人教版九年级数学上册专项复习：正多边形与圆

专题24.3正多边形与圆

目录

正多边形求线段长度..........................................................1

正多边形求角度..............................................................2

正多边形求面积..............................................................3

正多边形与坐标轴............................................................4

正多边形与规律..............................................................6

综合运用....................................................................7

正多边形求线段长度

/正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

正多边形的有关计算

（1）首先要明确与正多边形计算的有关概念：即正多边形的中心O,正多边形的半径

R——就是其外接圆的半径，正多边形的边心距r,正多边形的中心角a,正多边形

的边长a„

（2）正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，等腰三角形的顶角

就是正n边形的中心角都等于；如果再作出正n边形各边的边心距，这些边心距

i又把这n个等腰三角形分成了2n个全等的直角三角形。

【例1】如图，正方形ABC。内接于O。，点£为我上一点，连接8E,若NCBE=15

BE=5,则正方形ABCD的边长为（）

C.V10D.2V5

【变式训练1】如图，面积为18的正方形A8CZ）内接于则的半径为（）

A

3

A.-C.3D.3V2

2

【变式训练2】如图，正六边形A5CDE/内接于。0,OO的半径为1,则边心距OM的长

1

C.一D.2A/3

2

【变式训练3】如图，在正六边形A8C0E尸中，点G是AE的中点，若AB=4,则CG的长

为（）

A.5B.6C.7D.8

正多边形求角度

【例2】如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则/I的度数

为（）

A.18°B.25°C.30°D.45°

【变式训练1】如图，正五边形ABCOE和正三角形都是。。的内接多边形，则/8OM

的度数是（）

A

【变式训练2】如图，正六边形ABCDEF内接于O。,点M在厢上，则NCME的度数为（）

【变式训练3】如图，在正六边形ABCDEF中，M,N分别为边CD,BC的中点，AN与BM

相交于点P,则NAPM的度数是（）

正多边形求面积

s空白

【例3】如图，正六边形ABC。口中，点M,N分别为边尸上的动点，则/—=（）

S阴影

【变式训练1】如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4,

则图中阴影部分的面积为（

A.8V3B.12V3C.16D.16V3

【变式训练2】如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积

是2,那么非阴影部分面积是（）

A.6B.6+V2C.2+4V2D.8

【变式训练3】如图所示的正八边形的边长为2,则对角线AB的长为（）

正多边形与坐标轴

【例4】如图，正六边形ABCL跳'的半径。4=2,则点8的坐标为（）

A.(-V3,1)B.(-1,V3)C.(-2,-V3)D.(-V3,2)

【变式训练1】如图,正五边形ABCDE的顶点A在y轴正半轴上，边CO〃x轴，若点E坐

标为（3,2）,则点B的坐标为（)

A.(3,-2)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(2,-3)

【变式训练2】如图，是中心为原点。，顶点A,D在x轴上，半径为4的正六边

形，则顶点E的坐标为（）

C.(-2,2A/3)D.(-1,V3)

【变式训练3】如图，边长为4的正六边形A8CDEE的中心与坐标原点。重合，AE〃x轴,

将正六边形ABCDEP绕原点。顺时针旋转”次，每次旋转60°,当”=100时，顶点A的

坐标为（）

A.(-2,2V3)B.(-2,-2V3)C.(2,-2V3)D.(2,2V3)

正多边形与规律

【例5】如图是一长条型链子，其外型由边长为1c机的正六边形排列而成.其中每个黑色六

边形与6个白色六边形相邻.若链子上有59个黑色六边形，则此链子上的白色六边形个数

为（）

A.348B.238C.354D.355

【变式训练1】如图，一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a,按此

规律，则第〃个正多边形的面积为（）

【变式训练2】如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边,

围成一图后中间形成一个正方形.设正方形的边长为1,则该图形外轮的周长为；

若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边,

设正三角形的边长为1,则该图形外轮廓的周长是.

【变式训练3】如图，边长为1的正六边形A8CDEF放置于平面直角坐标系中，边A8在x

轴正半轴上，顶点厂在y轴正半轴上，将正六边形A8COE/绕坐标原点。顺时针旋转，每

次旋转60°,那么经过第2025次旋转后，顶点。的坐标为

y

综合运用

【例6】阅读与思考

请阅读下列材料，并完成相应的任务：

克罗狄斯•托勒密（约90年-168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家.在

数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：

圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.即：如图1,若四边形A8CD

内接于O。，则有.

任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为.

（2）如图2,正五边形A8CDE内接于OO,AB=2,求对角线的长.

【变式训练1】（1）如图1,△ABC为等边三角形，点M是上一点，点N是。1上一点，

BM=CN,BN、AM相交于点Q,求的度数；

（2）当（1）中的“等边△A2C”的边数逐渐增加，分别变为正方形A2CD（如图2）、

正五边形A2CDE（如图3）、正六边形ABCDEF（如图4）…，"点N是CA上一点”变

为点N是8上一点，其余条件不变，分别确定的度数，并直接将结论填入下表：

正多边形正方形正五边形正六边形…正w边形

的度数…

选择题（共8小题）

1.如图，在拧开一个边长为。的正六角形螺帽时，扳手张开的开口6=105"〃，则这个正

六边形的面积为（）

A.2。,〃加B.300y/3mm2C.150鬲病D.TSyfimm2

2.有一个正”边形的中心角是36。，则"为（)

A.7B.8C.9D.10

3.如图，与正六边形。4BCDE的边。4,OE分别交于点歹，G,点M为劣弧FG的

中点.若FM=4也.则点。到9的距离是（）

C.2#D.4A/2

4.如图，点P、M、N分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点，则A/MV的

周长为（）

p

A.6B.6y/2C.6A/3D.9

5.一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72。，则该正多边形的边数是（）

A.4B.5C.6D.7

6.已知••个正多边形的中心角为45。，则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类

数（全等的三角形为同一类）是（）

A.1B.2C.3D.4

7.如图，正六边形ABCDEF内接于O,M为EF的中点，连接DM,若匚O的半径为2,

则的长度为（）

A.夕B.^5C.2D.1

8.如图，正五边形ABCDK内接于O,则正五边形中心角NCOD的度数是（）

二.填空题（共4小题）

9.如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，3c一定是圆

。的内接正〃边形的一条边，那么〃=.

A

10.已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为一.

11.如图，万名塔，位于凤凰古城沙湾的沱江之滨，于1988年建成，该塔是一个六角塔,

如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这