2024-2025学年浙江省宁波市海曙区某中学八年级（上）开学数学试卷+答案解析

2024-2025学年浙江省宁波市海曙区储能学校丽园校区八年级（上）开

学数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体.汉字在发展过程中演变出多种

字体，给人以美的享受.下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是（）

加啼喷

2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A.3,4,7B.6,7,12C.6,1,14D.3,3,8

3.下列命题中是真命题的是（）

A.相等的角是对顶角B.同旁内角相等，两直线平行

C.全等三角形的对应边相等D.如果同为“，那么a=6

4.如图，已知△ABCg△ADO,ABAC=30°-/AC。=60°，则NO=(

A.45°

B.60°

C.75°

D.90°

5.如图，MC是乙4M8的角平分线，尸为儿（上任意一点，PDVMA,垂足

为点、D,且P£>=3，则点尸到射线儿必的距离是（）

A.1

B.2

C.3

D.不能确定

6.空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（）

A.两点确定一条直线

三角形支架

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B.两点之间线段最短

C.三角形的稳定性

D.垂线段最短

7.不等式，〉1的解集在数轴上表示正确的是（）

8.如图，小敏做了一个角平分仪Z8CO,其中4B=AD，BC=DC，将仪器上必

的点/与NPEQ的顶点R重合，调整43和4D,使它们分别落在角的两边上，过R/

点A、C画一条射线NE,/£就是/PAQ的平分线.此角平分仪的画图原理是（）仆/\/

eVP

A.SSS

B.SASE

C.ASA

D.AAS

9.如图，△A8C中，AACB-=80°，将△48。绕点。顺时针旋转得到△E。。A

/C、交于点F.若/BCD=a，贝!1/\一E

使点B的对应点D恰好落在AB边上,

NEFC的度数是（）（用含a的代数式表示）

3

A.80°+-a

3

B.170°+-QBC

3

C.170°--a

3

D.-a

2

10.已知一个三角形的三边长均为整数，若其中仅有一条边长为6,且它不是最短边，也不是最长边，则满

足条件的三角形共有（）

A.12个B.10个C.8个D.6个

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.用不等式表示“线上学习期间，每天体育运动时间超过1小时'",设每天的体育运动时间为X小时，所

列不等式为______.

12.写出命题“直角三角形只有两个锐角”的逆命题_____.

13.在△ARC中，NA=30°，=4/C,则/C的度数为____

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14.如图，若△48。g/\。后F,8、K。、歹在同一直线上，BC=7cm，0E=4cm，则CF的长是cm.

15.如图所示，已知/C平分CE1AB于点E,AB=AD+2BE,

则下列结论:①48+AD=2AE；®AADC+AABC=180°；③。。=CB;

@S^ADC+S^BCE=S^ACE,其中正确的结论有.（把正确结论的序号填

写在横线上）.

16.如图，乙4+/8+/。+/。+/石的度数为

三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题6分）

解不等式9c-2W7x+3,并把解集表示在数轴上.

-5-4-3-2-I012345

18.（本小题6分）

如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1,按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上.

（1）在图甲中画一个以N2为边且面积为3的直角三角形.

（2）在图乙中画一个以/C为腰的等腰三角形.

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19.(本小题6分)

如图，△ABC中，AB=4。，48的垂直平分线交NC于尸点.

(1)若NA=35°，求/BPC的度数

⑵若48=5cm，BC=3cm，求△PBC的周长.

20.(本小题6分)

如图，在△48。中，BD=DC,Zl=Z2,试说明ATXLBC的理由.

解：•.,8D=_DC(已知)，

------().

•.•N1=N2(已知),

AABC=NACB(等式性质)，

AB=AC().

在ABD与ACD中，

[AB=AC

<Zl=Z2,

[BD=DC

：,△4RD之△470(),

:"BAD=/CAD,().

又•:48=47，

AD1BC().

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21.(本小题6分)

为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数.某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造.如

图，A8表示该小区一段长为20%的斜坡，坡角乙840=30°，RDLAD于点。.为方便通行，在不改变斜

坡高度的情况下，把坡角降为15°.

(1)求该斜坡的高度8。；

(2)求斜坡新起点C与原起点/之间的距离.(假设图中C,A,。三点共线)

22.(本小题7分)

如图，在△46。中，已知点。在线段N8的反向延长线上，过/C的中点尸作线段GE交的平分线

于E,交8c于G,£.AE//BC.

