2025年高考数学一轮复习：课时作业四十八 利用空间向量研究距离问题

见十八利用空间向量研究距离问题

（时间：45分钟分值:85分）

【基础落实练】

1.（5分）已知平面a的一个法向量为〃=（-1,-2,2）,点4（0,1,0）为a内一点，则点

到平面a的距离为（）

A.4B.3C.2D.1

【解析】选D因为说=（1,一1,1）,n=（-1,-2,2）,

所以说n=-l+2+2=3,\n\=11+4+4=3,

|AP-n|

则点P到平面«的距离d=~—\.

I叫

2.（5分）如图是一棱长为1的正方体，则异面直线4a与SA之间的距离为

A.^/3B.gC.|

【解析】选B.分别以D为原点QZQCQA所在直线分别为x,y,z轴，建立如图空

间直角坐标系，

设〃=（x,y,z）与和都垂直,

贝悌;坐心票取f

又因为5X=（i，°，°），

所以异面直线DB和力户间的距离为

,\DiAin\1W

d=~~一宝一甘.

|n|y|33

3.（5分）如图,正方体ABCD-AiBCDi的棱长为1,点P是线段AA.的中点，点Q是

线段。坊上的动点（包括端点）厕|PQ|的最小值为（）

Oic,

@1

AB

A.|B,^C,^D,1

【解析】选B.分别以DAQCQD1所在直线为xy轴建立空间直角坐标系，如图

所示：

则点尸的坐标为(1,0月,

设点Q的坐标为;1,2)(0<A<1),

贝U|PQ|=j(4-1)2+/+(2-J—JsA2,-3A+~卜(入_J+2—

当且仅当2=1时，不等式取等号，

即|PQ|的最小值为最

4.(5分)如图，已知正方体/5C7X42iGA的棱长为1,0为正方形4QA4的中

心，若P为平面OD、B内的一个动点，则P到直线48的距离的最小值为()

Bi

【解析】选A.如图,分别以D4QCQA所在直线为轴建立空间直角坐标系,

则有5(1,1,0)2(001)4(1,0,1)B(1,1,1),

因为O为正方形4DQ14的中心彳导

418]=(0,1,0),。8=(2，1广2)/]8=(11,-1),

设平面OBD]的法向量为〃=(%,3),

利用万方笛―⑴则‘2y-2,

取X=l,解得〃=(l,o,l)有而•〃=(),且/向右平面。。囹则直线45〃平面OD1B,

设直线/山1到平面OD\B的距曷为d,取直线上一点囱,与平面OD\B上一点B,

则呵=(0,0,1),

I丽?.瓶IA/2

利用空间中点面距离公式有d--'4.

5.(5分)如图，在棱长为a的正方体/5CQ-45C。中,P为4A的中点,0为

4囱上任意一点石下为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点。到平面PEF

的距离()

A.等于［a

B.和郎的长度有关

C.等于gq

D.和点。的位置有关

【解析】选A.取B©的中点G,连接PGCGQR则PG//CD,

所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离，与EF的长度无关,B

错.

又45〃平面PGCD,

所以点4到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离，即点Q到平面

PEF的距离，与点Q的位置无关,D错.

如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，

则0（0/,0）。（0,0,0）〃1（见0,4）/（，0,61）,所以5^=（0,凡0）,5^=（4,0,4）,而=《,0,。）,

,------->fCL

设〃=（%,3）是平面PGCD的法向量，则由『黑=?得/+az=0,

{n-DC=0,ay=0,

令z=l,则产一2产0,所以〃=（一2,0,1）是平面PGCD的一个法向量.

DA^-n?anA/5/7

设点。到平面PEF的距离为d,则#Yr=A对,C错

|叫7b3

6.（5分X多选题）在棱长为2的正方体/5CD-451GA中,尸是棱上一动点，则

P到平面4。。的距离可能是（）

A.fB，V3C.竽D.2"

【解析】选BC如图以口为坐标原点以正0以［，陋的方向分别为x轴y

轴/轴的正方向，建立空间直角坐标系，

贝14(2,0,0)乃(2,2,2)尸(242)(002^2),0(0,0,2),01(020),

故41=(22,0)/卫=(-2,0,2),

设平面4cM的法向量〃=（%,丁/）,

"n-AC=-2%+2y=0

由，11

n-A1D=-2%+2z=0'

取x=l,则“=（1,1,1）为平面4GQ的一个法向量/y=（0平2）,

IT41P-Zl|IQ_i_71

所以P到平面4G。的距离

\n\

因为0叱2,所以何竽,。，而（2也）2-管）W>0,即BC选项的数值才符合.

