2024-2025学年湖南省部分学校高三（上）入学数学试卷（8月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省部分学校高三(上)入学数学试卷(8月份)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若x+2i=y+1—久i(x,yeR),则|/+y4=()

A.713B.13C.5D.25

2.若函数y=s讥3久(3>0)的最小正周期不小于3兀，贝!]()

A.3的最小值为|B.3的最大值为5C.3的最小值为|D.3的最大值为争

3.若集合A=｛y\y=%2+2x｝,B=｛x\x2+3%<10],则/C\B=()

A.[-1,2)B.[-1,5)C.(-5,2)D.(-5,+oo)

4.若离心率为5的双曲线真—，=l(a>0/>0)的左、右焦点分别为a,F2,右顶点为4,贝U()

A.品=3源B.F\A=4AF^C.而=5丽D.F\A=6AF1

5.若两个等比数列｛a九｝,也｝的公比相等，且的+瓦=1,2a2+的+282+历=。，则数列｛%：+勾｝的前

7项和为()

A.-43B.43C.-47D.47

6.若随机变量Z服从正态分布N(出M),则P(Z<〃+0)为0.8413.为了解使用新技术后的某果园的亩收入(

单位：万元)情况，从该果园抽取样本，得到使用新技术后亩收入的样本均值】=3.2,样本方差S2=1.44

已知该果园使用新技术前的亩收入X(单位：万元)服从正态分布N(2.8,1.44),假设使用新技术后的亩收入V

服从正态分布N(%,s2),贝(j()

A.P(X<4)>P(Y>2)B.尸(X<4)+P(Y>2)<1.68

C.P(X<4)<P(Y>2)D.尸(X<4)+P(Y>2)>1,68

tan2gtan2

7.若tan(a+0)=7,-^=21,则tan2a=()

1—tanzatanZj&

A--

A.2段B—Z2C-2—1D—10

8.已知直线/：x=-3)与曲线C：x=苧J4一y?有两个公共点,则小的取值范围是()

,,/15/15,„,\<152,\<150、「,VT5ci

A.(--r，―)B.(--,0]C.(--,0)D.(一--,0]

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.某部门30名员工一年中请假天数(未请假则请假天数为0)与对应人数的柱形图(图中只有请假天数为0的

未显示)如图所示，则()

人数

6

5

4

3

2

1

0

78请假天数

456

A.该部门一年中请假天数为0的人数为10

B.该部门一年中请假天数大于5的人数为10

C.这30名员工一年中请假天数的第40百分位数为4

D.这30名员工一年中请假天数的平均数小于4

1

10.已知函数/'(久)=久一1(|用＞1),贝!1()

A./(%)为奇函数

B.f(久)在其定义域内为增函数

C.曲线y=f(x)的切线的斜率的最大值为2

D.曲线y=/(久)上任意一点与4(-1,0),B(l,0)两点连线的斜率之和为定值

11.若S,T为某空间几何体表面上的任意两点，则这两点的距离的最大值称为该几何体的线长度.已知圆锥

P。的底面直径与线长度分别为2,4,正四棱台48CD—4当6。1的线长度为6,且48=2,=4,则

()

A.圆锥P。的体积为苧兀

B.441与底面4/iGA所成角的正切值为3

C.圆锥PO内切球的线长度为蜉

D.正四棱台48CD—外接球的表面积为427r

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.^Igx5-y,Igy-1,贝！k=.

13.曲线C：(x2+y2-l)2-8(x2+y2)+15=0的周长为.

14.如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人(含甲、乙、丙)随机安排在这两排座位

上，则甲、乙、丙3人的座位互不相邻(相邻包括左右相邻和前后相邻)的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知2(6,机+2),B(24,m+8)是抛物线C：y2=2Px(p>1)上的两点.

(1)求C的准线方程;

(2)若直线y=kx+t(kH0)经过C的焦点，且与C交于P,Q两点，求|PQ|+/^的最小值.

16.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC-4当Q中，。为4/1的中点.

(1)证明：〃平面AG。

(2)若力4=5,AC=BC=6,AB=10,求二面角C—4D—①的余弦值.

17.(本小题15分)

在△ABC中，a,b,c分别是内角2,B,C的对边，且Z)2+c2=5.

(1)若b+c=3,cosA=-<。为8c的中点，求4D的长；

(2)若sin/lcosC=sin(4一C)=1<b<求6的值.

18.(本小题17分)

在图灵测试中，测试者提出一个问题，由机器和人各自独立作答，测试者看不到回答者是人还是机器，只

能通过回答的结果来判断回答者是人还是机器.提出的问题是选择题，有3个选项，且只有1个是正确选项，

机器和人分别从这3个选项中选择1个进行作答.当机器和人中只有一个回答正确时，则将对的一方判断为

人，另一方判断为机器；当机器和人都回答正确或者都回答错误时，测试者将再问同一个问题(重复提问

),若两者都回答正确或者都回答错误，则测试者将从机器和人中随机选择一个判断为人，若两者仅一方

回答正确，则判断回答正确的一方为人.假设人作答时能排除一个明显错误的选项，剩下每个选项被选的概

率相等，而机器无法排除选项，每个选项被选的概率相等，当测试者重复提问时，人改变选项的概率为

I，机器改变选项的概率为|.

(1)求1位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率;

(2)在测试者重复提问且机器改变选项的前提下，求测试者误判的概率.