(1)求证：△ABC是等腰三角形；

⑵若4石=8，AB=1Q,GC=2BG，求△ABC的周长.

23.(本小题7分)

(1)模型的发现：

如图1,在△4BC中，NBAC=90°，AB=AC，直线/经过点/,且8,C两点在直线/的同侧，BD1

直线/,直线/,垂足分别为点。、E.问：DE、AD和CE的数量关系.

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(2)模型的迁移：位置的改变

如图2,在(1)的条件下，若B、。两点在直线/的异侧，请说明3。和CE的数量关系，并证明.

24.(本小题8分)

定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：

如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”.

(1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数.

(2)图2是一个顶角为45°的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数.

(3)在△48。中，其最小的内角/。=24°，过顶点3的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形,

请直接写出的度数.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4是轴对称图形，故此选项不合题意；

2.是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.不是轴对称图形，故此选项合题意；

D是轴对称图形，故此选项不符合题意；

故选：C.

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线

叫做对称轴进行分析即可.

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

2.【答案】B

【解析】解：A•-3+4=7,.•.不能构成三角形，不符合题意；

6+7〉12,.♦.能构成三角形，符合题意；

C<6+7<14,.,.不能构成三角形，不符合题意；

3+3<8,.•.不能构成三角形，不符合题意.

故选：B.

直接利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，进而判断得出答案.

本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：/、相等的角不一定是对顶角，故/为假命题，不符合题意；

8、同旁内角互补，两直线平行，故8为假命题，不符合题意；

C、全等三角形的对应边相等，故C为真命题，符合题意；

D、如果同苗M，那么a初且济一6,故。为假命题，不符合题；

故选：C.

根据相关知识点逐个判断即可.

本题考查了命题与定理，全等三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题.

4.【答案】D

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【解析】解：•「△ABC之△AD。，ZBAC=30%

ADAC=ABAC=30°»

•.•/4OO=60°，

:.ND=180°-ADAC-AACD=90°，

故选：D.

根据全等三角形的性质求出的度数，根据三角形的内角和定理得出ZD=180°-ADAC-AACD,

代入求出即可.

本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等.

5.【答案】C

【解析】解：如图，过点尸作PNm/B于点N,

又•.•M。是乙4Mg的角平分线，P。工人L4,PD=3,

：,PD=PN=3,

即点P到射线MB的距离是3,

故选：C.

根据角平分线上的点到角的两边的距离相等求解即可.

此题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质定理是解题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，

故选：C.

钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性.

本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键.

7.【答案】A

【解析】解：不等式2>1的解集在数轴上表示为：

-102^

故选：A.

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根据在数轴上表示的不等式的解集的方法得出答案即可.

本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是正确判断的前提.

8.【答案】A

【解析】解：在△46。和△4。。中，

fAB=AD

<BC=CD,

(ACAC

所以4ABC2AADC(SSS),

所以/_B4C=/2Z4C,

所以/E就是APRQ的平分线，

故选：A.

由“SSS”可证△ARC0△ADC,可得可证NE就是NPRQ的平分线，即可求解.

本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键.

9.【答案】C

【解析】解：由旋转的性质可知，BC=CD，LB=2EDC，NA=NE,NACE=NBCD,

■：ABCD=a,

180°-a1

：,ZB=ABDC=—=90°--a,NACE=a,

AACB=80°，

Z4=180°-80°-ZB=10°+|a.

:.NE=10°+—a.

3

NEFC=180°-NECF—NE=170°--a.

故选：C.

由旋转的性质可知，BC=CD,AB=AEDC,/A=NE,ZACE=ZBCD,因为ZB。。=a,所

以乙B=/BDC，乙4CE=a，由三角形内角和求出的度数，进而得到/上的度数.再由三角形内角

和定理求出NERC的度数即可.

本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出/石和/ECF的角度是解题关键.

10.【答案】B

【解析】解：根据题意，•.•三角形的三边长均为整数，

,该三角形的最短边可以是1、2、3、4、5,

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当最短边为1时,无法满足条件三角形,

当最短边为2时，最长边＜2+6,即最长边＜8,所以最长边为7,

当最短边为3时，最长边＜3+6,即最长边＜9,所以最长边为7,8,

当最短边为4时，最长边＜4+6,即最长边＜10,所以最长边为7,8,9,

当最短边为5时，最长边＜5+6,即最长边＜11,所以最长边为7,8,9,10

满足条件的三角形共有1+2+3+4=10.

