方向把握不准

点拨：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，y=sinx-y=sin(x+0)(w>O)平移

的量为Ml,y=sinxfy=sinwx—>y=sin(vta+e)(vv>0)平移的量为忸。

【典例1］(23-24高三下•江苏南京二模)为了得到函数y=sin(2x+"的图象，只要把函数y=sin2x图象

上所有的点()

A.向左平移刍个单位B.向左平移g个单位

63

C.向右平移;个单位D.向右平移£个单位

63

【典例2］（23-24高三上.山西朔州•月考）（多选）要得到函数〃x）=sin］2x+T的图象，可以将函数

g（x）=cos（£+2x］的图象（）

A.向左平移;个单位长度B.向右平移;个单位长度

44

C.向左平移3可兀个单位长度D.向右平移手3i个t单位长度

44

易错点4用零点确定y=Asin（ox+0）的。，忽略图象的升降

点拨：确定。值时彳主往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”（即图象上升时与X轴

的交点）为ox+"=0；"第二点”（即图象的“峰点”）为“第三点”（即图象下降时与X轴的交点）为cox

+0=兀；“第四点”（即图象的“谷点”）为。X+0=苛；"第五点”为OX+P=2TI.

【典例11（23-24高三下•山东潍坊・月考）函数/（x）=Asin3x+0）（A>O,0>O,|d<q）的部分图象如图所示,

则“X）的解析式为.

257r

【典例2］（23-24高三上.广东深圳•开学考试）已知函数/■（HMCOSLM+O）的图象大致如图，则了

D.1

参考答案与试题解析

专题06三角函数的图象与性质综合

兄：日兄锣：

勿匕勿十曰

混/错•睢券仓螃

易错点1忽视正、余弦函数的有界性

点拨：许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性.

【典例1】（2023高三上•全国・专题练习）函数y=芈」的最大值为

2-sinx

【答案】0

sinx—2+1_1

【解析】/W=-1,

2-sinx2-sinx

119

Vsinxe[-l,l],/.2-sinxG[l,3],------——e[-,l],ye[一一,0],

2-s;inx33

sinx-1

函数y=的最大值为o.

2—sinx

【典例2】(23-24高三上.上海浦东新.月考)函数〃x)=cos2x+6cos[T-xJ,xe0,^的值域为.

【答案】[1,5]

o11r

【角星析】由/(x)=l-2sin2x+6sinx=-2(sinx——)2H——,又力£0,^,

22L2_

3\1

令f=sinxe[0,1],贝|Jg(f)=-2(?一+3在给定区间内递增,

所以g«)e[l,5],即原函数的值域为口,5].

易错点2三角函数单调性判断错误

点拨：对于函数y=Asin（@c+。）来说，当。＞0时，由于内层函数”=以+0是单调递增的，所以函数

y=Asin（fflr+^）的单调性与函数y=sin%的单调性相同，故可完全按照函数y=sin%的单调性来解决;

但当。＜0时，内层函数”=的+0是单调递减的，所以函数y=Asin（@c+。）的单调性与函数丁=sinx

的单调性正好相反，就不能按照函数丁=$111%的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将x的系数化

为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。

【典例1］(23-24高三・全国・专题练习)/(x)=sin12尤+］J在［0,兀］上的单调递减区间为.

【答案】和无］

【解析】=sin^-2x+=-sin(2x-y),

令2kli—Vlx—V2kliH—,kGZ.得kn---V尤VknH-----，左eZ,

2321212

7T57r

则F(x)的单调递减区间为［E-jE+节,％eZ,

1212

TT5冗

令A=［fai—五,航+五］，攵£Z,B=［0,7i］,

.r*「c571r「11兀r

*'-Ac3=［0,y^］D［^~,7l］

.••/0)在［0,兀］上的单调递减区间为［0,51和［当,兀］.

【典例2](22-23高三上•河北邢台・期末)函数y=cos]彳-2xJ的单调递减区间为.

【答案】E+5,加+|(fceZ)

【解析】由y=c°s(»=cos^-2x)=cos[2T,

JTTT5〃"

得2A位2x——02左兀+兀(Z£Z),解得Ax+—SxSAxH-----(左£Z),

488

TT57r

所以函数的单调递减区间为k7l+-,k7l+—(kGZ).

易错点3图象变换的方向把握不准

点拨：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，y=sinxfy=sin(x+o)(w＞0)平移

的量为,y=sinxfy=sinwxy=sin(vux+0)(w＞。)平移的量为何。

w

【典例1](23-24高三下.江苏南京.二模)为了得到函数＞=5皿[2尤+方]的图象，只要把函数〉=sin2x图象

上所有的点()

A.向左平移97T个单位B.向左平移;个单位

0

C.向右平移£7T个单位D.向右平移;个单位

0

【答案】A

【解析[y=sin(2x+5)=sin

71

则把函数、=5m2》图象上所有的点向左平移;个单位即可，故选：A.

6

【典例2](23-24高三上.山西朔州・月考)(多选)要得到函数〃x)=sin]2x+,的图象，可以将函数

g(x)=cos(£+2xj的图象()

A.向左平移T;T个单位长度B.向右平移;7T个单位长度

44

C.向左平移3斗兀个单位长度D.向右平移437r个单位长度

44

【答案】BC

【解析】由g(x)=85[聿+2才]=sin]+[弓+2x]=sin(2x+=sin+,

可知将函数g(x)的图象向右平移;个单位长度，

可得sin=sin(2x+m]=〃x),即可得函数的图象,

又由函数g(x)的最小正周期为r=T=n,

jr37r

可知向右平移7个单位长度与向左平移I个单位长度效果相同；所以选项BC正确.

TT

若向左平移I个单位长度,可得叫2'+：+3+1二一542%+£卜/(X),故A错误;

可得sin=-sin^2x+^j^/(),故D错误;

若向右平移彳个单位长度,x

故选：BC.

易错点4用零点确定y=Asin(ox+o)的夕,忽略图象的升降

点拨：确定夕值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”（即图象上升时与X轴

7T

的父点）为5+夕=0；“第二点”（即图象的“峰点”）为5+夕=5；“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为cox

+夕=兀；"第四点”（即图象的“谷点”）为tox+p=g；“第五点”为ox+°=2兀.

【典例11（23-24高三下•山东潍坊・月考）函数/（x）=Asin（0x+e）（A>O,0>O，M<，的部分图象如图所示,

则的解析式为.

7T

【答案】/（x）=2sin（2x--）

6

【解析】根据图象可得A=2,而/（0）=—1,则2sine=—l,

所以夕=-3+2%兀或0=；+2版,左£Z,又所以"=一3，

6626

「7兀）.（7兀兀、八E17兀7177T口口12k+27r

由417）=。得,in［石@一5）=°，贝【J丘口一7二E，左£Z,即刃=---,kwZ,

,T7兀371218

由一〈——＜——，所rrH以I二＜@＜三,

212477

故化=1时，8=2,所以/（x）=2sin12尤一看

25K

【典例2］（23-24高三上.广东深圳.开学考试）已知函数〃%）=cos（5+e）的图象大致如图，则/

()

A，2B-fD.1

【答案】C

【解析】由题意得了=?兀-%=|%