19.(本小题17分)

瓦

已知二阶行列式^\=ad-bc三阶行列式劭

fb2c2=a1m1—a2TYi2+其中叫，m2,g分

a3①C3

别为由,。2,%的余子式(某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式)•

123

(1)计算312

231

x00x2x

(2)设函数/(%)=010+32x2

00113x

①若/(%)的极值点恰为等差数列｛即｝的前两项，且｛须｝的公差大于0,求E簪+5+i；

②若/(&)=0,aE(—2,—1)且aH%。，函数9(%)=((%)(。-％o)—/Q)，证明：g(a)g(%o)＜。,

参考答案

l.c

2.D

3.2

4.C

5.B

6.D

7.4

8.D

9.ACD

1Q.ABD

11.BC

12.100

13.6，^兀

14-

7

15.解:(1)由4(6,m+2),8(24,m+8)是抛物线C：/=2p久(p>1)上的两点，

可得(zn+2)2=12p,(m+8)2=48p,

解得TH=4,p=3,或zn=-4,p=§(舍去)，

可得抛物线的方程为y2=6x,准线方程为久=-1；

(2)抛物线的焦点为(|,0),由直线y=kx+t(k力0)经过C的焦点，可得t=—|鼠

，3

联立'—2可得42%2一(3女2+6)%+为2=0,

(y2=6%4

设P,Q两点的横坐标分别为%1，%2，可得%1+%2=3+刍，

k

由抛物线的定义可得|PQ|+1=6+4+^2>6+2A<6,

当且仅当/=，^时，|PQ|+卜2取得最小值6+2混.

16.解：（1）证明：如图，设"102母=石，连接DE,

贝！）易知B1C7/DE,又BiCC平面4QD,DEu平面4QD,

BiC〃平面AH。；

（2）取力B中点。，连接。D,0C,则易知。40C,。。两两相互垂直，故建系如图:

又力。=B0=5,AC=BC=6,0C-V36-25=V11,0D=5,

贝IJ根据题意可得C(O,/TI,O),4(5,0,0),£>(0,0,5),4(5,0,5),

•••CA=(5,-AA11,0)，AD=(-5,0,5)，西=(5,0,0)，

设平面C4D与平面AD4的法向量分别为访=(x,y,z),元=(a,瓦c),

则(而•CA=5x—VUy=0(n-AD=—5a+5c=0

Im-AD=—5x+5z=0l元，DAr=5a=。

取记=(YTT,5,，TT),n=(0,1,0),

又由图可知二面角C一4。一4的平面角为钝角，

.■.二面角C—AD—4的余弦值为：

17.解：(1)因为b+c=3,b2+c2=5,

所以(b+c)2=b2+c2+2bc=5+2bc=9,所以be=2,

因为。为BC的中点，所以诟=?(荏+而),

_,>-->21>>c

则AD="Q4B+AC)2,

即|前|2=；(|画2+2值前+|初2)=*+2bccosA+b2')=；x[5+4x(—；)]=1,

则4。=|而|=1；

(2)因为sindcosC=sin(4—C)=sinAcosC—cosAsinC=

1624

所以cos/s讥C=贝！JsinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

222

sinAcosCacosC3Rna+Z)—c3,

sinB亍="即a.F^=]b,

得a?—c2=软2,又炉+c?=5,所以a2=5-gb2,

因为1<b<所以<c<2,

所以6<c,则B<C,B为锐角,

所以cosB=J1-(萼¥=*,

a2+c2—Z725—籽+5—m一产_5V3

所以cosB=

2ac2j(5声)(5-/)12

整理得(5/-23)(〃_2)=0,解得块=2或炉=装，

又l<b<手，所以6=，！.

18.1?：(1)不妨设提出的问题的3个选项依次为1,2,3,且设正确选项为1,人作答时能排除的选项为3,

记源为人第一次答题时选择的是第i个选项，2为机器第一次答题时选择的是第i个选项，

记E=测试者重复提问，尸=测试者误判，6=机器改变选项.

所以1人测试中不需要重复提问的概率为P(E)=PG%+Q4+GDJ=fx|+|x|+|x|=1.

(2)当机器重复回答问题改变选项时，测试者误判的情况有三种：

①若第一次答题时人和机器都选择1,则当重复提问时，人选择2,机器选择2或3,且测试者随机判断机

器为人，

11112±

XX

则P(GD/G)=2-3-2-2-3-

36

②若第一次答题时人和机器都选择2,则当重复提问时，机器和人都选择1且测试者随机判断机器为人，或

人选择2且机器选择1,或人选择2,机器选择3且测试者随机判断机器为人，

1111111121

XXXX+X+XXX-

则PSzFG)2-3-2-2-2-2-2-2-3-

18

③若第一次答题时人选择2,机器选择3,则当重复提问时，人和机器都选择1且测试者随机判断机器为

人，或人选择2,机器选择1,或人选择2,机器选择2且测试者随机判断机器为人，

1111111121

XXXX+X+XXX-

则二2-3-2-2-2-2-2-2-3-

18

又P(EG)4所以P(F|EG)=屿也畏严迹=,

123

19.解：⑴;1j=|；2|-3|23|+2|23|

=1-6—3x(2—9)+2X(4—3)=18.

x00x2x

(2)•函数f(%)=010+32x2

00113x

・•・/(%)=%+%疗Al：3

=%+x(2x2—6)—3(2%—3%)+4—2x2=2x3—2x2—2%+4.

(i)/'(%)=6x2—4x—2.

当工〈一,或无>1时，/'(%)>0；当时，/'(%)<0.

「./(%)在(—8,—百)和(1,+8)上是增函数，在(―§,1)上是减函数，

・・.f(%)的极大值点为-;，极小值点为1.

•・•/(X)的极值点恰为等差数列｛%J的前两项，且｛时｝的公差大于0,

1

«2

4145

---+---

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