故选：B.

根据边长为6的情况确定出该三角形的最短边的长度，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边

之差小于第三边求出最长边，从而得解.

本题考查了三角形的三边关系，先确定出最短边的长度是解题的关键.

11.【答案】x＞1

【解析】解：由题意得/〉1.

故答案为：立〉1.

根据超过用列不等式即可.

本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序，再就是

要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别.

12.【答案】只有两个锐角的三角形是直角三角形

【解析】解：•.•命题“直角三角形只有两个锐角”

.•.逆命题：只有两个锐角的三角形是直角三角形.

故答案为：只有两个锐角的三角形是直角三角形.

把原命题的题设和结论互换位置，则为逆命题，即可作答.

本题主要考查命题与定理，直角三角形的性质，解题的关键是理解逆命题的定义.

13.【答案】30°

【解析】解：•.•/4=30°，ZB+ZC=180°-ZA,

ZB+ZC=180°—NA=150°,

:NB=4NC，

.•.5NC=150°，

.•.ZC=30°.

故答案为：30°.

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根据三角形内角和定理得出NB+NO=180°—NA,再根据NB=4NC，求出NC即可.

本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和等于180°.

14.【答案】3

【解析】解：

：,EF=BC=lcm,

：,CF=EF—CE=3cm；

故答案为：3.

根据全等三角形的对应边相等，得到EF=BC=7cm,再根据CF=EF—CE,进行求解即可.

本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键.

15.【答案】①②③④

【解析】解：如图，在上取点R使4F=4D，连接CR

•.•4。平分/。48,

：,AFAC=ADAC，

-：AC=AC,AFAC=ADAC,AF=AD,

：,/\FAC^f\DAC{SAS),

：,CD=CF,AADC=AAFC,

■：ABAD+2BEAF+FE+BE,

：,FE=BE,

-：CEA.AB,

:.CF=BC，

：,CD=CB,ACFB=AABC,

故③正确，符合题意；

■：ACFB+AAFC=180°，

：,AADC+AABC=180°，

故②正确，符合题意；

AB+ADAF+EF+BE+AF=2AF+2EF=2AE,

故①正确，符合题意；

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S&BCE=S/^CEF，S&ADC=S/^AFC,

...S^ADC+S&BCE=S/\AFC+S&CEF=S^ACE,

故④正确，符合题意；

综上：正确的有①②③④，共4个，

故答案为：①②③④.

如图，在48上取点F使4F=40，证明△F4C0AD4C(S/S),则CD=CF，ZD=ZAFC，由

AB=AD+2BE=AF+FE+BE,可得FE=BE,进而可得CF=3。，则。。=CB，

4CFB=NB,可判断③的正误；由NCTB+N4F0=180°,可得NADC+N4BO=180°,可判断②

的正误；AB+AD=2AF+2EF=2AE,可判断①的正误；S^BCE=S^CEF,S^ADC=SAAFC,可

得SI\ADC+S^BCE=SAAFC+S^CEF=S^ACE，可判断④的正误.

本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质.熟练掌握角平分线，全等三

角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键.

16.【答案】180°

【解析】解：如图，延长CD交48于点R设CD,BE交于点、G,

■：ABFG=AA+AC,NBGF=NE+NCDE,

：,AA+AB+Z.C+NCDE+4E

=NBFG+ABGF+ZB

=180°，

故答案为：180°.

延长CD交于点R设CD,BE交于点G,利用三角形的外角性质及三角形内角和定理即可求得答案.

本题考查三角形的内角和及外角性质，作辅助线构造三角形及三角形的外角是解题的关键.

17.【答案】解：92—2<72+3,

移项，得9，-7/<3+2.

合并同类项，得2cW5.

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5

两边都除以2,得，

这个不等式的解表示在数轴上如图所示.

-5-4-3-2-I0I25345

T

【解析】根据解不等式的一般步骤：移项、合并同类项、系数化为1,得出不等式的解集，表示在数轴上即

可.

本题考查了求一元一次不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，能正确得出不等式的解集是解本题的

关键.

18.【答案】解：（1）如图甲中，△ABC即为所求.

（2）如图乙中，△/CE即为所求（答案不唯一）.

（图甲）（图乙）

【解析】（1）根据要求利用数形结合的思想解决问题即可；

（2）根据等腰三角形的定义作出图形（答案不唯一）.

