高三数学一轮复习：指数函数对数函数讲义

专题2指数函数对数函数专题

【知识梳理】

一、常用运算性质：

a,

根式：(1)(初)"=〃.（2）当〃为奇数时，卡/=〃；当九为偶数时，9=|〃|=

~a,〃<0.

m__m22?1

(3)an=y[a^(a>0,m,〃£N*,且九>1).(4)〃—？？='"一=----(〃>0,m,〃£N*,且〃>1).

a万

指数塞：⑴，•出=/'3>0,r,sGQ)；(2)(〃)=〃/〃>0,r,s£Q)；(3)(aby=arb\a>0,/?>0,r£Q).

对数：(l)alogaN=N(a>0,且aWl,N>0)；(2)log小N=N(Q>0,且〃W1).

Mn

n小

(3)logfl(MN)=log“"+log.N；(4)log%=log。"—logJV；(5)\ogamM=—\ogaM.(〃>0,M>0,N>3WO)

(6)loga6=,且aWl,c>0,且cWl,b>0).

10g阕

二、指数函数与对数函数的图象与性质：

【典型例题】

题型一：化简求值

例1（多选）已知正实数％,y,Z满足2、=5y=1（?,则下列选项正确的有（）

111

A.x+y=zB.—I—=一CD.xy>4z2

xyz

例化简求值：（）逐痛;1

21xjgx9(3)S1+5/C-S)2+log18-log2

(2)log35•logs15一(logs5)---~-+3晦5；33

log53

题型二：比较大小

例3设a=3.1°*,b=bg3j0.8,c=0.83i,贝!J”,6,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

例4（多选）若实数〃，6满足3。+4々=型+3）,则下列关系式中可能成立的是（）

A.G<a<b<\B.b<a<0C.l<a<bD.a=b

题型三：函数的图象

例5（多选）在同一直角坐标系中，函数〃x»=loga（x-b）,g（x）S…的图像可能是（）

例6已知函数/（无）的图象如图所示，则函数〃x）的解析式可能是（）

A.〃”=（2*+2-，）国B"（x）=（2—国

B.〃x）=（2x+2T）log/x|D./（x）=（2x+2-*）log2W

例7函数的图象大致形状为（）

ABCD

题型四：函数性质

例8已知函数/（力二地2’-x）,则/（X）的定义域为（）

A.（-oo,-l）（l,+oo）B.（—co,0）（l,+oo）C.（-1,1）D.（0,1）

例9函数/'（%）=a*—+l（a>0,a*1）过定点.

例10（多选）已知函数〃尤）=ln12一方一。一1）,下列说法正确的有（）

A.不存在实数0,使“X）的定义域为RB.函数“X）一定有最小值

C.对任意正实数a,〃无）的值域为RD.若函数〃力在区间⑵+8）上单调递增，则实数。的取值范围是（-8,1）

例11已知定义在R上的函数=优-（左-1）/*（a>0,aw1）是奇函数.若函数/'（力满足/⑴<。，且对任意

x>l,不等式/(1吗犬+2)+/(叫/2—)<0恒成立，求实数f的取值范围.

例12已知函数〃x)=log2号.

(1)证明：函数/(x)在(1,+8)上为增函数；(2)若对于区间艮4］上每一个x值，不等式/(x)+x>H+m

恒成立，求实数机的取值范围.

7-Lr

例13已知函数〃到=108〃0（4>0且4#1）.

2—x

(1)判断函数的奇偶性，并证明；(2)当xe［T,l］时，函数“X)的值域是［-1』，求实数a的值.

题型五：函数的零点与方程的解

—+4羽]〈4

例15设函数y（x）=hu,若关于尤的方程/（力=£有四个实根占,马,%彳4a＜忍＜%）,则

|log2＞4

再+%2+2电+5*4的最小值为（）

3133

A.—B.16C.—D.17

22

例16（多选）已知实数4％为函数=-ggz（x-2）|的两个零点，则下列结论正确的是（）

A.（玉―3）（羽_3）＜0B.0＜（网_2）（马—2）＜1C.（芯_2）（x?_2）=lD.（玉—2）（々—2）＞]

题型六：实际应用问题

例17青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力

数据，小数记录法的数据V和五分记录法的数据L满足V=K）J,已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则

其视力的小数记录法的数据约为（）（注：狗。1.25）

A.0.6B.0.8C.1.2D.1.5

例18把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是JJC,空气的温度是为。（7,那么/min后物体的温度。（单

位：。。）可由公式e=q+（a-q）e力求得，其中％是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.e是自然对数

的底数现有85G的物体，放在5。的空气中冷却，10”历7以后物体的温度是45V.

（1）求1的值;

（2）求该物体的温度由85二降到30二所需要的冷却时间.（冷却时间精确到QAmin,参考数据：log2522.322）

【巩固练习】

1.已知a=e03,b=ln0.3,c=0.3e,则()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>c>a

222

2•已知a=23,b=23c=3^，则()

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

3.设函数f(x)=ln[H+"(a,beRM>0),则函数/(力的奇偶性()

A.与。有关，但与无关B.与。有关，且与6有关

C.与a无关,且与6无关D.与a无关,但与6有关

4.在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感

染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长.当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消

散.广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染病的基本传染数为4，1个感染者在每个传染期会接

触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗(《■称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为，■(N-V).已

知新冠病毒在某地的基本传染数扁=25为了使1个感染者传染人数不超过1,该地疫苗的接种率至少为()

A.40%B.50%C.60%D.70%

5.为将“两山”理念落实到实处，某地区大力开展植树造林，现该地区原有森林面积山亩，计划每年种植一些树

苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是5年，为使森林的面积达到5机亩以上，至

少需要植树造林年.(参考数据：lg2=0.301)

A.10B.11C.12D.13

6.(多选)下列各式的值为1的是()

22

A.Ig2-lg5B.1g2+1g5C.Ig2+lg5D.log52-log25

7.(多选)已知〃x),g(x)都是定义在R上的函数，其中/(可是奇函数，g(x)为偶函数，且

〃x)+g(x)=2',则下列说法正确的是()

f2Xx>0

A./(g(x))为偶函数B.g(0)=0C.r(x)-g2(x)为定值D.|/(x)|+g(%)=-I。

8.(多选)已知函数=尤+eR,若/(x)20在定义域上恒成立，则()

A.°=-1或0B./(尤)有4个零点C.a=0D./(x)有2个零点

9.已知log?3=口，贝1]4"=.

10.已知函数〃x)=『-3x,x；。，则/"借]=____.

[log2x,x>0I力

x

11.已知xl7x2,x3(%j<x2<X3)是函数f(x)=x(^2+1)+机(2"-1)(机£R,机w0)的三个零点，则2一七一马+巧的取值范

围是.

12.计算下列各式:

log2

⑴仁/_搂：+(0.008产q；(2)log327+log32xlog23-6»+1g2+1g5.

13.已知集合4=卜卜2-X-640},集合3={X"I>2"}.

(1)若q=l，求aB；⑵若Aua2,求实数a的取值范围.

7

14.已知函数〃X)=彳-不\+词加€：«)为奇函数.

(1)求机的值；(2)求不等式/(2x)