7.（5分）如图，在棱长为1的正方体出GA中，平面45Q与平面4G。

的距离d是（）

A：B.gC与

633

【解析】选B.如图，以D为坐标原点,分别以NQCQA所在直线为轴，建

立空间直角坐标系，连接BDi,BD,BD交AC于点E,

因为DD\上AC乂C±BD,BDCDDi=D,

所以4C_L平面AQ氏所以BD^AC.

同理可证班

因为所以助」平面即现是平面AB.C的一个法向量.

因为平面平面4GA所以点D到平面ABXC的距离即为两平面之间的

距离.

\DE-~BD]\|jx(-l)+jx(-l)+oxl|w

因为族=。；,0),西=(-11,1),所以

\BD[\.1+1+13-

8.(5分)已知直四棱柱/HCXMiSGA中，底面/5CD为正方形〃5=2,“1=2”

,E为BC的中点下为GA的中点，则直线BD与EF之间的距离为.

【解析】以。为原点D4QCQA所在直线分别为％轴、y轴、z轴建立空间直

角坐标系，

x/AB

则£>(0,0,0),5(2,2,0),£(1,2,2^/2),F(0,1,2^2),

所以而=(0,1,2"),屈=(-11,0),丽=(2,2,0).

因为前二疑，所以所〃。民所以直线BD与EF之间的距离d即为点D到直线

斯的距离d.

设<5月前>=仇

DF-EF"

则cosR

\DF\\EF\6

所以sin

所以所求距离为d=|而sin9=3x?萼.

冬案•史

口木•2

9.(5分)如图f为矩形438所在平面外一点，尸4J_平面/5CD,若已知

48=340=4,尸4=1,贝U点P至I」BD的距离为.

【解析】如图,分别以ABADAP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

。(0,0,1),3(3,0,0),。(0,4,0),所以丽=(3,0,-1),丽=(-3,4,0).

设＜丽，前＞=/

BDPB9^/10

所以c°s。下而冢-丁，

c[-]\।-13^^

所以sm(p_50,

所以点P到BD的距离d=|丽|-sin。考.

筠案

口木•5

10.(10分)如图,△5C7)与ZWCQ都是边长为2的正三角形，平面MCC平面

J_平面BCD^B=2#球点、A到平面MBC的距离.

【解析】如图，取CD的中点0,连接O50M,因为△5C7)与AMCD均为正三角

形，所以又平面平面3C£),平面MCDH

平面3C£>=C7),OMu平面MCD,所以MO平面BCD.

以0为坐标原点，直线OC,5O,OM分别为x轴j轴,z轴,建立空间直角坐标系

Oxyz.

因为△58与丛MCD都是边长为2的正三角形，

所以OB=OM=B

贝U0(0,0,0),C(1,0,0)X(0,0,^/3),

5(0,g0)40,-国2回

所以BC=(1,淄',0)，BM=(0/\/^Z^).

设平面MBC的法向量为〃=(q/),

TL_LBCzgn-BC=0

由

[n1BM^\n-~BM=O,

'x+—o

即

平y+4z=0,

取吟方,可得平面MBC的一个法向量为〃=（依-1,1）.

又第=（0,0,2科

所以所求距离为步『考！

Inl5

11.（10分）如图,边长为2的等边人45C所在平面与菱形力MCC1所在平面互相垂

直4。=存G8为线段力。的中点.

⑴求证:平面5MC1_L平面/归。1；

【解析】（1）因为四边形44CG为菱形,

所以41cL4G.

又因为4。=用所以N4CG=60。，

即八4CG为等边三角形.