本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用

数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.

19.【答案】解：（1）：45的垂直平分线交/C于尸点，

;.AP=BP,

：,ZA=ZABP=35°>

：,ABPC=NA+NABP=35°+35°=70°；

的周长=BP+PC+BC,

=AP+PC+BC,

=AC+BC,

AB+BC,

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AB=5cmBC=3cm，

△PBC的周长=5+3=8cm.

【解析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得4P=BP,根据等边对等角可得

ZA=NABP,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解；

（2）求出APB。的周长=4B+BC,代入数据计算即可得解.

本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.

20.【答案】ZDBC=2DCB"等边对等角”“等角对等边"S/S全等三角形的对应角相等等腰三角形

的“三线合一”

【解析】解：•.•8。。（己知），

“等边对等角”），

=已知），

AABC=2475（等式性质），

二.48=4。（“等角对等边”），

在4BD与4CD中，

[AB^AC

<Z1=Z2,

[BD=CD

：./\ABD^^ACD{SAS）,

：.ABAD=ACAD,（全等三角形的对应角相等），

又•.•AB=4。，

.•.aors。（等腰三角形的“三线合一”）.

故答案为：2DBC=2DCB，“等边对等角”，“等角对等边"，SAS,全等三角形的对应角相等，等腰

三角形的“三线合一”.

由3。=。。，根据”等边对等角”得/O8C=/OCB,而/1=/2,由等式的性质推导出

NABC=NACB,即可由“等角对等边”证明48=4。，进而根据“&4s”证明△45。0△470,由

全等三角形的对应角相等证明NBA。=即可根据等腰三角形的“三线合一”证明ALLLB。，于

是得到问题的答案.

此题重点考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出=进而

证明△48。g△力CD是解题的关键.

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21.【答案】解：(1)在RtZVlBO中，,・,/AD3=90°，ABAD=30%AB=20m，

BD==10m.

答：该斜坡的高度AD为10小；

(2)：C,A,。三点共线，ABAD=30°，ZBCA=15°>

ACBA=ABAD-ABCA=30°-15°=15°=ABCA，

：,ACAB20m.

答：斜坡新起点C与原起点/之间的距离为20m.

【解析】本题主要考查坡角的定义及解直角三角形，得到4。=43是解题的关键.

(1)根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解；

⑵根据NB4D=30°，ABCA=15°，求出NCSA=15°=/BCA，从而可得4。=AB=20wi..

22.【答案】(1)证明：-：AE//BC,

:"B=NDAE，AC=ACAE.

■「AE平分/ZX4C，

:"DAE=ACAE.

.-.ZB=AC.

AB=AC.

.•.△ABC是等腰三角形.

(2)解：是/C的中点，

AF=CF.

■：AE//BC,

,-.ZC=ACAE.

由对顶角相等可知：NAFE=/CFG.

fNFAE=NC

在△4歹石和△CFG中IAF=CF,

[AAFE=Z.CFG

：,/\AFE^/\CFG{ASA).

AE=GC=8.

GC=2BG，

BG=4.

第15页，共18页

12.

△48。的周长=AB+4。+=10+10+12=32.

【解析】(1)首先依据平行线的性质证明/B=4c=2CAE,然后结合角平分线的定义可证明

ZB=ZC，故此可证明为等腰三角形；

(2)首先证明△AFE之△CFG,从而得到CG的长，然后可求得8c的长，即可求得△ABC的周长.

本题主要考查的是等腰三角形的性质和判定，熟练掌握等腰三角形的性质和判定定理是解题的关键.

23.【答案】解：Q)DE=BD+CE,

理由如下：,.•N_DAC=N4EC+NACE,ZBAC=ZAEC=90o-

：,ADAB=AECA，

在△048和△EGA中，

'ADAB=Z.ECA

<AADB=ACEA,

、AB=CA

：,/\DAB^/\ECA{AAS),

：,AE=BD,AD=CE，

：,DEAD+AEBD+CE；

⑵AD=DE+CE,

证明如下：•.•NBA。=90°，

：,ABAD+ACAE=90°,

•「CEL直线I,

NACE+NONE=90°，

:"BAD=NACE，

在△BAD和△ACE中，

(ABAD-ZACE

<AADB=ACEA,

[BA^AC

：,/\BAD^/\ACE{AAS),

：.AE=BD，AD=CE，

：,BD=AE=AD