因为AC{=CCX,M为线段AC的中点，

所以4CJ_GM

因为AB=BC,M为线段AC的中点,

所以

又因为GMnaid,所以4。，平面

又因为4C〃4G,所以4。」平面BMC1

又4GU平面/滑。1,

所以平面5MG_L平面A}BC{.

⑵求点C到平面AXBCX的距离.

【解析】（2）因为平面44CCU平面/5C,交线是4C,且GMJ_4C,所以C.ML

平面ABC.

以M为原点，〃氏MC,MG所在直线分别为元丁/轴建立空间直角坐标系,如图所

C(0,1,0),5(^/3,0,0),C1(0,0，V3)^I(0,-2,^/3),

则萌=(0,2,0),殂=(-避,0,避)，可=(0,-1,73),

设平面AXBCX的法向量为〃=(%,"),

'n-A.C.=2y=0

贝士―,1J)厂

n-BC1=-退x+退z=0，

令x=l,则“=(1,0,1),

所以点C到平面45G的距离d耳

\n\7乙乙

【能力提升练】

12.（5分）（多选题）如图所示,三棱锥S-ABC中,ZU5C为等边三角形，&4,平面

1

ABC,SA=3/B=2.点、D在线段SC上，且SD^SC,^E为线段SB的中点以线段

BC的中点O为坐标原点04徒所在直线分别为可轴，过点O作SA的平行线

为z轴,建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）

A.直线CE的一个方向向量为Q，¥，¥）

B.点D到直线CE的距离为等

C.平面ACE的一个法向量为（4,3,-2）

D.点D到平面ACE的距离为1

【解析】选八：6口依题意,5（收0,3）〃（国0,0）石（0,1,0）,。（0,一1,0）乃停，热

'2平1\

I3，-§引,

则谓因为*=逆停，¥，¥），故A正确;

~CD会,|）,故点D到直线CE的距离d=

2'CDCE^8a

~CD，故B正确;

21

设〃=(%,y,z)为平面ACE的法向量,

AC-n=0'-退x-y=0

则，即I旦+$+]=0,

AE-n=02

令产3,则〃=(-73,3,-2)为平面ACE的一个法向量，故C错误;

而CD=(-故点D到平面ACE的距置di~~~-=1,故D正确

13.(5分)已知正方体45CZX4向GA的棱长为4,M,N,E,b分别为

的中点，则平面与平面EFBD之间的距离为.

【解析】以。为原点所在直线分别为％轴、＞辄z轴建立空间直

角坐标系，

则4(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),5(4,4,0),E(Q,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),从而

说=(2,2,0),而=(2,2,0),

4M=(-2,0,4),BF=(~2,0,4),

所以丽=加，俞=丽,

所以EF//MN,AM//BF,

所以平面AMN//平面EFBD.

设〃=(%/,z)是平面EFBD的一个法向量，

从而箱方=-2%+42=0'斛甸'=-27

取z=l得〃=(2,-2,1).

因为同=(0,4,0),

所以点A到平面EFBD的距离为噂号，

\n\3

O

即平面④W与平面EFBD之间的距离为］

圣室•号

口木.3

14.(10分)如图,正方体/5CD451GA的棱长为1,M,N分别是5%51G的中

点

(1)求直线到平面4cA的距离；

【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，

则知点4(1,0,0),。(0,0,1),C(0,1,O),7l/(l,l,f),2V(f,l,l),

所以西=(-1,0,1),而=(-

____]

所以而于耳.

因为直线与401不重合，所以MN//AD,.

又因为平面4a平面ACDh

所以MV〃平面4cz)i.

故直线MN到平面ACDX的距离等于点M到平面ACD.的距离前=(-1,1,0),

0,1).

设平面/CA的一个法向量为机=(%/,z),

'm-AD=0-x+z=0

所以1，即

rn-^AC=0-x+y=0,

令x=l得尸z=l,所以机=(1,1,1).

因为病＜0,13

而即|=4,

所以点M到平面ACD,的距离为7MLi.号

即直线MN到平面ACDX的距离为日.

⑵若G是力向的中点，求平面MNG与平面4cA的距离.

【解析】(2)连接4